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2019-2020学年山东省潍坊市寿光市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年山东省潍坊市寿光市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
2．（3分）下列现象属于数学中的平移是（ ）
A．风车的转动 B．钟摆的运动 C．电梯的升降 D．书的翻动
3．（3分）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．48
4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果a＞b、c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＞c﹣b B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞
6．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
7．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
8．（3分）若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．无法比较大小
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
10．（3分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝2x+2 D．y＝﹣2x+2
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（3分）正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，则这个正数是 ．
14．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ ．
15．（3分）不等式组的所有整数解是 ．
16．（3分）比较大小： 0.5．
17．（3分）若点（a，10）在直线y＝3x+1上．则a的值等于 ．
18．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处（填写区域对应的序号）．
19．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是 ．
20．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分）
21．（10分）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ×＝a，（+1）（﹣1）＝1，所以与，+1与﹣1互为有理化因式．
（1）2﹣1的有理化因式是 ．
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：＝＝，
＝＝＝＝4+；
用上述方法对进行分母有理化．
（3）若a＝，b＝2﹣，判断a与b的关系并说明理由．
（4）直接写结果：（++…+）（+1）＝ ．
22．（6分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A＝100°，求证：A1C1∥BC．
23．（10分）某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
（1）当x＜2时，求y与x之间的关系式；
（2）当x＞2时，求y与x之间的关系式；
（3）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？写出求解过程．
24．（10分）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拔款456万元购进A，B两型号的口罩机共30台，两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台．
（2）现有204万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台同时进行生产．若工厂的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
25．（10分）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
26．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
2019-2020学年山东省潍坊市寿光市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＞（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：B．
2．（3分）下列现象属于数学中的平移是（ ）
A．风车的转动 B．钟摆的运动 C．电梯的升降 D．书的翻动
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【解答】解：A、风车的转动属于旋转，不符合题意；
B、钟摆的运动属于旋转变换，不符合题意；
C、电梯的升降属于平移变换，符合题意；
D、书的翻动属于旋转变换，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．48
【分析】计算器按键转为算式，计算即可．
【解答】解：计算器按键转为算式＝23＝8，
故选：B．
4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）如果a＞b、c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＞c﹣b B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞
【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴c﹣a＜c﹣b，
故此选项错误；
B、∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
C、∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D、∵a＞b，c＜0，
∴＜，
故此选项错误．
故选：B．
6．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣1＜x≤2、
故选：B．
7．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【分析】利用勾股定理求出三角形的三边长，即可判断．
【解答】解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
8．（3分）若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．无法比较大小
【分析】运用一次函数的增减性：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可比较大小．
【解答】解：因为k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，
又2＜3，
所以，y1＞y2．
故选：A．
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b+3＜0的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b+3＜0的解集是x＞4．
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
【分析】根据位似变换的概念得到AC∥FD，△ABC∽△DEF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴AC∥FD，△ABC∽△DEF，
∵△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴＝，
∵AC∥FD，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
故选：A．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△ABE，
∴，
∵AD＝2DE，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴FC＝2DF，
∵AB∥CD，
∴△GFC∽△GBA，
∴，
故选：A．
12．（3分）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝2x+2 D．y＝﹣2x+2
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵AB＝AD，AO⊥BD，
∴OD＝OB，
∴D（0，2），
∴CD的解析式为y＝﹣2x+2，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（3分）正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，则这个正数是 121 ．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值，即可确定出这个正数．
【解答】解：根据题意得：2a+1+4﹣3a＝0，
解得：a＝5，
可得这个正数的两个平方根为11和﹣11，
