2019届二轮（理科数学）小题易丢分作业（江苏专用）
展开2019届二轮（理科数学） 小题易丢分（题） （解析版）
一、单选题
1．放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示， 格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．已知椭圆和双曲线有共同焦点， 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）
A. B. C. 2 D. 3学
【答案】A学
点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.
3．已知双曲线（）的焦距为，直线过点且与双曲线的一条渐近线垂直；以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性知， ，因为所以
=，根据题意所成的角为60°的“直线对”只有2对，则， 学
又因为在右支上存在一点，使由焦半径公式得，得
，故因为即
综上则该双曲线的离心率的取值范围是
故选学
点睛：本题考查了双曲线的离心率问题，综合性较强，一定要理解题目中给出的条件意思，将其转化为数学语言，如“所成的角为60°的“直线对”只有2对”将其转化为离心率问题，需要熟练运用基础知识
5．已知点， ， ， ， ， 是抛物线（）上的点， 是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．在三菱柱中， 是等边三角形， 平面， ， ，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知， ，由，知异面直线和所成的角为直角，正弦值为，故选A.
【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.学
7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，
在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
∴四边形EFCB为梯形，所以直线BE与直线CF相交。故①不正确。
结合图形可得直线BE与直线AF异面，故②正确。
由， 平面PBC， 平面PBC，可得直线EF∥平面PBC。故③正确。
对于④，如图，假设平面BCEF⊥平面PAD。
过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN， .
∴PO⊥OM，
又PO=ON，
∴PM=MN。
若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直。故④不一定成立。
综上只有②③正确。选B。学
点睛：解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理的应用要准确、考虑问题要全面细致．
8．下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
故选A.
9．已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D. 与的大小无关
【答案】C
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心为对角线AC的中点，AC=5，所以球的半径为，所以球的表面积为学
故选C.
10．如图（1），五边形是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中， ，现将进行翻折，使得平面平面，连接，所得四棱锥如图（2）所示，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
故选C.
点睛：本题考查了多面体的外接球，把不易求其外接球半径的几何体转化为易求半径的几何体是解题的关键，体现了补体的方法. 学
二、填空题
11．条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】是的充分不必要条件，
是不等式的解集的真子集
故
12．下列说法中所有正确命题的序号是__________．
①“”是“”成立的充分非必要条件；
②、，则“”是“”的必要非充分条件；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.
【答案】②③④
当时，则，所以，所以在等比数列中， 是的充要条件，所以是正确的，故选②③④. 学
13．给出下列四个结论：
（1）是真命题，则可能是真命题；
（2）命题“”的否定是“”；
（3）“且”是“”的充要条件；
（4）当时，幂函数在区间上单调递减其中正确结论是______.
【答案】4
14．三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，侧面三角形为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是__________．
【答案】
【解析】如图，
∵三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为3的等边三角形，
侧面三角△ACD为等腰三角形，且腰长为，AB=2，
∴AB2+BC2=AC2，AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BC，AB⊥BD，
∵BC∩BD=B，∴AB⊥平面BCD，
∴将三棱锥还原成三棱柱AEF﹣BCD，
则上下底面中心O1，O2的连线的中点O为三棱锥A﹣BCD外接球的球心，
如图，BO2=，O2O=1，BO==2，
∴三棱锥A﹣BCD外接球表面积S=4πr2=4π×22=16π．
故答案为： ．学
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
15．在正方体中， 分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
【答案】
点睛：本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
16．已知是两个不同的平面, 是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断:(1) ;(2) (3) (4) .以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:___________．
【答案】或
17．由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________. 学
【答案】
【解析】由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×12×1=，
则该几何体的体积V=V1+2V2=，
故答案为：
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
18．已知为直线： 上两动点，且，圆： ,
圆上存在点， 使，则线段中点的横坐标取值范围为__________
【答案】
【解析】由题，设 ，线段中点 则由已知及余弦定理可得 ，即
又 ，两边平方 解得 ，
即 ，则 ，即
即答案为
19．三棱锥中， 平面， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积是__________．
【答案】5
即答案为 ．
20．已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
21．在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的等边三角形，底面是矩形，且，则该四棱锥外接球的表面积等于__________.
【答案】
【解析】∵平面SAB⊥平面SAD,平面SAB∩平面SAD=SA,侧面SAB是边长为的等边三角形，设AB的中点为E，SA的中点为F，
则BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD，∴BF⊥AD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB，SE⊂平面SAB，
∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A，
∴该四棱锥外接球的表面积.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
22．表面积为的球面上有四点， ， ， ，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________.
【答案】
【解析】过O作OF⊥平面SAB,则F为△SAB的中心,过F作FE⊥SA于E点,则E为SA中点,
取AB中点D,连结SD,则∠ASD=30∘，设球O半径为r,则,解得.
连结OS,则
.
过O作OM⊥平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥S−ABC体积最大.
连结OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四边形OMDF是矩形，
, , .
∴三棱锥S−ABC体积.
点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，
23．已知点为曲线： 上的一点， 在第一象限，曲线在点处的切线为，过点垂直于的直线与曲线的另外一个交点为，当点的横坐标为_______时， 长度最小。
【答案】
24．若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程是______，若点是直线上一点，则到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于______.
【答案】
【解析】设l斜率为 ，椭圆的弦被点平分，由点差法得到， 得到 =，代入已知的中点P的坐标得到直线方程为；设点 , 则到椭圆的两个焦点距离，先找点关于的对称点为,连接，交直线于点M，此时距离之和最小，最小值为 。
故答案为：(1) (2) 。
点睛：这个题目考查了椭圆中的点差法的应用，点差法就是联系弦中点和原点构成的斜率和直线的斜率的关系的；再就是考查了直线两侧的点的距离和问题，一般是点在直线一侧和有最小值，点在直线两侧差有最大值.
25．若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则_____，的面积______.
【答案】
26．若抛物线的焦点，则__________；设是抛物线上的动点， ，则的最小值为__________．
【答案】 2 5
【解析】由 得 ；设M,A在准线上的射影为M1，A1
则
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
27．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，设为线段的中点， 为坐标原点，则__________．
【答案】1.
【解析】
设是双曲线的右焦点，连接P.
∵M、O分别为FP、FF′的中点,∴.
，由双曲线定义得， ，
故， .
答案为：1.
点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理，及双曲线的定义列式求解即可. . .X.X.
28．在棱长为1的正方体中， 为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于__________．
【答案】
29．如图，正方体的棱长为 1， 为的中点， 为线段上的动点，过点
的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．
①当时， 为四边形；②当时， 为等腰梯形；③当时， 为六边形；④当时， 的面积为. 学
【答案】①②④
④当时， 与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，故正确，故答案为①②④.
30．矩形中， ， ，沿将折起到使平面平面， 是线段的中点， 是线段上的一点，给出下列结论：
①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；
③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.
其中正确结论的序号是__________．
【答案】①④ .
