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2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
2．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
4．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ）
A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1
5．（4分）不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．（4分）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（ ）
A．16 B．8 C．16 D．8
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．（4分）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
10．（4分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
12．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）分解因式：y2﹣4＝ ．
14．（4分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ．
15．（4分）如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为 ．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 度．
18．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有 条．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（8分）（1）分解因式：3x2﹣6x+3
（2）解不等式组
20．（4分）解方程：1﹣＝．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
22．（8分）今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？
23．（8分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？
24．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．
（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是 ．
（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．
25．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）求∠BAC的度数；
（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
26．（12分）[阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）用配方法因式分解：x4+4；
（4）求4x2+4x+3的最小值．
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．
（2）求证：∠ACG＝90°．
（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意；
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴6﹣x＜6﹣y，故本选项不符合题意；
C、∵x＞y，
∴3x＞3y，故本选项符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣＜﹣，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意知x﹣4≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
4．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ）
A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1
【分析】由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：1：2：1；
故选：D．
5．（4分）不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：3x+3≤0，
3x≤﹣3，
x≤﹣1，
在数轴上表示为：．
故选：B．
6．（4分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝
＝1．
故选：B．
7．（4分）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（ ）
A．16 B．8 C．16 D．8
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，即可得出AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8．
故选：D．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
9．（4分）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，
答：袋中白球约有10个．
故选：B．
10．（4分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
11．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y1＝x+b的图象都在y2＝kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+3，
即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
故选：B．
12．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE＝∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，
∴CF＝3，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）分解因式：y2﹣4＝ （y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（y+2）（y﹣2）．
故答案为：（y+2）（y﹣2）．
14．（4分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ﹣1 ．
【分析】利用两根之积为﹣2求方程的另外一个根．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．
即方程的另一个根为﹣1．
故答案为﹣1．
15．（4分）如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】由点E是平行四边形ABCD中边AD上的任意一点，可得△EBC与▱ABCD等底等高，继而可得S△EBC＝S▱ABCD．
【解答】解：∵平行四边形ABCD面积为6，
∴S△EBC＝S▱ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
16．（4分）如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为 x＜﹣2 ．
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），
∴当x＜﹣2时，y＜0，
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＜﹣2．
故答案为x＜﹣2．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 50 度．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠CDF，
在△ADF和△CDF中，，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵∠AED＝50°，
∴∠DAE+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ADE+∠DCF＝130°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCD＝180°，
∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，
∴∠BCF＝180°﹣130°＝50°，
故答案为：50．
18．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有 5 条．
【分析】分P和H在对边和邻边两种情况画图，当P和H在对边时，作辅助线，构建三角形全等，可知：过M与EF垂直的PH＝EF，通过画图可解答，根据对称性可继续画P1H1和P2H2，在邻边时直接利用圆的性质画图可得．
【解答】证明：如图1，过M作PH⊥EF，则PH即为所求；
理由是：如图1，过B作BG∥EF，过C作CQ∥PH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠CBQ＝90°，
∴四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形，
∴EF＝BG，PH＝CQ，
∵PH＝EF，
∴BG＝CQ，
∵AB＝BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCQ（HL），
∴∠ABG＝∠BCQ，
∴∠ABG+∠CBG＝∠CBG+∠BCQ＝90°，
∴CQ⊥BG，
∴PH⊥EF，
所以图1中过M与EF垂直的线段PH满足条件，
如图2，根据对称性，可作出两条：P1H1，P2H2，
如图3，P和H在邻边时，在边AB上取一点P3，以P3为圆心，以EF为半径画圆，经过点M画半径P3H3，且交边AD于H3，同理可画P4H4，所以有两条满足条件：P3H3和P4H4，
所以满足条件的直线PH最多有5条；
故答案为5．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（8分）（1）分解因式：3x2﹣6x+3
（2）解不等式组
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2；
（2），
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
20．（4分）解方程：1﹣＝．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得x﹣3﹣2＝1，
解这个方程，得x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣3≠0，所以x＝6是原方程的解．
故原方程的解是x＝6．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
【分析】可由题中条件求解△ADE≌△CBF，得出∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠BFA，进而可求证DE与BF平行．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
又∵AE＝CF，
在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴∠DEC＝∠BFA，
∴DE∥BF
22．（8分）今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？
【分析】设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比平时少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，
依题意，得：﹣＝5．
解得：x＝1．
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
答：该厂平时每天生产口罩1万只．