则这个正数为121．
故答案为：121．
14．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ 12 ．
【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以得到x+y的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12，
故答案为：12．
15．（3分）不等式组的所有整数解是 0，1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1，所以不等式组的整数解为0，1．
故答案为：0，1．
16．（3分）比较大小： ＞ 0.5．
【分析】首先把0.5变为，然后估算的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵0.5＝，2＜＜3，
∴＞1，
∴
故填空答案：＞．
17．（3分）若点（a，10）在直线y＝3x+1上．则a的值等于 3 ．
【分析】因为点（a，10）在直线y＝3x+1上，所以把x＝a，y＝10分别代入直线y＝3x+1里即可求得a的值．
【解答】解：∵点（a，10）在直线y＝3x+1上，∴x＝a，y＝10满足方程y＝3x+1，
∴10＝3a+1，解得，a＝3，
故答案为：3．
18．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 ② 处（填写区域对应的序号）．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故答案为：②．
19．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC＝x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴＝，
∴＝
解得x＝，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝，
故答案为：．
20．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 256 ．
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的性质得到DF＝AB，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝342﹣302＝256，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝256，
故答案为：256．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分）
21．（10分）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ×＝a，（+1）（﹣1）＝1，所以与，+1与﹣1互为有理化因式．
（1）2﹣1的有理化因式是 2+1 ．
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：＝＝，
＝＝＝＝4+；
用上述方法对进行分母有理化．
（3）若a＝，b＝2﹣，判断a与b的关系并说明理由．
（4）直接写结果：（++…+）（+1）＝ 2019 ．
【分析】（1）根据有理化因式求解；
（2）把分子分母都乘以2﹣即可；
（3）利用分母有理化把a进行化简可得到a与b的关系；
（4）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）2﹣1的有理化因式为2+1；
（2）＝＝＝；
（3）a与b互为相反数．
理由如下：∵a＝＝﹣（2﹣），
∴a＝﹣b；
（4）＝＝
＝2020﹣1
＝2019．
故答案为2﹣1；2019．
22．（6分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A＝100°，求证：A1C1∥BC．
【分析】由三角形内角和定理可求∠C＝50°，由旋转的性质可得∠CBC1＝50°＝∠C＝∠C1＝50°，可得A1C1∥BC．
【解答】证明：∵∠ABC＝30°，∠A＝100°，
∴∠C＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，
∴∠CBC1＝50°，∠C＝∠C1＝50°，
∴∠C1＝∠C1BC，
∴A1C1∥BC．
23．（10分）某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
（1）当x＜2时，求y与x之间的关系式；
（2）当x＞2时，求y与x之间的关系式；
（3）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？写出求解过程．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得当x＜2时，y与x之间的关系式；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得当x＞2时，y与x之间的关系式；
（3）根据（1）和（2）中的函数解析式，可以求得这个有效时间范围．
【解答】解：（1）当x＜2时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
2k＝8，得k＝4，
即当x＜2时，y与x之间的函数关系式是y＝4x；
（2）当x＞2时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
，得，，
即当x＞2时，y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+10；
（3）当x＜2时，令4x＝3，得，
当x＞2时，令﹣x+10＝3，得x＝7，
由上可得，如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是（小时），
即如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是小时．
24．（10分）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拔款456万元购进A，B两型号的口罩机共30台，两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台．
（2）现有204万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台同时进行生产．若工厂的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款456万元购进A，B两种型号的口罩生产线共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成204万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，
依题意得：．
解得：．
答：购进A种型号的口罩生产线10台，B种型号的口罩生产线20台．
（2）设租用A种型号的口罩机m台，则租用B种型号的口罩机（15﹣m）台，
依题意得：5×8×[4000m+3000（15﹣m）]≥2040000，
解得：m≥6．
答：至少租用A种型号的口罩机6台才能在5天内完成任务．
25．（10分）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出＝，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出＝及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴＝＝，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，即＝，
∴FC＝6．
26．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把A与B代入计算求出k与b的值，即可求出一次函数解析式；
（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，根据A与B的坐标确定出OA与OB的长，再由D为AB中点，DE与OB平行得到DE为三角形AOB中位线，进而确定出D的坐标，作点D关于y轴的对称点D′，连结D′C交y轴于点P′，即为所求，由两对角相等的三角形相似，相似得比例求出OP′的长，即可求出P′的坐标；
法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，设直线CD′的表达式为y＝mx+n，求出m与n的值，求出CD′解析式，令x＝0求出y的值，即可确定出P′的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
将A（4，0）B（0，2）代入得，
解得：，
所以一次函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
又∵D为AB中点，DE∥OB，
∴DE为△BOA的中位线，
∴DE＝OB＝1，OE＝OA＝2，
∴D（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′，连结D′C交y轴于点P′，即为所求，
∴D′（﹣2，1），
∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，
∴△D′HP′∽△P′OC，
∴＝＝2，
∴OP′＝，
∴P′坐标为（0，）；
法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，
设直线CD′的表达式为y＝mx+n，
