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2019-2020学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分）
1．（3分）不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
3．（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x≠ D．x≠
4．（3分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+4＝2（x+2） D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）
6．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝3x+b相交于点P，点P的横坐标是2，则不等式﹣x+4≤3x+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
7．（3分）分式方程+2＝的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝
8．（3分）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10cm，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 ．
14．（4分）分解因式：3a2b﹣12ab+12b＝ ．
15．（4分）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b＝，例如：1⊕2＝，若p⊕3＝，则p的值是 ．
16．（4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
17．（4分）若方程组的解为x、y，且x+y＞0，则k的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ ．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ACD是等腰三角形．
22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
23．（8分）5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．
（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？
（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？
24．（10分）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ ，☆＝ ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
25．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
2019-2020学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分）
1．（3分）不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是，
故选：B．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出BC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝3，
∴BC＝2×3＝6．
故选：C．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x≠ D．x≠
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：分式有意义，
则2x﹣3≠0，
解得，x≠，
故选：C．
4．（3分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．
【解答】解：
设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形的边数为9，
故选：D．
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+4＝2（x+2） D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式＝（x+1）2，错误；
C、原式＝2（x+2），正确；
D、原式＝3m（x﹣2y），错误，
故选：C．
6．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝3x+b相交于点P，点P的横坐标是2，则不等式﹣x+4≤3x+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】利用函数图象，写出直线l1不在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≥2时，﹣x+4≤3x+b，
所以不等式﹣x+4≤3x+b的解集为x≥2．
故选：D．
7．（3分）分式方程+2＝的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：+2＝，
去分母得：x﹣1+2（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：D．
8．（3分）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x米，则实际施工时每天铺设1.2x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，
由题意，得
故选：C．
9．（3分）如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．
【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.3，
∵▱ABCD的周长＝（4+3）×2＝14
∴四边形BCEF的周长＝×▱ABCD的周长+2.6＝9.6．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10cm，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】先利用BD：CD＝3：2计算出CD的长，然后根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BC＝10cm，BD：CD＝3：2，
∴CD＝×10＝4，
∵AD是角平分线，
∴点D到AB的距离等于CD，即点D到AB的距离为4cm．
故选：C．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与x轴的交点即为所求的点P的位置．
【解答】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与x轴的交点有4个．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 2x﹣3≥0 ．
【分析】首先表示出x的2倍与3的差为2x﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x﹣3≥0．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0．
故答案为：2x﹣3≥0．
14．（4分）分解因式：3a2b﹣12ab+12b＝ 3b（a﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3b（a2﹣4a+4）
＝3b（a﹣2）2．
故答案为：3b（a﹣2）2．
15．（4分）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b＝，例如：1⊕2＝，若p⊕3＝，则p的值是 2 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出方程的解即可得到p的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：﹣＝，
去分母得：3﹣1＝p，
解得：p＝2，
经检验p＝2是分式方程的解，
则p的值为2．
故答案为：2．
16．（4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
17．（4分）若方程组的解为x、y，且x+y＞0，则k的取值范围是 k＞﹣3 ．
【分析】将两个方程相加可得6x+6y＝k+3，即6（x+y）＝k+3，结合x+y＞0得出关于k的不等式，解之可得答案．
【解答】解：将两个方程相加可得6x+6y＝k+3，
即6（x+y）＝k+3，
∵x+y＞0，
则6（x+y）＝k+3＞0，
解得k＞﹣3，
故答案为：k＞﹣3．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ 10 ．
【分析】由BC⊥AC，则由勾股定理求得AC的长，得出OC长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∴OC＝AC＝3，
∵在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
在数轴上表示为：．
20．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ACD是等腰三角形．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，再连接AD即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到∠1＝∠C＝∠B＝36°，再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到∠DAC＝∠ADC，再根据等腰三角形的判定即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：DF是AB的垂直平分线．
（2）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝108°，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠1＝∠B＝36°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣36°＝72°，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+36°＝72°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形．
22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
23．（8分）5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．
（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？
（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？
【分析】（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，由“用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等”列出方程可求解；
（2）设购进A型号额温枪a只，“购买两种额温枪的总资金不超过5800元”列出不等式可求解．
【解答】解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，
由题意可得：，
解得：x＝200，
经检验：x＝200是原方程的根，
∴x﹣20＝180元，
答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；
（2）设购进A型号额温枪a只，
∵200a+180（30﹣a）≤5800，
∴a≤20，
∴最多可购进A型号额温枪20只．
24．（10分）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ 5 ，☆＝ 3 ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
【分析】【初步应用】根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数；
【深入研究】利用列竖式除法的结果进行分解．
【解答】解：【初步应用】□＝5，☆＝3；
故答案为5，3；
【深入研究】
所以x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（x2﹣1）＝（x+2）（x+1）（x﹣1）．
25．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
【分析】（1）证明∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠CAE，由SAS即可得出结论；
（2）求出∠ACB＝∠ACE＝30°，由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD＝180°，即可得出结果；
（3）由△BAD≌△CAE，得出DB＝CE，再证明∠ACE＝∠EMC，得出ME＝EC，推出DB＝ME，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，
∵EM∥BC，
∴∠MEC+∠ECD＝180°，
∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；
（3）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵EM∥BC，
∴∠EMC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠EMC，
∴ME＝EC，
∴DB＝ME，
又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分）
