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2019-2020学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）使分式有意义，x的取值是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x≠1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如果a＜b，那么下列结论不正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
5．（3分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
8．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
9．（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
10．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣4a＝ ．
12．（3分）若解分式方程有增根，则k＝ ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则▱ABCD的面积是 ．
14．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）解分式方程：＝
16．（5分）解不等式组：
17．（5分）先化简，再求值：，其中a＝3．
18．（5分）如图，已知线段a，c（a＜c），直角α，用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（7分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE．BD与CE相交于点O．求证：（1）OB＝OC；（2）BE＝CD．
21．（7分）如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．
22．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
23．（8分）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的费用相同？
24．（10分）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A，B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中A，B两种消毒液准备购买共50桶．如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
25．（12分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
2019-2020学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）使分式有意义，x的取值是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0列式求解即可．
【解答】解：根据题意得得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：D．
3．（3分）如果a＜b，那么下列结论不正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；
C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；
D、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D结论不正确．
故选：D．
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝4，
故选：B．
7．（3分）如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1＝ax+b都在直线y2＝mx+n的上方，即有y1＞y2．
【解答】解：根据题意当x＞2时，若y1＞y2．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26．
故选：C．
9．（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得
210x+90（15﹣x）≥1800，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，推出CE＝CA，想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵MN垂直平分线段AE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，
∵AB＝CE＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BAE＝∠CAB+∠CAE＝90°，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣4a＝ 2a（a﹣2） ．
【分析】提取公因式2a，即可求得答案．
【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．
故答案为：2a（a﹣2）．
12．（3分）若解分式方程有增根，则k＝ ﹣1 ．
【分析】将方程右边变形后，去分母，整理后求出x的值，由分式方程有增根得到x＝2，即可求出k的值．
【解答】解：已知方程变形得：＝﹣，
去分母得：x﹣1＝﹣k，
解得：x＝1﹣k，
由分式方程有增根，得到x＝1﹣k＝2，
则k＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则▱ABCD的面积是 18 ．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵直角△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝9×2＝18，
故答案为：18．
14．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是 2 ．
【分析】作PH⊥MN于H，根据三角形中位线定理求出PM、PN、∠MPN，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，PM∥AB，PN∥CD，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝80°，PM＝PN，
∴∠MPN＝120°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝30°，MH＝HN，
∴PH＝PM＝1，
由勾股定理得，MH＝＝，
∴MN＝2MH＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）解分式方程：＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6x＝x+5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
16．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集为x≤1．
17．（5分）先化简，再求值：，其中a＝3．
【分析】根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值．代入化简后式子，即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝0．
18．（5分）如图，已知线段a，c（a＜c），直角α，用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先过直线l上的点C作l′⊥l，再在直线l上截取CB＝a，然后以B点圆心，c为半径画弧交直线l′于A，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°，∠2+∠D+∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（7分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE．BD与CE相交于点O．求证：（1）OB＝OC；（2）BE＝CD．
【分析】（1）由等腰三角形的性质证明∠OBC＝∠OCB，由等角对等边，即可解决问题．
（2）由ASA公理证明△ABD≌△ACE，得到AD＝AE，结合AB＝AC，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB；
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
（2）证明：如图，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，而AB＝AC，
∴BE＝CD．
21．（7分）如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．
【分析】在直角△BDE中，根据DE和∠BDE的三角函数值可以求得BE的长度，根据BE和EC的值计算BC的长度，即可解题．
【解答】解：根据题意可知：四边形ADEC为矩形，
∴ED＝CA＝30m，EC＝AD＝1.52m，
在直角△BDE中，∠BDE＝30°，
根据锐角三角函数定义得：tan∠BDE＝tan30°＝＝，
∴BE＝DE•＝10m，
∴BC＝BE+EC＝（10+1.52）m≈18.84m．
答：大树的高度约为18.84m．
22．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
23．（8分）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的费用相同？
【分析】设制作宣传材料数为x，则甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．根据20x+3000﹣30x≥0来判断选择哪家公司合算或者一样．
【解答】解：设制作宣传材料数为x，
由“甲广告公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3000元；乙广告公司提出：每份材料收费30元，不收设计费”得：
甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．
∴20x+3000﹣30x≥0，
∴x≤300．
故（1）x＞300时选择甲公司比较合算；
（2）x＜300时选择乙公司比较合算；
（3）x＝300时两公司的收费相同．
24．（10分）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A，B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中A，B两种消毒液准备购买共50桶．如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量＝总价÷单价结合用2500元购买A种消毒液的数量是用2000元购买B种消毒液数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，根据总价＝单价×数量结合学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元．
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，
依题意，得：50（50﹣m）+80m≤3250，
解得：m≤25．
答：学校此次最多可购买25桶B种消毒液．
25．（12分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得△BCD≌△ACE，可得BC＝AC，即可求旋转角的度数；
（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠EAC，由直角三角形的性质可求∠AND＝90°，即可得AE⊥BD；
（3）由勾股定理可求DE的长，再由勾股定理可求AE＝BD的长．
【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD≌△ACE
∴AC＝BC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∴∠ACB＝90°
故旋转角的度数为90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°
∴∠MBC+∠BMC＝90°
∵△BCD≌△ACE
∴∠DBC＝∠EAC
即∠MBC＝∠NAM
又∵∠BMC＝∠AMN
∴∠AMN+∠CAE＝90°
∴∠AND＝90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接DE，
由旋转图形的性质可知
CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°
∴∠EDC＝∠CED＝45°
∵CD＝3，
∴CE＝3
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°
∴DE＝＝＝3
∵∠ADC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°
∴EA＝＝＝
∴BD＝
