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2019-2020学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
3．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
4．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABO＝∠CDO B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
8．（4分）某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分．设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥90 B．10x﹣5（20﹣x）＞90
C．20×10﹣5x＞90 D．20×10﹣5x≥90
9．（4分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（ ）
A．x＝1 B．x≥1 C．x≠0 D．x≥0
10．（4分）在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连结AE，则△ACE的周长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
11．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（4分）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 ．
14．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy＝ ．
15．（4分）△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为 ．
16．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 ．
17．（4分）计算﹣的结果是 ．
18．（4分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（6分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）．
（2）a3b+2a2b2+ab3．
20．（6分）解方程：﹣＝1
21．（6分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．
22．（8分）先化简，再求代数式÷（）的值，其中a＝．
23．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A1、C2的坐标．
25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
26．（12分）大熊山某农家乐为了抓住“五一”小长假的商机，决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品5件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元．
（2）若该农家乐决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该农家乐共有几种进货方案．
27．（12分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
2019-2020学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，
C中图形是中心对称图形，
故选：C．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意知x﹣4≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
3．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】直接利用因式分解的定义以及完全平方公式分析得出答案．
【解答】解：A、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、﹣4a+a2＝﹣a（4﹣a），故此选项错误；
C、a2+4a+4＝（a+2）2，是因式分解，故此选项符合题意；
D、a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≤1，得：x≥1，
解不等式2x+3＞x+6，得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3，
其解集在数轴上表示为：
．
故选：B．
6．（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABO＝∠CDO B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
【分析】根据平行四边形的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO；
故选：D．
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵CD：BD＝3：4．
设CD＝3x，则BD＝4x，
∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，
∴7x＝21，
∴x＝3，
∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，
故选：B．
8．（4分）某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分．设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥90 B．10x﹣5（20﹣x）＞90
C．20×10﹣5x＞90 D．20×10﹣5x≥90
【分析】据答对题的得分：10x；答错题的得分：﹣5（20﹣x），得出不等关系：得分要超过90分．
【解答】解：根据题意，得
10x﹣5（20﹣x）＞90．
故选：B．
9．（4分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（ ）
A．x＝1 B．x≥1 C．x≠0 D．x≥0
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解可得．
【解答】解：∵代数式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
解得x＝1，
故选：A．
10．（4分）在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连结AE，则△ACE的周长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据线段的垂直平分线的性质求出EA＝EB，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝16，
故选：D．
11．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′＝∠ACA′＝20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC＝∠A′＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
12．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴FC＝EA，（故①正确）；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵FC＝EA，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，（故②正确）；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，（故③正确）；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）．
故正确的有3个．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（4分）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 80°和20° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为80°，
所以另外两个内角的度数分别是80°，20°，
故答案为：80°，20°．
14．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy＝ xy（x﹣3）2 ．
【分析】首先提取公因式xy，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣6x+9）
＝xy（x﹣3）2．
故答案为：xy（x﹣3）2．
15．（4分）△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为 18 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据三角形周长公式计算．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，
∴AB＝2AD＝6，BC＝2DE＝8，AC＝2AE＝4，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝18，
故答案为：18．
16．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 x＜﹣3 ．
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，即kx+2＜mx﹣4．
【解答】解：∵观察图象知当＜＞﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，
根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
17．（4分）计算﹣的结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
18．（4分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 80°或140°或10° ．
【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（6分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）．
（2）a3b+2a2b2+ab3．
【分析】（1）整理后提取公因式（x﹣y）即可；
（2）先提取公因式ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x），
＝a（x﹣y）+b（x﹣y），
＝（x﹣y）（a+b）．
（2）a3b+2a2b2+ab3，
＝ab（a2+2ab+b2），
＝ab（a+b）2．
20．（6分）解方程：﹣＝1
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：原方程可变为：﹣＝1，
方程两边同乘（x﹣2），得3﹣（x﹣1）＝x﹣2，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝3．
21．（6分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x＜4，
所以，不等式组的解集是1≤x＜4，
所以，不等式组的所有整数解是1、2、3．
22．（8分）先化简，再求代数式÷（）的值，其中a＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝＝＝．
23．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出AD＝BC，AD∥BC即可得出答案．
【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A1、C2的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C沿x轴方向向左平移6个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点B、C绕着点A顺时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；
（3）根据以上作图可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）由以上作图知，A1的坐标为（﹣5，1）、C2的坐标为（1，﹣3）．
25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
【分析】设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
【解答】解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣5═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元．
26．（12分）大熊山某农家乐为了抓住“五一”小长假的商机，决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品5件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元．
（2）若该农家乐决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该农家乐共有几种进货方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，即可求得购进A、B两种纪念品每件各需多少元；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种进货方案．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，则有
，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需100元、B种纪念品每件需50元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，则有
，
解得：50≤m≤53，
因为m是正数，
所以m＝50、51、52、53，
故该农家乐共有4种进货方案．
27．（12分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 EF＝BE+DF ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解答】解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
