2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．已知函数的定义域为, 函数的定义域为,则下述关于的关系中,不正确的为（    ）A． B．C． D． 【答案】D【解析】【分析】分别求出两函数的定义域，再判断集合关系.【详解】因为，所以即 ，解得 故 因为，所以 ，解得故所以 故选D.【点睛】本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题.2．已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的点处，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界的点处，此时取得最小值为.故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.3．在边长为1的正三角形ABC中，且则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据，可将表示为，利用数量积运算及基本不等式，可求的最大值．【详解】由题意，∵∴1∵x＞0，y＞0，且x+y＝1∴xy∴﹣11当且仅当x＝y时，取等号∴当x＝y时，的最大值为故选：B．【点睛】本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．4．已知集合，，则等于A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先化简集合M,N，再求.【详解】由题得M={x|0＜x＜2}，所以={1}，故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5．下列各式中，正确的个数是（   ）（1），（2），（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据集合的相关定义逐个判断。【详解】表示空集，没有元素，有一个元素，则，故（1）错误空集是任何集合的子集，故（2）正确和都表示集合，故（3）错误0表示元素，表示集合，故（4）错误，故（5）正确，都表示集合，故（6）错误中的元素都是中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故，故（8）正确综上，正确的个数是4个故选D【点睛】本题主要考查了空集的辨析，一定要运用定义来进行判断，较为基础。6．设集合，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得,则.考点：集合的运算.7．设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）A．14 B．16 C．17 D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B． 8．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再求 ，进而求.【详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由题意得，=（0,2），∴，故选C.【点睛】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．9．当时，函数的最小值为 (    )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】对变形为，利用基本不等式求解。【详解】可化为，又当且仅当时，故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等，属于基础题。10．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【解析】【分析】根据双曲线与椭圆共焦点可求得；根据可构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】椭圆的焦点坐标为：        ，（当且仅当，即时取等号）本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据的关系配凑出符合基本不等式的形式，属于常规题型.11．已知，，则为（    ）A．3 B．3或1 C．0 D．-1【答案】A【解析】结合所给的选项：当时，，满足；当时，，集合的元素不满足互异性，不合题意；当时，，集合的元素不满足互异性，不合题意；当时，，集合的元素不满足互异性，不合题意；本题选择A选项.12．已知集合且，则集合可能是（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念和运算，求得正确选项.【详解】由于集合且，所以集合必须含有元素，只有B选项符合.故选：B.【点睛】本小题主要考查根据并集的结果判断集合所包含的元素，属于基础题.  二、填空题13．若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为     ．【答案】【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．解：不等式组对应的平面区域为三角形OAB，其中A（8，0），B（0，2），对应的面积为S=，x2+y2=2表示的区域为半径为的圆在三角形OAB内部的部分，对应的面积为，∴根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率P==．故答案为：．考点：几何概型；简单线性规划．14．若集合满足，则命题“”是命题“”的         条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【答案】必要不充分【解析】试题分析：根据条件可得集合是集合的真子集，所以命题p不能推出命题q,但命题q能推出命题p,所以命题p是命题q的必要不充分条件，故填：必要不充分.考点：充分必要条件15．可行域是（包括边界），顶点、、.若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则___________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，由题意得出的斜率为负数，观察直线与某条边所在直线重合时，直线在轴上的截距最大，利用此时直线与该边所在直线的斜率相等，得出实数的值.【详解】平面区域如下图所示：由于时，直线的斜率为负数，且为该直线在轴上的截距，若使得目标函数取得最大值的最优解有无数个，由图形可知，当直线与直线重合时，此时，直线在轴上的截距最大，线段上所有的点都可以作为目标函数取得最大值时的最优解，所以，，得.故答案为：.【点睛】本题考查线性目标函数最值的最优解个数问题，对于线性目标函数的最值的最优解有无数个，需转化为线性目标函数对应的直线与某条边界线所在直线重合，但需结合直线在坐标轴上的截距进行验证，并利用斜率相等求出参数的值，考查数形结合思想以及化归与转化思想，属于中等题.16．已知，则与的大小关系是______.【答案】【解析】【分析】由结合题意和均值不等式的结论即可比较两者的大小关系，注意等号成立的条件.【详解】，，，，当且仅当，即时等号成立.故.【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中等题. 三、解答题17．集合，，求,,．【答案】,,【解析】………………………………………2分……………………………4分…………………………………6分……………………………………9分……………………………………12分18．已知函数的定义域为集合，集合，集合，是的真子集，求（1）；（2）的值．【答案】（1）；（2）1．【解析】试题分析：（1）明确集合A，C的元素，由交集定义可得；（2）求出集合B，及，由真子集的定义可得的不等式，由是正整数可得结论．试题解析：（1）由题意，，∴．（2），，，∵，∴，又，∴，，∴．考点：集合的运算，集合的包含关系．19．已知函数．（1）当，求函数的单调区间；（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调减区间，无单调增区间；（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，即可的出的单调减区间为，无单调增区间.（2）问题等价于当时，恒成立且恒成立，先解在上恒成立，利用参变分离化简即可求出.根据，函数开口向下,在上要恒大于0,只需 ，解出再与取交集即可.【详解】解：（1）因为，所以，定义域为,记，在上单调递增, 在上单调递减.所以在上单调递减，所以的单调减区间为，无单调增区间.（2）原问题等价于当时，恒成立且恒成立，恒成立即，因为，.【点睛】本题考查复合函数的单调区间与不等式恒成立问题,属于中档题.解本题需要注意的是：对于，不等式恒成立的等价命题是当时，恒成立且恒成立.其中的这个条件是非常容易忽略的.在研究函数的性质时需牢记一点：定义域优先.20．已知集合,分别求适合下列条件的实数a的值.（1）；（2）.【答案】见解析【解析】（1）因为,所以9∈A且9∈B.故2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.经检验知,a=5或满足题意,a=3不满足题意,舍去.所以a=5或.（2）因为,所以9∈(A∩B),由（1）知a=5或.当a=5时,,此时,这与A∩B={9}矛盾,舍去;当时,,此时A∩B={9},满足题意.所以.21．已知不等式的解集为．（1）求实数，的值;（2）若不等式的解集为，不等式的解集为，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；(2)“”是“”的充分不必要条件,将它们对应的不等式分别解出,可得集合从而建立关于的不等关系,解关于不等式即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）依题意得，1、3是方程的两根，且，．．．．．．．．．．．．．．．1分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）由（1）得，所以，即为，解得，，∴，又，即为解得，∴，．．．．．．．．．．．．8分∵，∴，∴，即，∴的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：解一元二次不等式，集合的关系.