2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．若变量满足约束条件,则的最大值是（    ）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】作出束条件表示的可行域，如图，表示点 与可行域内的 动点 连线的斜率，由可得 ， 由图可知最大值就是 ，故选A.2．“”是“函数在上存在零点”的 （ ）A．充分不必要条件    B．必要不充分条件C．充要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：“函数在上存在零点”或，故选A．考点：充要条件的判断.3．设全集U是实数集R，如下图所示，则阴影部分所表示的集合为(　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，又在集合中，即，又，∴图中阴影部分表示的集合是：，故选A.4．集合，集合，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解，得到答案.【详解】因为，，由集合的交集运算可得，故选D.【点睛】本题主要考查了集合表示方法，以及集合交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.5．已知实数满足约束条件，若的最大值为1，则实数的值为（  ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图画出可行域，当时，目标函数才有最大值，根据选项可得，而目标函数，斜率为3，所以函数过点时函数取得最大值， ，解得 ，所以，解得：，故选C.6．设，满足约束条件则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝x+y，经过可行域的A，O时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），目标函数z＝x+y的最大值为：0+3=3，最小值为：0，目标函数z＝x+y的取值范围：[0，3]．故选：D．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．7．在中，角，，所对应的边分别为，，，则“”是“”的（ ）A．充分非必要条件          B．充分必要条件C．必要非充分条件          D．非充分非必要条件【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理可知，中，均小于，所对应的边分别为，都是正数，“”“”，所以是充分必要条件；故选B．考点：正弦定理8．若集合，，则（ ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】试题分析：由题意，．故选D．考点：集合的运算．9．已知函数，则的最小值等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由得，即，，当且仅当时取等号．故选A．考点：基本不等式．对数函数的性质．10．△ABC中，sinA=sinB是∠A=∠B的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵∠A=∠B∵反之，由正弦定理知==2R，∵sinA=sinB，∴a=b，∴A=B.∴sinA=sinB是∠A=∠B的充要条件.故选C.  二、填空题11．“函数为奇函数” 是“”的       条件． 【答案】必要不充分【解析】试题分析：因为函数为奇函数，不一定有，但是一定有为奇函数，因此可以判断“函数为奇函数” 是“”的必要不充分条件．考点：简单逻辑连接词．12．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合        .【答案】【解析】试题分析：因且,故,应填.考点：映射的概念及运用．13．下列是有关△的几个命题： 若，则△是锐角三角形； 若，则△是等腰三角形； 若，则△是等腰三角形；④ 若，则△是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________【答案】①③【解析】【分析】根据正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择.【详解】因为△中，所以若，则,因此必有,即△是锐角三角形；若，则， 或;若，则， ，，,所以△是等腰三角形；若，则,所以或，即或；综上正确命题的序号是①③.【点睛】本题考查正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式，考查基本转化与判断化简能力，属中档题.14．已知点是半径为4的圆内的一个定点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与半径相交于点，则的最大值为_________.【答案】4【解析】∵A是半径为4的圆C内一个定点，P是圆C上的一个动点，线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，∴|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，∴，∴|CQ|⋅|QM|⩽4，当且仅当Q为CP中点时取等号，∴|CQ|⋅|QM|的最大值为4.故答案为：4.15．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是           【答案】【解析】试题分析：设则，，∴∴，不等式恒成立可化为恒成立，即恒成立，故∴.考点：均值不等式及恒成立问题16．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为Q，P，结合抛物线的定义在梯形ABPQ中可得，在中由余弦定理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，利用基本不等式得到，进而可得所求的最大值．【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A，B作准线l：的垂线，垂足分别为Q，P，由抛物线定义得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|．在梯形ABPQ中2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，∴.在中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab，又，∴， ∴， ∴，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．故答案为．【点睛】（1）由抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离间的转化，另外对于弦长可在三角形中由余弦定理求得．（2）对于圆锥曲线中的最值问题，可根据题意得到目标函数后利用基本不等式或利用函数的知识解决． 三、解答题17．设命题：函数的定义域为；命题：当时，函数恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求的取值范围．【答案】．【解析】试题分析：首先由函数定义域为R求得命题P中a的范围，由不等式恒成立得到q中a的范围，结合复合命题真假性判定可得p，q一真一假，分情况讨论得到a的范围试题解析：命题p：函数y＝lg的定义域为R可知，Δ＝1－＜0，解得a＞2或a<-2．因此，命题p为真时，a＞2或a<-2．对于命题q：当x∈  时，函数y＝x＋＞恒成立，即函数y＝x＋在x∈  的最小值ymin＞，∵ymin＝2，即2＞，∴a<0或a＞．因此，命题q为真时，a<0或a＞．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，可得a∈∅；当p假q真时，可得-2≤a<0或＜a≤2．综上所述，a的取值范围为 ．考点：1．不等式恒成立问题；2．复合命题18．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先利用韦达定理求得的值，由此写出数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由题意，得解得故数列的通项公式为，即.（2）由（1）知，所以 所以 ，【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查韦达定理，考查数列中的裂项求和法.属于中档题.一元二次不等式或者的解集，都跟它对应的一元二次方程的根有关，所以本题可以利用题目所给的一元二次不等式的解集，和韦达定理，求得的值.19．已知集合，，且，求实数的值.【答案】0或【解析】【分析】根据题意，分别讨论，两种情况，即可得出结果.【详解】因为集合，，且，∴若，解得；若，解得或（舍）；综上，实数的值为0或.【点睛】本题主要考查由集合间包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于基础题型.20．已知集合是关于的不等式的解集，且中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集．【答案】若，不等式的解集为；若，不等式的解集为.【解析】【分析】将已知不等式因式分解化为,将代入可解得的范围,然后按照,分两种情况讨论可解得.【详解】由不等式因式分解可得:，由方程，可得两个根分别为：，．由适合不等式，故得，∴，或．若,则,所以 此时不等式的解集为．若，则,所以，此时不等式的解集为．综上所述: 若，不等式的解集为；若，不等式的解集为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.21．已知函数，且为常数.（1）当时，求的解集；（2）当，恒有，求实数的取值范围.（3）若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)令代入原式化简成二次函数的形式再进行求解即可.(2)参变分离有,故求在区间上的最小值即可.(3)参变分离后有故求在区间上的最大值即可.【详解】(1) 令,则当时,有或.因为,所以.(2)当时令.恒有即恒有在上恒成立.因为在上单调递增,故.故.(3)同(2)有在上有解.因为在上单调递减,故.故【点睛】本题主要考查了有关二次函数的复合函数问题,需要换元进行求解,同时也考查了在区间上恒成立与能成立问题,参变分离求最值即可.属于中等题型.22．设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.（1）如果是真命题，求实数的取值范围.（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) 实数的取值范围为;(2) 实数的取值范围是或.【解析】【详解】试题分析：（1）由函数的定义域为可得，可得实数的取值范围为；（2）化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）若命题是真命题，则有①当时定义域为，不合题意②当时，由已知可得故所求实数的取值范围为（2）若命题是真命题，则关于的方程有实根，令， ∴若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假若真假，则；若假真，则综上：实数的取值范围是或.