把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
则P′（0，）．
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
2．（3分）下列现象属于数学中的平移是（ ）
A．风车的转动 B．钟摆的运动 C．电梯的升降 D．书的翻动
3．（3分）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．48
4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果a＞b、c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＞c﹣b B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞
6．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
7．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
8．（3分）若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．无法比较大小
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
10．（3分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝2x+2 D．y＝﹣2x+2
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（3分）正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，则这个正数是 ．
14．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ ．
15．（3分）不等式组的所有整数解是 ．
16．（3分）比较大小： 0.5．
17．（3分）若点（a，10）在直线y＝3x+1上．则a的值等于 ．
18．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处（填写区域对应的序号）．
19．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是 ．
20．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分）
21．（10分）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ×＝a，（+1）（﹣1）＝1，所以与，+1与﹣1互为有理化因式．
（1）2﹣1的有理化因式是 ．
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：＝＝，
＝＝＝＝4+；
用上述方法对进行分母有理化．
（3）若a＝，b＝2﹣，判断a与b的关系并说明理由．
（4）直接写结果：（++…+）（+1）＝ ．
22．（6分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A＝100°，求证：A1C1∥BC．
23．（10分）某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
（1）当x＜2时，求y与x之间的关系式；
（2）当x＞2时，求y与x之间的关系式；
（3）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？写出求解过程．
24．（10分）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拔款456万元购进A，B两型号的口罩机共30台，两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台．
（2）现有204万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台同时进行生产．若工厂的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
25．（10分）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
26．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
2019-2020学年山东省潍坊市寿光市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＞（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：B．
2．（3分）下列现象属于数学中的平移是（ ）
A．风车的转动 B．钟摆的运动 C．电梯的升降 D．书的翻动
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【解答】解：A、风车的转动属于旋转，不符合题意；
B、钟摆的运动属于旋转变换，不符合题意；
C、电梯的升降属于平移变换，符合题意；
D、书的翻动属于旋转变换，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．48
【分析】计算器按键转为算式，计算即可．
【解答】解：计算器按键转为算式＝23＝8，
故选：B．
4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）如果a＞b、c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＞c﹣b B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞
【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴c﹣a＜c﹣b，
故此选项错误；
B、∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
C、∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D、∵a＞b，c＜0，
∴＜，
故此选项错误．
故选：B．
6．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣1＜x≤2、
故选：B．
7．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【分析】利用勾股定理求出三角形的三边长，即可判断．
【解答】解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
8．（3分）若点A（2，y1），B（3，y2）都在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．无法比较大小
【分析】运用一次函数的增减性：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可比较大小．
【解答】解：因为k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，
又2＜3，
所以，y1＞y2．
故选：A．
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b+3＜0的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b+3＜0的解集是x＞4．
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
【分析】根据位似变换的概念得到AC∥FD，△ABC∽△DEF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴AC∥FD，△ABC∽△DEF，
∵△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴＝，
∵AC∥FD，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
故选：A．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△ABE，
∴，
∵AD＝2DE，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴FC＝2DF，
∵AB∥CD，
∴△GFC∽△GBA，
∴，
故选：A．
12．（3分）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝2x+2 D．y＝﹣2x+2
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵AB＝AD，AO⊥BD，
∴OD＝OB，
∴D（0，2），
∴CD的解析式为y＝﹣2x+2，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（3分）正数的两个平方根是2a+1和4﹣3a，则这个正数是 121 ．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值，即可确定出这个正数．
【解答】解：根据题意得：2a+1+4﹣3a＝0，
解得：a＝5，
可得这个正数的两个平方根为11和﹣11，
则这个正数为121．
故答案为：121．
14．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ 12 ．
