【数学】吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
（1）已知为虚数单位，设复数满足，则=
（A）3 （B）4 （C） （D）10
（2）若点M的直角坐标是，则点M的极坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（3）设（是虚数单位），则
（A） （B）
（C） （D）
（4）阅读右面的程序框图，则输出的S＝
（A）14 （B）20
（C）30 （D）55
（5）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是
（A）3 （B）17 （C）51 （D）103
（6）用秦九韶算法计算多项式在时的
值时，的值为
（A）－845 （B）220 （C）－57 （D）34
（7）若，则的最小值为
（A） （B） （C）1 （D）
（8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是
（A）假设三内角都不大于60° （B）假设三内角都大于60°
（C）假设三内角至多有一个大于60° （D）假设三内角至多有两个大于60°
（9）极坐标方程表示的图形是
（A）两条直线 （B）两个圆
（C）一条直线和一条射线 （D）一个圆和一条射线
（10）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11）已知，，则的最小值是
（A） （B） （C）2 （D）1
（12）直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的
面积等于4，这样的点P共有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）
（13）复数的实部是 ．
（14）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为 ．
（15）参数方程（t为参数）的普通方程为 ．
（16）已知点在曲线（为参数）上，则的取值范围是 ．
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分10分）
实数分别取什么值时，复数是：
（Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数．
（18）（本小题满分12分）
解不等式：。
（19）（本小题满分12分）
用数学归纳法证明： ．
（20）（本小题满分12分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）若曲线（t为参数）与曲线相交于两点，求；
（Ⅱ）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：．
参考答案
一、 选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | C | A | C | C | C | D | B | D | B | A | B |
二、填空题
（13）－1 （14） （15） （16）
三、解答题
17．解：
实部，虚部.
（Ⅰ）当 时，是实数；
（Ⅱ）当，且时，是虚数；
（Ⅲ） 当 或 时是纯虚数．
18．解：
（Ⅰ）当时，，∴原式恒成立。
（Ⅱ）当时，，原式化为原式化为，即。
（Ⅲ）当时，，原式无解。
综上，不等式的解集为
19．证明：
（1）当时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，
那么，
即当时等式也成立，根据（1）（2），可知等式对任何都成立。
20．解：
（Ⅰ）化为直角坐标方程为，
（t为参数）化为普通方程为，
∴弦长。
（Ⅱ）在曲线上，设（为参数），
则，其中，所以的最大值为。
21. 解：
（Ⅰ）由题意，知不等式解集为
由，得，所以，由，解得．
（Ⅱ）不等式等价于，
由题意知．
因为，
所以，即对任意都成立，则．
而，当且仅当，即时等号成立，
故，所以实数的最小值为4．
而，当且仅当，即时等号成立，
故，所以实数的最小值为4．
22．证明：
（Ⅰ）∵，
∴。
（Ⅱ），
∵，∴，即，
同理，∴，
∵，∴，
,≤≤5
∴。
