2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的A．充分不必要条件    B．必要不充分条件C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，又只有m在平面α内，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．2．例题：“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】根据含量词命题的否定的形式可得结果.【详解】为命题的否定，则，本题正确选项：【点睛】本题考查逻辑连接词中的“非”命题，即命题的否定，属于基础题.3．已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，过不同两点的直线方程为，即 ，又当时，直线为，也满足上式，当时，直线为，也满足上式，所以，过不同两点的直线方程为 .反过来，直线的方程为 ，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点.所以命题是命题的充要条件.本题选择C选项.4．已知集合,,则（ ）A．    B．C．    D．【答案】A【解析】试题分析：，，故答案为A．考点：集合的交集．5．设,都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是A． B．C．且 D．且方向相同【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的定义以及和向量同向的单位向量的定义，进行判断即可.【详解】表示与方向相同的单位向量，表示和同向的单位向量，因此成立则一定有：与平行且同向，反之，与同向则与两个向量各自同向的单位向量也是同向的.故和且方向相同，这两个条件是可以互相推导出来的.故选D．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）A．充分必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.【详解】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．已知集合，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。8．已知集合，且，则满足条件的集合的个数是（   ）A．                      B．                         C．                      D．【答案】B【解析】试题分析：因为，所以中有没有，故可能性有共四种.考点：子集，交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.9．下列命题中，正确的一个是  （  ）A．  B．  C．若成立的必要不充分条件，则 成立的充分不必要条件D．若，则【答案】C【解析】试题分析：即解得：无解，所以不存在符合条件的，A错误；当时，，不符合题意，所以B错误；C正确；当时，不符合题意，所以D错误.综上答案为C.考点：1.排除法；2.特殊值法；3.命题.10．已知集合，则      （   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分别解集合A、B中的不等式，再求两个集合的交集【详解】集合，集合，所以，选择C【点睛】进行集合的交、并、补运算前，要搞清楚每个集合里面的元素种类，以及具体的元素，再进行运算11．“”的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，充分不必要条件是其真子集，所以只有满足条件，故选B.12．设为中的三边长，且，则的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记，又由，则，又为△ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以．令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号．故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．  二、填空题13．不等式组的解集是，那么的值等于          ．【答案】1【解析】试题分析：考点：一元二次不等式解法14．有下列命题：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题．其中真命题是________.【答案】 ①②【解析】【分析】写出否命题然后判断真假，②写出逆否命题然后判断真假，③写出逆命题然后判断真假.【详解】①否命题为“四边不全相等的四边形不是正方形”，是真命题；②逆否命题为“平行四边形不是梯形”，是真命题；③逆命题为“相似三角形是全等三角形”，是假命题．故答案为：①②【点睛】本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.15．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝ (n∈N*)．现有下列命题：①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；③当n≥1时，xn＞－1；④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．其中的真命题有________．【答案】①③④【解析】①当 时， ，该说法正确；②当 时， 该数列是从第三项开始为 的摆动数列，该说法错误；③当 时， ，则： 成立；假设 时， ，当 时， ，而： ，当且仅当 时等号成立.故： ，对于任意的正整数n，当 时， ，该说法正确；④ ，由①②的规律可得 一定成立.综上可得，真命题有①③④. 16．中的满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】将化为，故的几何意义即为直线在轴上的截距，划出点满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点时，直线轴上的截距最小，此时也就有最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 三、解答题17．命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．若命题p为真，求实数m的取值范围；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可．根据复合命题真假关系，判断p，q的真假即可．【详解】解：若命题p为真，则，为真，．若命题q为真，则 ，又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题或，，或，的取值范围是，．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．已知p：方程2x2-2mx＋1=0有两个不相等的负实根；q：存在x∈R，x2＋mx＋1<0．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【答案】－2≤m<－或m>2．【解析】试题分析：先化简p、q两个命题，再根据p或q为真，p且q为假知，p真q假或p假q真，联立不等式求解．试题解析：若p为真，则m<－，若q为真，则m>2或m<－2，由p或q为真p且q为假，得p真q假或p假q真，故或∴－2≤m<－或m>2．考点：1、复合命题真假判定；2、二次函数、二次不等式相关知识．19．已知命题：复数，复数，是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于；若为真命题，求实数的取值范围.【答案】的取值范围为.【解析】试题分析：对于，为虚数的条件是且，然后将的范围求出来；对于，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式求解出的取值范围；由为真命题可知，都为真命题，故求出为真时的的取值范围的集合的交集即可.试题解析：由题意知，2分若命题为真，是虚数，则有且所以的取值范围为且且4分若命题为真，则有7分而所以有或10分由题意知，都是真命题，实数的取值范围为12分.考点：1.复数的概念；2.二次方程根与系数的关系；3.逻辑联结词.20．已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，且，当时，恒有.(1)当时，求不等式的解集；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且,求a的值；(3)若，且对所有恒成立，求正实数m的最小值.【答案】(1) ；(2) ；(3)2.【解析】【分析】(1)把代入二次函数,根据,解不等式即可;(2)函数的图象与x轴有两个交点,得,可以求出其三个交点,从而求出其面积;(3)已知,且对所有恒成立,只要的最大值小于,然后再解不等式;【详解】(1)当，c＝2时，，f(x)的图像与x轴有两个不同交点，因为，设另一个根为x1，则2x1＝6，x1＝3. 则的解集为. (2) 函数f(x)的图像与x轴有两个交点，因，设另一个根为，则于是. 又当时，恒有，则，则三交点为，8分这三交点为顶点的三角形的面积为，且，解得. (3)当时，恒有，则，所以f(x)在上是单调递减的，且在处取到最大值1， 要使，对所有恒成立，必须成立，,解得或, 而,所以m的最小值为2.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,及不等式的恒成立问题,第一问比较简单,第二问有一定的难度,是一道中档题; 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.21．设命题.(1)（2）若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出时，因且为真，故的范围为 .（2）因是的必要不充分条件，所以是的真子集，故可得的取值范围.【详解】，．  （1）当时，．若“且”为真命题，则，    （2）当时，，由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，此时符合题意， 当时，，要使是的真子集，须，即．当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件．  因此，的取值范围是．【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．22．设，，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;（2）由可知,进而可得,求解即可.【详解】（1）由,则或,,则,所以.（2）由,则,可得,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.