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数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀第2课时教案
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这是一份数学24.2.2 直线和圆的位置关系优秀第2课时教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系
第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的判定定理和性质定理的过程，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会常用的添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用；
4.经历数学知识的探索和发现过程，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
二、教学重难点
重点：探索圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决相关的计算或证明问题.
难点：明确解决与圆的切线有关的问题时常用的添加辅助线的方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【学习目标】
1.理解并掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的判定定理和性质定理的过程，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会常用的添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用；
4.经历数学知识的探索和发现过程，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
熟悉学习目标
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容，教学目标从知识技能、数学思考、解决问题、情感态度等方面着眼设计.
问题：你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？
教师带领学生回顾直线和圆的几种位置关系，重点强调本节课要讲解的是直线和圆相切的问题.
问题：我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？
① 定义法：直线和圆只有一个公共点.
② 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？
回顾旧知
总结出直线和圆相切的判断方法
通过回顾旧知帮助学习复习直线和圆的位置关系，同时引出下面的问题：如何判断直线和圆相切.
通过上面复习的知识总结出直线和圆相切的判断方法，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力，同时为本节课要学习的切线的判定定理作铺垫.
环节二 探究新知
在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少，直线l与⊙O有怎样的位置关系呢？
圆心O到直线l的距离=半径r
思考：你能由此得出圆的切线的又一判定方法吗？试着完成下面的表格.
切线的判定定理
思考：这个定理中包含了哪些要素？
① 经过半径的外端
② 垂直于这条半径
两个条件缺一不可
你能举出生活中直线和圆相切的实例吗？
下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮下打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
思考：已知一个圆⊙O和圆上的一点A，如何过这个点A作出圆的切线？
作法：
（1）连接OA；
（2）过点A作OA的垂线l，l即为所作的切线.
圆的切线的判定方法
① 定义法：直线和圆只有一个公共点.
② 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
③ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，
请说明为什么？
（1）不是，因为没有与半径垂直
（2）（3）不是，因为没有经过半径的外端点
思考：如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA与直线 l 是不是一定垂直呢？
证明：假设OA与直线l不垂直，
过点O作一条线段垂直于l，垂足为M，
由垂线段最短得：OM＜OA，
即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，
因此直线l与⊙O相交，
这与已知条件“直线l与⊙O相切” 矛盾，
则OA与直线l垂直．
思考：你能由此得出圆的切线的性质吗？
思考：切线的判定定理和性质定理有什么区别和联系？
联系：交换切线的判定定理的条件和结论，可得到切线的性质定理.
区别：切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用；切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用.
操作、思考并回答问题
认真完成表格
熟悉切线的判定定理及两个要素
试着举出生活中直线和圆相切的实例
认真思考并作出圆的切线
归纳切线的判定方法
独立完成练习
思考并与同学交流
认真完成表格
通过作图操作让学生感受“直线和圆的位置关系”与“圆心到直线的距离”中的数形结合.
通过表格的形式让学生熟悉切线的判定定理，明确在运用切线的判定定理时两个条件缺一不可，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
通过让学生列举出生活中的实例，进一步熟悉直线和圆相切的情形，同时让学生感受数学来源于生活.
通过“过圆上一点作圆的切线”让学生进一步熟悉切线的判定定理，同时培养学生对于知识的运用能力.
通过归纳总结让学生进一步熟悉切线的几种判定方法，同时培养学生的归纳总结能力.
通过练习进一步让学生熟知：运用切线的判定定理时两个要素缺一不可，同时培养学生独立完成练习的能力.
通过交换切线的判定定理的条件和结论引出新的思考探究，为后面切线的性质定理作铺垫，同时解决这个问题需要用到反证法，从中培养学生的逆向思维能力.
通过表格的形式让学生熟悉切线的性质定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
让学生明确切线的判定定理和性质定理之间的联系和区别.感受数学的严谨性.
环节三
应用新知
【例1】如图，△ABC 为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O 相切于点D.求证：AC 是⊙O 的切线．
分组讨论：
1.教师带领学生分析解题思路；
2.学生分组进行讨论、整理证明过程；
3.学生展示，教师补充完善.
分析：不知直线和圆的公共点，则过圆心作AC的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径即可.
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
这样AC经过半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切.
【例2】已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
自主交流：
1.教师带领学生分析解题思路；
2.学生先独立完成证明过程，再与同桌讨论；
3.学生展示，教师补充完善.
分析：已知直线和圆的公共点C，则连接圆心和公共点，证明直线AB和过公共点的半径OC垂直即可.
证明：连接OC.
∵ OA＝OB，CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线.
证切线时常见的添加辅助线的方法
① 不知公共点，作垂直，证半径；
② 已知公共点，连半径，证垂直.
明确本题的做法
明确本题的做法
通过分组讨论的形式帮助学生解决直线和圆相切的问题，让学生明白：当不知直线和圆的公共点时，则过圆心作直线的垂线，证明距离等于半径即可，即“不知公共点，作垂直，证半径”.同时培养学生合作探究的能力.
通过自主的形式帮助学生解决直线和圆相切的问题，让学生明白：当已知直线和圆有公共点时，则可添加过该点的半径，证明直线垂直于该半径即可，即“已知公共点，连半径，证垂直”.同时培养学生独立解决问题的能力.
通过例题归纳总结出证切线时常见的添加辅助线的方法，培养学生的归纳总结能力.
环节四
巩固新知
1.判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线. ( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( )
(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( )
(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 .
3. 如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA=30°，则OC的长为_________ .
