2019_2020学年济南市历城区八下期末数学试卷

这是一份2019_2020学年济南市历城区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A. xa+2b=ax+2bx
B. x2−1+4y2=x−1x+1+4y2
C. x2−4y2=x+2yx−2y
D. ax+bx−c=xa+b−c

2. 不等式 −2x<4 的解集是
A. x<2B. x>2C. x<−2D. x>−2

3. 化简 m2m−3−9m−3 的结果是
A. m+3B. m−3C. m−3m+3D. m+3m−3

4. 一元二次方程 x2−4x+2=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根

5. 某多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则此多边形的边数是 条．
A. 5B. 6C. 7D. 8

6. 如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 A，B 两点，则不等式 kx+b≤0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

7. 菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 C 的坐标是 6,0，点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的坐标是
A. 3,1B. 3,−1C. 1,−3D. 1,3

8. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，且 AB=AE，则 ∠EBC 的度数是
A. 45 度B. 30 度C. 22.5 度D. 20 度

9. 若分式 1x−2 的值为整数，则整数 x 的值为
A. 1B. ±1C. 3D. 1 或 3

10. 如图，将 Rt△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 Rt△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上．若 AC=3，∠B=60∘，则 CD 的长为
A. 0.5B. 1.5C. 2D. 1

11. 关于 x 的分式方程 mx−1+31−x=1 的解为正数，则 m 的取值范围是
A. m>2B. m>2 且 m≠3
C. m<2D. m>3 且 m≠2

12. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：① BE=DF；② AC 垂直平分 EF；③ BE+DF=EF；④ S△CEF=2S△ABE，其中正确结论是
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分式 x−5x+8 有意义的条件是 ．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A 比 ∠B 大 50∘，则 ∠C 的度数为 ∘．

15. 为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元．设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 ．

16. 如图，E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形 EFGH 的面积是 ．

17. 已知三角形的两边长是 4 和 6，第三边的长是方程 x−32=1 的解，则此三角形的周长 = ．

18. 如图，菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60∘，E 是 CD 的中点，在对角线 AC 上有一动点 P，在某个位置存在 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. （1）解不等式组 x−3x−2≤4,1+2x3>x−1, 并把解集在数轴上表示出来．
（2）因式分解：4x2y−4xy2+y5．
（3）计算：3xx−2−xx+2÷xx2−4．

20. 解下列方程：
（1）2−x3+x=12+1x+3．
（2）2x2+x−1=0．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA 和 OC 的中点，求证：四边形 BFDE 是平行四边形．

22. 如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 交于点 O，其中 AC=6，BD=8，AE⊥BC 于点 E，求 AE 的长度．

23. 我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多 4 元，用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等．
（1）文学书和科普书的单价各多少钱?
（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书?

24. 某种服装，平均每天销售 20 件，每件盈利 32 元，在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，如果每天要盈利 900 元，每件应降价多少元?

25. 如图，已知 △ABC 中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点 D 为 AB 的中点．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 s 后，△BPD 与 △CQP 是否全等，请说明理由；
②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 △BPD 与 △CQP 全等?
（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 △ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ABC 的哪条边上相遇?