1．（3分）不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
3．（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x≠ D．x≠
4．（3分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+4＝2（x+2） D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）
6．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝3x+b相交于点P，点P的横坐标是2，则不等式﹣x+4≤3x+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
7．（3分）分式方程+2＝的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝
8．（3分）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10cm，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 ．
14．（4分）分解因式：3a2b﹣12ab+12b＝ ．
15．（4分）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b＝，例如：1⊕2＝，若p⊕3＝，则p的值是 ．
16．（4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
17．（4分）若方程组的解为x、y，且x+y＞0，则k的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ ．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ACD是等腰三角形．
22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
23．（8分）5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．
（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？
（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？
24．（10分）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ ，☆＝ ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
25．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
2019-2020学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共36分）
1．（3分）不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是，
故选：B．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出BC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝3，
∴BC＝2×3＝6．
故选：C．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x≠ D．x≠
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：分式有意义，
则2x﹣3≠0，
解得，x≠，
故选：C．
4．（3分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．
【解答】解：
设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形的边数为9，
故选：D．
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+4＝2（x+2） D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式＝（x+1）2，错误；
C、原式＝2（x+2），正确；
D、原式＝3m（x﹣2y），错误，
故选：C．
6．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝3x+b相交于点P，点P的横坐标是2，则不等式﹣x+4≤3x+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】利用函数图象，写出直线l1不在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≥2时，﹣x+4≤3x+b，
所以不等式﹣x+4≤3x+b的解集为x≥2．
故选：D．
7．（3分）分式方程+2＝的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：+2＝，
去分母得：x﹣1+2（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：D．
8．（3分）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x米，则实际施工时每天铺设1.2x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，
由题意，得
故选：C．
9．（3分）如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．
【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.3，
∵▱ABCD的周长＝（4+3）×2＝14
∴四边形BCEF的周长＝×▱ABCD的周长+2.6＝9.6．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10cm，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】先利用BD：CD＝3：2计算出CD的长，然后根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BC＝10cm，BD：CD＝3：2，
∴CD＝×10＝4，
∵AD是角平分线，
∴点D到AB的距离等于CD，即点D到AB的距离为4cm．
故选：C．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与x轴的交点即为所求的点P的位置．
【解答】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与x轴的交点有4个．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 2x﹣3≥0 ．
【分析】首先表示出x的2倍与3的差为2x﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x﹣3≥0．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0．
故答案为：2x﹣3≥0．
14．（4分）分解因式：3a2b﹣12ab+12b＝ 3b（a﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3b（a2﹣4a+4）
＝3b（a﹣2）2．
故答案为：3b（a﹣2）2．
15．（4分）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b＝，例如：1⊕2＝，若p⊕3＝，则p的值是 2 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出方程的解即可得到p的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：﹣＝，
去分母得：3﹣1＝p，
解得：p＝2，
经检验p＝2是分式方程的解，
则p的值为2．
故答案为：2．
16．（4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
17．（4分）若方程组的解为x、y，且x+y＞0，则k的取值范围是 k＞﹣3 ．
【分析】将两个方程相加可得6x+6y＝k+3，即6（x+y）＝k+3，结合x+y＞0得出关于k的不等式，解之可得答案．
【解答】解：将两个方程相加可得6x+6y＝k+3，
即6（x+y）＝k+3，
∵x+y＞0，
则6（x+y）＝k+3＞0，
解得k＞﹣3，
故答案为：k＞﹣3．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ 10 ．
【分析】由BC⊥AC，则由勾股定理求得AC的长，得出OC长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∴OC＝AC＝3，
∵在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
在数轴上表示为：．
20．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ACD是等腰三角形．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，再连接AD即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到∠1＝∠C＝∠B＝36°，再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到∠DAC＝∠ADC，再根据等腰三角形的判定即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：DF是AB的垂直平分线．
（2）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝108°，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠1＝∠B＝36°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣36°＝72°，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+36°＝72°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形．
22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
23．（8分）5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．
（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？
（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？
【分析】（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，由“用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等”列出方程可求解；
（2）设购进A型号额温枪a只，“购买两种额温枪的总资金不超过5800元”列出不等式可求解．
【解答】解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，
由题意可得：，
解得：x＝200，
经检验：x＝200是原方程的根，
∴x﹣20＝180元，
答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；
（2）设购进A型号额温枪a只，
∵200a+180（30﹣a）≤5800，
∴a≤20，
∴最多可购进A型号额温枪20只．
24．（10分）【类比学习】
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出□＝ 5 ，☆＝ 3 ．
【深入研究】
小明用这种方法对多项式x2+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解．
【分析】【初步应用】根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数；
【深入研究】利用列竖式除法的结果进行分解．
【解答】解：【初步应用】□＝5，☆＝3；
故答案为5，3；
【深入研究】
所以x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（x2﹣1）＝（x+2）（x+1）（x﹣1）．
25．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
【分析】（1）证明∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠CAE，由SAS即可得出结论；
（2）求出∠ACB＝∠ACE＝30°，由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD＝180°，即可得出结果；
（3）由△BAD≌△CAE，得出DB＝CE，再证明∠ACE＝∠EMC，得出ME＝EC，推出DB＝ME，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，
∵EM∥BC，
∴∠MEC+∠ECD＝180°，
∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；
（3）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵EM∥BC，
∴∠EMC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠EMC，
∴ME＝EC，
∴DB＝ME，
又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．
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