23．（8分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？
【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，
依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，
整理，得：2x2﹣13x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
又∵5﹣2x＞0，
∴x＜，
∴x＝1．
答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．
24．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．
（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是 ．
（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）展示所有12种等可能的结果数，找出这两名医护人员来自不同医院的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从这4名医护人员中随机选1名，选中的是男医护人员的概率＝＝；
故答案为；
（2）画树状图为：（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）
共有12种等可能的结果数，其中这两名医护人员来自不同医院的结果数为8，
所以这两名医护人员来自不同医院的概率＝＝．
25．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）求∠BAC的度数；
（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝1，OB＝，根据勾股定理可得出答案；
（2）得出△ABC是等边三角形即可；
（3）由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE≌△ACF；可得AE＝AF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝1，OB＝BD＝．
∴AB＝＝＝2；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
由（1）得：AB＝AC＝BC＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∠BAC＝60°；
（3）△AEF是等边三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC＝2，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
26．（12分）[阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）用配方法因式分解：x4+4；
（4）求4x2+4x+3的最小值．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）将35化成36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先加上4x2，再减去4x2，配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（4）将式子进行配方，利用偶次方的非负性可得即可得解．
【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣1
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（3）x4+4
＝x4+4+4x2﹣4x2
＝（x2+2）2﹣4x2
＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；
（4）4x2+4x+3
＝4x2+4x+1+2
＝（2x+1）2+2，
∵（2x+1）2≥0，
∴（2x+1）2+2≥2，
∴4x2+4x+3的最小值为2．
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．
（2）求证：∠ACG＝90°．
（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDG（SAS）可得结论．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）有最小值．连接EG．△ECG是直角三角形，AE＝CG，推出AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，求出EG的最小值即可解决问题．
（4）分两种情形：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时．如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，分别求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°．
（3）解：有最小值．连接EG．
∵△ECG是直角三角形，AE＝CG，
∴AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，
∵四边形DEFG是正方形，
∴EG＝DE，
∴DE的值最小时，EG的值最小，
根据垂线段最短可知，当DE⊥AC，DE＝AC＝×AB＝2时，AE2+EC2的值最小，最小值为8．
（3）解：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时，
∵∠CED＝∠EAD+∠ADE＝45°+30°＝75°，∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF＝∠CEF＝180°﹣45°﹣15°＝120°．
如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，
∴∠DEC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝15°，
∴∠EFC＝∠ACB﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°，
综上所述，满足条件的∠EFC的值为120°或30°．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
2．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
4．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ）
A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1
5．（4分）不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．（4分）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（ ）
A．16 B．8 C．16 D．8
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．（4分）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
10．（4分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
12．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）分解因式：y2﹣4＝ ．
14．（4分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ．
15．（4分）如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为 ．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 度．
18．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有 条．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（8分）（1）分解因式：3x2﹣6x+3
（2）解不等式组
20．（4分）解方程：1﹣＝．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
22．（8分）今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？
23．（8分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？
24．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．
（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是 ．
（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．
25．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）求∠BAC的度数；
（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
26．（12分）[阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）用配方法因式分解：x4+4；
（4）求4x2+4x+3的最小值．
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．
（2）求证：∠ACG＝90°．
（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意；
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴6﹣x＜6﹣y，故本选项不符合题意；
C、∵x＞y，
∴3x＞3y，故本选项符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣＜﹣，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意知x﹣4≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
4．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（ ）
A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1
【分析】由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：1：2：1；
故选：D．
5．（4分）不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：3x+3≤0，
3x≤﹣3，
x≤﹣1，
在数轴上表示为：．
故选：B．
6．（4分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝
＝1．
故选：B．
7．（4分）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（ ）
A．16 B．8 C．16 D．8
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，即可得出AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8．
故选：D．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
9．（4分）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，
答：袋中白球约有10个．
故选：B．
10．（4分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
11．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y1＝x+b的图象都在y2＝kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+3，
即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
故选：B．
