2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习
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集合、简易逻辑与不等式 一、单选题1．“”是“”的（ ）条件．A．必要而不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分条件．考点：1．对数的运算；2．充要条件．【方法点睛】本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考查线面、面面平行问题和充要条件的有关知识．充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件．2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】试题分析：因为，所以，又，，因此，即实数的取值范围是，故选B. 考点：1、集合的表示；2、集合的基本运算.3．下列命题是真命题的是（ ）.A．命题B．命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题C．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；D．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；【答案】C【解析】【分析】分别判断已知四个命题的真假，可得答案．【详解】A. 命题，则，所以A错误；B. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为“若，则成等比数列”是错误的，所以B错误；C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”是正确的，所以C正确；D. “命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D错误.故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4．若集合，则集合( )A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：解：所以选D．考点：集合的运算． 5．已知，，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题6．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是 【答案】【解析】【详解】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得 7．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：集合表示由直线围成的平面区域，集合表示以为圆心，半径为的圆. 为使，须圆落在上述平面区域内.由圆心到直线及的距离等于，即，得或，或，又，故实数的取值范围，考点：1.集合的概念；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离公式.8．若{a，0，1}＝{c，，－1}，则a＝______，b＝______，c＝________.【答案】－1 1 0 【解析】∵－1∈{a，0，1}，∴a＝－1.又0∈{c，，－1}且≠0，∴c＝0，从而可知＝1，∴b＝1.9．已知，则_________【答案】【解析】试题分析：整理两集合得，，所以考点：1．集合的交集运算；2．函数的定义域值域10．给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，．以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足，则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则．其中正确结论的序号为 【答案】②③④【解析】试题分析：由题可知，，，所以，则点落在线段上的概率为，故不正确；根据线性回归方程为，知回归系数为0．85，即身高增加，则其体重约增加，故正确；由于是定义在上的奇函数，则，于是，即函数的图像关于对称，故正确；④随机变量服从正态分布，图像关于对称，由于，故，故④正确；综上所述，正确的为②③④；考点：两个变量的线性相关正态曲线分布的特点及曲线所表示的意义 11．（2015秋•淄博校级期末）如果a＞0，那么a++2的最小值是 ．【答案】4【解析】试题分析：利用基本不等式的性质即可得出．解：∵a＞0，∴a++2≥2+2=4，当且仅当a=1时取等号．∴a++2的最小值是4．故答案为：4．考点：基本不等式．12．若实数满足条件，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再由的几何意义是直线的纵截距的相反数，平移直线，根据图形可得结论.【详解】作出约束条件表示的可行域如图：的几何意义是直线的纵截距的相反数，由，可得交点坐标为，平移直线根据图形可知，当直线在经过时，取得最大值，最大值为7.故答案为7【点睛】本题主要考查线性规划，解题关键是作出出可行域，对目标函数进行平移，找出最优解，属于基础题型.13．下列命题中①“，”的否定；②，；③若“，则”的逆命题；④“若，则”的逆否命题，则正确命题的序号为______.【答案】①②【解析】【分析】对于①命题与命题的否定一真一假，对于②利用对数函数的性质可得结果，对于③利用子集关系判断逆命题的真假，对于④原命题与其逆否命题同真同假.【详解】对于①，，为假命题，故其否定为真；对于②，，故真；对于③，，显然逆命题不成立；对于④，若“，则”为假命题，故逆否命题为假命题.故答案为：①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系的真假的判断，考查特称命题与全称命题的真假判断，属于中档题． 三、解答题14．设命题,命题.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别化简命题和命题，然后利用原命题与逆否命题等价，将题目转化为是的必要不充分条件，得到关于的不等式，求出答案.【详解】，解得即即是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，所以解得【点睛】本题考查原命题与逆否命题等价，必要不充分条件，属于简单题.15．（本小题满分12分）若关于x的方程有两个相等的实数根．（1）求实数a的取值范围．（2）当a＝时，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：第一问根据方程有两相等实根，从而得到其判别式等于零，从而求得，结合题中所给的角的范围，从而求得，结合角的范围，求得的范围，第二问将的值代入，从而求得的值，从而求得结果．试题解析：（1） 依题意得， ，∵， ∴≠0，则a＝，∵，∴ 0＜＜1，∴ 0＜a＜2 （2） a＝时， ，又，．考点：一元二次方程根的个数，同角三角函数关系式，正余弦和差积的关系．16．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】求得或；或转化为包含关系，列不等式求解即可.【详解】因为，所以或或；则或记或因为，即【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式以及包含关系求最值，属于中档题.17．设函数的图象经过原点，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为.（1）若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；（2）若在区间[-1，3]上是单调递减函数，求的最小值.【答案】（1）；（2）13.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出，再根据-2和4是方程的两个实根，由韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据在区间[-1，3]上是单调减函数，得到函数在区间[-1，3]上恒有，然后建立关于a和b的约束条件，而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(2，-3)距离原点最近，从而求出的最小值.【详解】（1）因为函数的图象经过原点，所以，则.根据导数的几何意义知，由已知-2、4是方程的两个实根，由韦达定理得，则，所以.（2）在区间[-1，3]上是单调减函数，所以在[-1，3]区间上恒有，即在[-1，3]恒成立，这只需满足即可，也即，而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(2，-3)距离原点最近，所以当时，有最小值13.【点睛】本题考查导数的几何意和非线性规划问题，解答第二问时根据一元二次函数的图像性质得到a和b的约束条件，转化为求可行域内的点到原点距离的平方的最小值问题是本题的关键，属中档题.18．已知全集，非空集合．（1）当时，求；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当时，求解出集合，即可求解；（2）由题意，是的必要条件，即，可知，分类讨论求解集合，列出不等式关系，即可求解实数的取值范围．试题解析：（1）当时，，，，．（2）若是的必要条件，即，可知，由，得，当即时，，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，，解得；综上，．考点：不等式的求解；集合的运算；充要条件的应用．19．已知的定义域为集合A，集合B=.（1）求集合A；（2）若AB,求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.【详解】（1）由已知得 即 ∴（2）∵∴ 解得∴的取值范围.【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.20．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于的实数构成，则2 P;（2）若集合Q由可表示为n2+1()的实数构成，则5 Q.【答案】（1）∉;（2）∈【解析】（1）因为2,所以2不在由小于的实数构成的集合P中,所以2∉P.（2）因为5=22+1,,所以5∈Q.21．已知命题，命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题，考查学生的分析问题结合问题的能力、转化能力、计算能力.本题结合二次函数的性质利用配方法求函数的最值，分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出a的范围．试题解析：设，（），则，又，∴当时，，由已知得：命题P：，由命题q：，即，又命题“”是真命题，∴且成立，即，故实数a的取值范围是．考点：复合命题的真假．