4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
答案： 1. （1）×； （2）×； （3）√
（4）√； （5）√
2.相切
3.6
4. 证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第98页
练习第1、2题
第101页
习题24.2 第5题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系
第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的判定定理和性质定理的过程，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会常用的添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用；
4.经历数学知识的探索和发现过程，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
二、教学重难点
重点：探索圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决相关的计算或证明问题.
难点：明确解决与圆的切线有关的问题时常用的添加辅助线的方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【学习目标】
1.理解并掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的判定定理和性质定理的过程，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会常用的添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用；
4.经历数学知识的探索和发现过程，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
熟悉学习目标
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容，教学目标从知识技能、数学思考、解决问题、情感态度等方面着眼设计.
问题：你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？
教师带领学生回顾直线和圆的几种位置关系，重点强调本节课要讲解的是直线和圆相切的问题.
问题：我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？
① 定义法：直线和圆只有一个公共点.
② 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？
回顾旧知
总结出直线和圆相切的判断方法
通过回顾旧知帮助学习复习直线和圆的位置关系，同时引出下面的问题：如何判断直线和圆相切.
通过上面复习的知识总结出直线和圆相切的判断方法，领会知识的延续性，进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力，同时为本节课要学习的切线的判定定理作铺垫.
环节二 探究新知
在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少，直线l与⊙O有怎样的位置关系呢？
圆心O到直线l的距离=半径r
思考：你能由此得出圆的切线的又一判定方法吗？试着完成下面的表格.
切线的判定定理
思考：这个定理中包含了哪些要素？
① 经过半径的外端
② 垂直于这条半径
两个条件缺一不可
你能举出生活中直线和圆相切的实例吗？
下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮下打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
思考：已知一个圆⊙O和圆上的一点A，如何过这个点A作出圆的切线？
作法：
（1）连接OA；
（2）过点A作OA的垂线l，l即为所作的切线.
圆的切线的判定方法
① 定义法：直线和圆只有一个公共点.
② 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
③ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，
请说明为什么？
（1）不是，因为没有与半径垂直
（2）（3）不是，因为没有经过半径的外端点
思考：如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA与直线 l 是不是一定垂直呢？
证明：假设OA与直线l不垂直，
过点O作一条线段垂直于l，垂足为M，
由垂线段最短得：OM＜OA，
即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，
因此直线l与⊙O相交，
这与已知条件“直线l与⊙O相切” 矛盾，
则OA与直线l垂直．
思考：你能由此得出圆的切线的性质吗？
思考：切线的判定定理和性质定理有什么区别和联系？
联系：交换切线的判定定理的条件和结论，可得到切线的性质定理.
区别：切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用；切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用.
操作、思考并回答问题
认真完成表格
熟悉切线的判定定理及两个要素
试着举出生活中直线和圆相切的实例
认真思考并作出圆的切线
归纳切线的判定方法
独立完成练习
思考并与同学交流
认真完成表格
通过作图操作让学生感受“直线和圆的位置关系”与“圆心到直线的距离”中的数形结合.
通过表格的形式让学生熟悉切线的判定定理，明确在运用切线的判定定理时两个条件缺一不可，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
通过让学生列举出生活中的实例，进一步熟悉直线和圆相切的情形，同时让学生感受数学来源于生活.
通过“过圆上一点作圆的切线”让学生进一步熟悉切线的判定定理，同时培养学生对于知识的运用能力.
通过归纳总结让学生进一步熟悉切线的几种判定方法，同时培养学生的归纳总结能力.
通过练习进一步让学生熟知：运用切线的判定定理时两个要素缺一不可，同时培养学生独立完成练习的能力.
通过交换切线的判定定理的条件和结论引出新的思考探究，为后面切线的性质定理作铺垫，同时解决这个问题需要用到反证法，从中培养学生的逆向思维能力.
通过表格的形式让学生熟悉切线的性质定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
让学生明确切线的判定定理和性质定理之间的联系和区别.感受数学的严谨性.
环节三
应用新知
【例1】如图，△ABC 为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O 相切于点D.求证：AC 是⊙O 的切线．
分组讨论：
1.教师带领学生分析解题思路；
2.学生分组进行讨论、整理证明过程；
3.学生展示，教师补充完善.
分析：不知直线和圆的公共点，则过圆心作AC的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径即可.
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
这样AC经过半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切.
【例2】已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
自主交流：
1.教师带领学生分析解题思路；
2.学生先独立完成证明过程，再与同桌讨论；
3.学生展示，教师补充完善.
分析：已知直线和圆的公共点C，则连接圆心和公共点，证明直线AB和过公共点的半径OC垂直即可.
证明：连接OC.
∵ OA＝OB，CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线.
证切线时常见的添加辅助线的方法
① 不知公共点，作垂直，证半径；
② 已知公共点，连半径，证垂直.
明确本题的做法
明确本题的做法
通过分组讨论的形式帮助学生解决直线和圆相切的问题，让学生明白：当不知直线和圆的公共点时，则过圆心作直线的垂线，证明距离等于半径即可，即“不知公共点，作垂直，证半径”.同时培养学生合作探究的能力.
通过自主的形式帮助学生解决直线和圆相切的问题，让学生明白：当已知直线和圆有公共点时，则可添加过该点的半径，证明直线垂直于该半径即可，即“已知公共点，连半径，证垂直”.同时培养学生独立解决问题的能力.
通过例题归纳总结出证切线时常见的添加辅助线的方法，培养学生的归纳总结能力.
环节四
巩固新知
1.判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线. ( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( )
(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( )
(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 .
3. 如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA=30°，则OC的长为_________ .
4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
答案： 1. （1）×； （2）×； （3）√
（4）√； （5）√
2.相切
3.6
4. 证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第98页
练习第1、2题
第101页
习题24.2 第5题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
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