12．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE＝∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，
∴CF＝3，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．（4分）分解因式：y2﹣4＝ （y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（y+2）（y﹣2）．
故答案为：（y+2）（y﹣2）．
14．（4分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ﹣1 ．
【分析】利用两根之积为﹣2求方程的另外一个根．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．
即方程的另一个根为﹣1．
故答案为﹣1．
15．（4分）如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】由点E是平行四边形ABCD中边AD上的任意一点，可得△EBC与▱ABCD等底等高，继而可得S△EBC＝S▱ABCD．
【解答】解：∵平行四边形ABCD面积为6，
∴S△EBC＝S▱ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
16．（4分）如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为 x＜﹣2 ．
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），
∴当x＜﹣2时，y＜0，
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＜﹣2．
故答案为x＜﹣2．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 50 度．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠CDF，
在△ADF和△CDF中，，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵∠AED＝50°，
∴∠DAE+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ADE+∠DCF＝130°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCD＝180°，
∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，
∴∠BCF＝180°﹣130°＝50°，
故答案为：50．
18．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有 5 条．
【分析】分P和H在对边和邻边两种情况画图，当P和H在对边时，作辅助线，构建三角形全等，可知：过M与EF垂直的PH＝EF，通过画图可解答，根据对称性可继续画P1H1和P2H2，在邻边时直接利用圆的性质画图可得．
【解答】证明：如图1，过M作PH⊥EF，则PH即为所求；
理由是：如图1，过B作BG∥EF，过C作CQ∥PH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠CBQ＝90°，
∴四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形，
∴EF＝BG，PH＝CQ，
∵PH＝EF，
∴BG＝CQ，
∵AB＝BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCQ（HL），
∴∠ABG＝∠BCQ，
∴∠ABG+∠CBG＝∠CBG+∠BCQ＝90°，
∴CQ⊥BG，
∴PH⊥EF，
所以图1中过M与EF垂直的线段PH满足条件，
如图2，根据对称性，可作出两条：P1H1，P2H2，
如图3，P和H在邻边时，在边AB上取一点P3，以P3为圆心，以EF为半径画圆，经过点M画半径P3H3，且交边AD于H3，同理可画P4H4，所以有两条满足条件：P3H3和P4H4，
所以满足条件的直线PH最多有5条；
故答案为5．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（8分）（1）分解因式：3x2﹣6x+3
（2）解不等式组
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2；
（2），
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
20．（4分）解方程：1﹣＝．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得x﹣3﹣2＝1，
解这个方程，得x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣3≠0，所以x＝6是原方程的解．
故原方程的解是x＝6．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
【分析】可由题中条件求解△ADE≌△CBF，得出∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠BFA，进而可求证DE与BF平行．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
又∵AE＝CF，
在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴∠DEC＝∠BFA，
∴DE∥BF
22．（8分）今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？
【分析】设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比平时少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，
依题意，得：﹣＝5．
解得：x＝1．
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
答：该厂平时每天生产口罩1万只．
23．（8分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？
【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，
依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，
整理，得：2x2﹣13x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
又∵5﹣2x＞0，
∴x＜，
∴x＝1．
答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．
24．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．
（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是 ．
（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）展示所有12种等可能的结果数，找出这两名医护人员来自不同医院的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从这4名医护人员中随机选1名，选中的是男医护人员的概率＝＝；
故答案为；
（2）画树状图为：（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）
共有12种等可能的结果数，其中这两名医护人员来自不同医院的结果数为8，
所以这两名医护人员来自不同医院的概率＝＝．
25．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）求∠BAC的度数；
（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝1，OB＝，根据勾股定理可得出答案；
（2）得出△ABC是等边三角形即可；
（3）由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE≌△ACF；可得AE＝AF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝1，OB＝BD＝．
∴AB＝＝＝2；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
由（1）得：AB＝AC＝BC＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∠BAC＝60°；
（3）△AEF是等边三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC＝2，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
26．（12分）[阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）用配方法因式分解：x4+4；
（4）求4x2+4x+3的最小值．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）将35化成36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先加上4x2，再减去4x2，配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（4）将式子进行配方，利用偶次方的非负性可得即可得解．
【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣1
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（3）x4+4
＝x4+4+4x2﹣4x2
＝（x2+2）2﹣4x2
＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；
（4）4x2+4x+3
＝4x2+4x+1+2
＝（2x+1）2+2，
∵（2x+1）2≥0，
∴（2x+1）2+2≥2，
∴4x2+4x+3的最小值为2．
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．
（2）求证：∠ACG＝90°．
（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDG（SAS）可得结论．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）有最小值．连接EG．△ECG是直角三角形，AE＝CG，推出AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，求出EG的最小值即可解决问题．
（4）分两种情形：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时．如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，分别求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°．
（3）解：有最小值．连接EG．
∵△ECG是直角三角形，AE＝CG，
∴AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，
∵四边形DEFG是正方形，
∴EG＝DE，
∴DE的值最小时，EG的值最小，
根据垂线段最短可知，当DE⊥AC，DE＝AC＝×AB＝2时，AE2+EC2的值最小，最小值为8．
（3）解：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时，
∵∠CED＝∠EAD+∠ADE＝45°+30°＝75°，∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF＝∠CEF＝180°﹣45°﹣15°＝120°．
如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，
∴∠DEC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝15°，
∴∠EFC＝∠ACB﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°，
综上所述，满足条件的∠EFC的值为120°或30°．
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