3．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
4．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABO＝∠CDO B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
8．（4分）某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分．设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥90 B．10x﹣5（20﹣x）＞90
C．20×10﹣5x＞90 D．20×10﹣5x≥90
9．（4分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（ ）
A．x＝1 B．x≥1 C．x≠0 D．x≥0
10．（4分）在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连结AE，则△ACE的周长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
11．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（4分）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 ．
14．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy＝ ．
15．（4分）△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为 ．
16．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 ．
17．（4分）计算﹣的结果是 ．
18．（4分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（6分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）．
（2）a3b+2a2b2+ab3．
20．（6分）解方程：﹣＝1
21．（6分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．
22．（8分）先化简，再求代数式÷（）的值，其中a＝．
23．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A1、C2的坐标．
25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
26．（12分）大熊山某农家乐为了抓住“五一”小长假的商机，决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品5件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元．
（2）若该农家乐决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该农家乐共有几种进货方案．
27．（12分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
2019-2020学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，
C中图形是中心对称图形，
故选：C．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意知x﹣4≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
3．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】直接利用因式分解的定义以及完全平方公式分析得出答案．
【解答】解：A、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、﹣4a+a2＝﹣a（4﹣a），故此选项错误；
C、a2+4a+4＝（a+2）2，是因式分解，故此选项符合题意；
D、a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≤1，得：x≥1，
解不等式2x+3＞x+6，得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3，
其解集在数轴上表示为：
．
故选：B．
6．（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABO＝∠CDO B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
【分析】根据平行四边形的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO；
故选：D．
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵CD：BD＝3：4．
设CD＝3x，则BD＝4x，
∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，
∴7x＝21，
∴x＝3，
∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，
故选：B．
8．（4分）某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分．设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥90 B．10x﹣5（20﹣x）＞90
C．20×10﹣5x＞90 D．20×10﹣5x≥90
【分析】据答对题的得分：10x；答错题的得分：﹣5（20﹣x），得出不等关系：得分要超过90分．
【解答】解：根据题意，得
10x﹣5（20﹣x）＞90．
故选：B．
9．（4分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（ ）
A．x＝1 B．x≥1 C．x≠0 D．x≥0
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解可得．
【解答】解：∵代数式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
解得x＝1，
故选：A．
10．（4分）在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连结AE，则△ACE的周长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据线段的垂直平分线的性质求出EA＝EB，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝16，
故选：D．
11．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′＝∠ACA′＝20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC＝∠A′＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
12．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴FC＝EA，（故①正确）；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵FC＝EA，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，（故②正确）；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，（故③正确）；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）．
故正确的有3个．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（4分）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 80°和20° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为80°，
所以另外两个内角的度数分别是80°，20°，
故答案为：80°，20°．
14．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy＝ xy（x﹣3）2 ．
【分析】首先提取公因式xy，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣6x+9）
＝xy（x﹣3）2．
故答案为：xy（x﹣3）2．
15．（4分）△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为 18 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据三角形周长公式计算．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，
∴AB＝2AD＝6，BC＝2DE＝8，AC＝2AE＝4，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝18，
故答案为：18．
16．（4分）如图，已知函数y＝kx+2与函数y＝mx﹣4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是 x＜﹣3 ．
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，即kx+2＜mx﹣4．
【解答】解：∵观察图象知当＜＞﹣3时，y＝kx+2的图象位于y＝mx﹣4的下方，
根据图象可知不等式kx+2＜mx﹣4的解集是x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
17．（4分）计算﹣的结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
18．（4分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 80°或140°或10° ．
【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（6分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）．
（2）a3b+2a2b2+ab3．
【分析】（1）整理后提取公因式（x﹣y）即可；
（2）先提取公因式ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x），
＝a（x﹣y）+b（x﹣y），
＝（x﹣y）（a+b）．
（2）a3b+2a2b2+ab3，
＝ab（a2+2ab+b2），
＝ab（a+b）2．
20．（6分）解方程：﹣＝1
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：原方程可变为：﹣＝1，
方程两边同乘（x﹣2），得3﹣（x﹣1）＝x﹣2，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝3．
21．（6分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x＜4，
所以，不等式组的解集是1≤x＜4，
所以，不等式组的所有整数解是1、2、3．
22．（8分）先化简，再求代数式÷（）的值，其中a＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝＝＝．
23．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出AD＝BC，AD∥BC即可得出答案．
【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A1、C2的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C沿x轴方向向左平移6个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点B、C绕着点A顺时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；
（3）根据以上作图可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）由以上作图知，A1的坐标为（﹣5，1）、C2的坐标为（1，﹣3）．
25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
【分析】设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
【解答】解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣5═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元．
26．（12分）大熊山某农家乐为了抓住“五一”小长假的商机，决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品5件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元．
（2）若该农家乐决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该农家乐共有几种进货方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，即可求得购进A、B两种纪念品每件各需多少元；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种进货方案．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，则有
，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需100元、B种纪念品每件需50元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，则有
，
解得：50≤m≤53，
因为m是正数，
所以m＝50、51、52、53，
故该农家乐共有4种进货方案．
27．（12分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 EF＝BE+DF ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解答】解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
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