【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以得到x+y的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12，
故答案为：12．
15．（3分）不等式组的所有整数解是 0，1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1，所以不等式组的整数解为0，1．
故答案为：0，1．
16．（3分）比较大小： ＞ 0.5．
【分析】首先把0.5变为，然后估算的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵0.5＝，2＜＜3，
∴＞1，
∴
故填空答案：＞．
17．（3分）若点（a，10）在直线y＝3x+1上．则a的值等于 3 ．
【分析】因为点（a，10）在直线y＝3x+1上，所以把x＝a，y＝10分别代入直线y＝3x+1里即可求得a的值．
【解答】解：∵点（a，10）在直线y＝3x+1上，∴x＝a，y＝10满足方程y＝3x+1，
∴10＝3a+1，解得，a＝3，
故答案为：3．
18．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 ② 处（填写区域对应的序号）．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故答案为：②．
19．（3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC＝x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴＝，
∴＝
解得x＝，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝，
故答案为：．
20．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 256 ．
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的性质得到DF＝AB，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝342﹣302＝256，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝256，
故答案为：256．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分）
21．（10分）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为 ×＝a，（+1）（﹣1）＝1，所以与，+1与﹣1互为有理化因式．
（1）2﹣1的有理化因式是 2+1 ．
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：＝＝，
＝＝＝＝4+；
用上述方法对进行分母有理化．
（3）若a＝，b＝2﹣，判断a与b的关系并说明理由．
（4）直接写结果：（++…+）（+1）＝ 2019 ．
【分析】（1）根据有理化因式求解；
（2）把分子分母都乘以2﹣即可；
（3）利用分母有理化把a进行化简可得到a与b的关系；
（4）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）2﹣1的有理化因式为2+1；
（2）＝＝＝；
（3）a与b互为相反数．
理由如下：∵a＝＝﹣（2﹣），
∴a＝﹣b；
（4）＝＝
＝2020﹣1
＝2019．
故答案为2﹣1；2019．
22．（6分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A＝100°，求证：A1C1∥BC．
【分析】由三角形内角和定理可求∠C＝50°，由旋转的性质可得∠CBC1＝50°＝∠C＝∠C1＝50°，可得A1C1∥BC．
【解答】证明：∵∠ABC＝30°，∠A＝100°，
∴∠C＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，
∴∠CBC1＝50°，∠C＝∠C1＝50°，
∴∠C1＝∠C1BC，
∴A1C1∥BC．
23．（10分）某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
（1）当x＜2时，求y与x之间的关系式；
（2）当x＞2时，求y与x之间的关系式；
（3）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？写出求解过程．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得当x＜2时，y与x之间的关系式；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得当x＞2时，y与x之间的关系式；
（3）根据（1）和（2）中的函数解析式，可以求得这个有效时间范围．
【解答】解：（1）当x＜2时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
2k＝8，得k＝4，
即当x＜2时，y与x之间的函数关系式是y＝4x；
（2）当x＞2时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
，得，，
即当x＞2时，y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+10；
（3）当x＜2时，令4x＝3，得，
当x＞2时，令﹣x+10＝3，得x＝7，
由上可得，如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是（小时），
即如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是小时．
24．（10分）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拔款456万元购进A，B两型号的口罩机共30台，两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台．
（2）现有204万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台同时进行生产．若工厂的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款456万元购进A，B两种型号的口罩生产线共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成204万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，
依题意得：．
解得：．
答：购进A种型号的口罩生产线10台，B种型号的口罩生产线20台．
（2）设租用A种型号的口罩机m台，则租用B种型号的口罩机（15﹣m）台，
依题意得：5×8×[4000m+3000（15﹣m）]≥2040000，
解得：m≥6．
答：至少租用A种型号的口罩机6台才能在5天内完成任务．
25．（10分）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出＝，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出＝及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴＝＝，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，即＝，
∴FC＝6．
26．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把A与B代入计算求出k与b的值，即可求出一次函数解析式；
（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，根据A与B的坐标确定出OA与OB的长，再由D为AB中点，DE与OB平行得到DE为三角形AOB中位线，进而确定出D的坐标，作点D关于y轴的对称点D′，连结D′C交y轴于点P′，即为所求，由两对角相等的三角形相似，相似得比例求出OP′的长，即可求出P′的坐标；
法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，设直线CD′的表达式为y＝mx+n，求出m与n的值，求出CD′解析式，令x＝0求出y的值，即可确定出P′的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
将A（4，0）B（0，2）代入得，
解得：，
所以一次函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
又∵D为AB中点，DE∥OB，
∴DE为△BOA的中位线，
∴DE＝OB＝1，OE＝OA＝2，
∴D（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′，连结D′C交y轴于点P′，即为所求，
∴D′（﹣2，1），
∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，
∴△D′HP′∽△P′OC，
∴＝＝2，
∴OP′＝，
∴P′坐标为（0，）；
法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，
设直线CD′的表达式为y＝mx+n，
把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
则P′（0，）．
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