26. 在 △ABC 中，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B，C 重合）以 AD 为边作菱形 ADEF，使 ∠DAF=∠BAC，连接 CF．
（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：BD=CF；
（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BAC=90∘ 时．
①问（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE，若 AB=22，CD=BC，请求出 GE 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】根据题意得：从左到右的变形中，是因式分解的为 x2−4y2=x+2yx−2y．
2. D
3. A【解析】本题考查分式的加减，分式的加减先通分，再分子相加，然后对分子分母进行因式分解，最后通过约分，化为最简分式．m2m−3−9m−3=m2−9m−3=m+3m−3m−3=m+3．
4. B
5. D
【解析】根据题意，得：n−2×180=360×3，解得 n=8．
6. B【解析】由图象可以看出，x 轴及其下方的函数图象所对应自变量的取值范围为 x≤−2，
∴ 不等式 kx+b≤0 的解集是 x≤−2．
7. B
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC=45∘，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5∘，
∵∠ABE+∠ECB=90∘，
∴∠EBC=22.5∘．
9. D【解析】由分式 1x−2 的值为整数，则整数 x 的值为 1 或 3．
10. D
11. B【解析】m−3=x−1，解得：x=m−2，
根据题意得：m−2>0，且 m−2≠1，解得：m>2 且 m≠3．
12. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90∘．
∵△AEF 等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60∘．
∴∠BAE+∠DAF=30∘．
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，
AE=AF,AB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF（故①正确）．
∵BC=CD，
∴BC−BE=CD−DF，即 CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC 垂直平分 EF．（故②正确）．
设 EC=x，由勾股定理，得 EF=2x，CG=22x，
AG=AEsin60∘=EFsin60∘=2×CGsin60∘=62x,
∴AC=6x+2x2，
∴AB=3x+x2，
∴BE=3x+x2−x=3x−x2，
∴BE+DF=3x−x≠2x，（故③错误），
∵S△CEF=12x2，S△ABE=14x2，
∴2S△ABE=12x2=S△CEF，（故④正确）．
综上所述，①②④正确．
第二部分
13. x≠−8
【解析】依题意得：x+8≠0．解得 x≠−8．
14. 115
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A−∠B=50∘，
∴∠A=115∘，
∴∠C=115∘．
15. 2891−x2=256
【解析】设平均每次降价的百分率为 x，则第一降价售价为 2891−x 元，则第二次降价后为 2891−x2 元，
由题意得：2891−x2=256．
16. 24
【解析】∵E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点，AB=6，BC=8，
∴AH=DH=BF=CF=4，AE=BE=DG=CG=3．
在 △AEH 与 △DGH 中，
∵AE=DG,∠A=∠D,AH=DH,
∴△AEH≌△DGH SAS．
同理可得 △AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S四边形EFGH=S长方形ABCD﹣4S△AEH=6×8−4×12×3×4=48−24=24．
17. 14
【解析】解方程 x−32=1 得 x1=4，x2=2，
∵2+4=6，
∴ 三角形第三边长为 4，
∴ 三角形的周长为 4+4+6=14．
18. 27
【解析】如图，连接 BE，过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于点 F，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ 点 B，D 关于 AC 对称，
∴ BE 的长是 PD+PE 的最小值，
∵ 菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60∘，
∴ BC=CD=AB=4，AB∥CD，
∴ ∠ECF=∠ABC=60∘，
∵ E 是 CD 的中点，
∴ CE=12CD=2，
∴ CF=CE⋅cs60∘=2×12=1，EF=CE⋅sin60∘=3，
∴ BF=BC+CF=5，
∴ BE=BF2+EF2=52+32=27，
即 PD+PE 的最小值为 27．
第三部分
19. （1） 由 x−3x−2≤4 可得：
−2x≤−2.x≥1.
由 1+2x3>x−1 可得：
1+2x>3x−3.−x>−4.x<4.∴
不等式组的解集为：1≤x<4，
在数轴上表示如图：
（2） 原式=y4x2−4xy+y4．
（3） 原式=2xx+4x+2x−2⋅x+2x−2x=2x+8.
20. （1）
2−x3+x=12+1x+3.4−2x=x+3+2.
解得，
x=−13.
检验：当 x=−13 时，2x+3≠0，
∴ 原方程的解是 x=−13．
（2）
2x2+x−1=0.Δ=1+8=9>0.x=−1±34.x1=−1,x2=12.
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BO=OD，AO=OC，
又 ∵E，F 分别为 AO，OC 的中点，
∴EO=OF，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．
22. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴CO=12AC=3，BO=12BD=4，CO⊥BO，
∴BC=CO2+BO2=5，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=245．
23. （1） 设文学书的单价为每本 x 元，则科普书的单价为每本 x+4 元，
依题意得：
12000x+4=8000x,
解得：
x=8,
经检验 x=8 是方程的解，并且符合题意．
所以
x+4=12.
所以购进文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元．
（2） 设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书．
依题意得，
550×8+12y≤10000,
解得
y≤46623,
因为 y 为整数，
所以 y 的最大值为 466，
所以至多还能购进 466 本科普书．
24. 设每件应降价 x 元，根据题意，得：
32−x20+5x=900,
解方程得
x=2或x=26,∵
降价幅度不超过 10 元，
∴x=26 不合题意舍去，
答：每件服装应降价 2 元．
25. （1） ① ∵t=1 s，
∴BP=CQ=3×1=3 cm，
∵AB=10 cm，点 D 为 AB 的中点，
∴BD=5 cm．
又 ∵PC=BC−BP，BC=8 cm，
∴PC=8−3=5 cm，
∴PC=BD．
又 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △BPD 和 △CQP 中，
BD=CP,∠B=∠C,BP=CQ.
∴△BPD≌△CQPSAS．
② ∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若 △BPD≌△CQP，∠B=∠C，
则 BP=PC=4 cm，CQ=BD=5 cm，
∴ 点 P，点 Q 运动的时间 t=BP3=43 s，
∴vQ=CQt=543=154 cm/s．
（2） 设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，
由题意，得 154x=3x+2×10，
解得 x=803．
∴ 点 P 共运动了 803×3=80 cm．
△ABC 周长为：10+10+8=28 cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84 cm，
∵84−80=4 cm ∴ 点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，
∴ 经过 803 s 点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇．
26. （1） 菱形 ADEF 中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在 △DAB 与 △FAC 中，
AD=AF,∠BAD=∠CAF,AB=AC,
∴△DAB≌△FAC，
∴BD=CF．
（2） ①（1）中的结论仍然成立；理由如下：
∵∠BAC=∠DAF=90∘，
∴∠BAD=∠CAF，
在 △DAB 与 △FAC 中，
AD=AF,∠BAD=∠CAF,AB=AC,
∴△DAB≌△FAC，
∴BD=CF；
②过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，过点 E 作 EM⊥BD 于点 M，EN⊥CF 于点 N，如图所示：
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴BC=2AB=4，AH=BH=HC=2，
∴CD=BC=4，
∴DH=6，CF=BD=8，
∵ 四边形 ADEF 是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90∘，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴ 四边形 CMEN 是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90∘，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90∘，
∴∠ADH=∠DEM，
在 △ADH 与 △DEM 中，
∠ADH=∠DEM,∠AHD=∠DME,AD=DE,
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=6，DM=AH=2，
∴CN=EM=6，EN=CM=6，
∵∠ABC=45∘，
∴∠BGC=45∘，
∴△BCG 是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=2，
∴GE=GN2+EN2=22+62=210．