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）使分式有意义，x的取值是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x≠1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如果a＜b，那么下列结论不正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
5．（3分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
8．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
9．（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
10．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣4a＝ ．
12．（3分）若解分式方程有增根，则k＝ ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则▱ABCD的面积是 ．
14．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）解分式方程：＝
16．（5分）解不等式组：
17．（5分）先化简，再求值：，其中a＝3．
18．（5分）如图，已知线段a，c（a＜c），直角α，用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（7分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE．BD与CE相交于点O．求证：（1）OB＝OC；（2）BE＝CD．
21．（7分）如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．
22．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
23．（8分）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的费用相同？
24．（10分）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A，B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中A，B两种消毒液准备购买共50桶．如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
25．（12分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
2019-2020学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）使分式有意义，x的取值是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0列式求解即可．
【解答】解：根据题意得得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：D．
3．（3分）如果a＜b，那么下列结论不正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；
C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；
D、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D结论不正确．
故选：D．
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝4，
故选：B．
7．（3分）如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1＝ax+b都在直线y2＝mx+n的上方，即有y1＞y2．
【解答】解：根据题意当x＞2时，若y1＞y2．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．26 D．24
【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26．
故选：C．
9．（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得
210x+90（15﹣x）≥1800，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，推出CE＝CA，想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵MN垂直平分线段AE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，
∵AB＝CE＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BAE＝∠CAB+∠CAE＝90°，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣4a＝ 2a（a﹣2） ．
【分析】提取公因式2a，即可求得答案．
【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．
故答案为：2a（a﹣2）．
12．（3分）若解分式方程有增根，则k＝ ﹣1 ．
【分析】将方程右边变形后，去分母，整理后求出x的值，由分式方程有增根得到x＝2，即可求出k的值．
【解答】解：已知方程变形得：＝﹣，
去分母得：x﹣1＝﹣k，
解得：x＝1﹣k，
由分式方程有增根，得到x＝1﹣k＝2，
则k＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则▱ABCD的面积是 18 ．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵直角△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝9×2＝18，
故答案为：18．
14．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是 2 ．
【分析】作PH⊥MN于H，根据三角形中位线定理求出PM、PN、∠MPN，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，PM∥AB，PN∥CD，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝80°，PM＝PN，
∴∠MPN＝120°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝30°，MH＝HN，
∴PH＝PM＝1，
由勾股定理得，MH＝＝，
∴MN＝2MH＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）解分式方程：＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6x＝x+5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
16．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集为x≤1．
17．（5分）先化简，再求值：，其中a＝3．
【分析】根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值．代入化简后式子，即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝0．
18．（5分）如图，已知线段a，c（a＜c），直角α，用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先过直线l上的点C作l′⊥l，再在直线l上截取CB＝a，然后以B点圆心，c为半径画弧交直线l′于A，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°，∠2+∠D+∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（7分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE．BD与CE相交于点O．求证：（1）OB＝OC；（2）BE＝CD．
【分析】（1）由等腰三角形的性质证明∠OBC＝∠OCB，由等角对等边，即可解决问题．
（2）由ASA公理证明△ABD≌△ACE，得到AD＝AE，结合AB＝AC，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB；
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
（2）证明：如图，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，而AB＝AC，
∴BE＝CD．
21．（7分）如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．
【分析】在直角△BDE中，根据DE和∠BDE的三角函数值可以求得BE的长度，根据BE和EC的值计算BC的长度，即可解题．
【解答】解：根据题意可知：四边形ADEC为矩形，
∴ED＝CA＝30m，EC＝AD＝1.52m，
在直角△BDE中，∠BDE＝30°，
根据锐角三角函数定义得：tan∠BDE＝tan30°＝＝，
∴BE＝DE•＝10m，
∴BC＝BE+EC＝（10+1.52）m≈18.84m．
答：大树的高度约为18.84m．
22．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
23．（8分）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的费用相同？
【分析】设制作宣传材料数为x，则甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．根据20x+3000﹣30x≥0来判断选择哪家公司合算或者一样．
【解答】解：设制作宣传材料数为x，
由“甲广告公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3000元；乙广告公司提出：每份材料收费30元，不收设计费”得：
甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．
∴20x+3000﹣30x≥0，
∴x≤300．
故（1）x＞300时选择甲公司比较合算；
（2）x＜300时选择乙公司比较合算；
（3）x＝300时两公司的收费相同．
24．（10分）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A，B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资．其中A，B两种消毒液准备购买共50桶．如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量＝总价÷单价结合用2500元购买A种消毒液的数量是用2000元购买B种消毒液数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，根据总价＝单价×数量结合学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元．
（2）设学校此次购买了m桶B种消毒液，则购买了（50﹣m）桶A种消毒液，
依题意，得：50（50﹣m）+80m≤3250，
解得：m≤25．
答：学校此次最多可购买25桶B种消毒液．
25．（12分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得△BCD≌△ACE，可得BC＝AC，即可求旋转角的度数；
（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠EAC，由直角三角形的性质可求∠AND＝90°，即可得AE⊥BD；
（3）由勾股定理可求DE的长，再由勾股定理可求AE＝BD的长．
【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD≌△ACE
∴AC＝BC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∴∠ACB＝90°
故旋转角的度数为90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°
∴∠MBC+∠BMC＝90°
∵△BCD≌△ACE
∴∠DBC＝∠EAC
即∠MBC＝∠NAM
又∵∠BMC＝∠AMN
∴∠AMN+∠CAE＝90°
∴∠AND＝90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接DE，
由旋转图形的性质可知
CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°
∴∠EDC＝∠CED＝45°
∵CD＝3，
∴CE＝3
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°
∴DE＝＝＝3
∵∠ADC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°
∴EA＝＝＝
∴BD＝
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