【数学】吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）（1）已知为虚数单位，设复数满足，则=（A）3           （B）4           （C）         （D）10（2）若点M的直角坐标是，则点M的极坐标为                             （A）             （B）  （C）            （D） （3）设（是虚数单位），则                                                                 （A）              （B）        （C）              （D）（4）阅读右面的程序框图，则输出的S＝               （A）14                （B）20   （C）30                （D）55（5）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是                     （A）3          （B）17          （C）51          （D）103 （6）用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为                                                                                                                      （A）－845       （B）220         （C）－57        （D）34（7）若，则的最小值为（A）         （B）         （C）1           （D）（8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是                                          （A）假设三内角都不大于60°       （B）假设三内角都大于60°（C）假设三内角至多有一个大于60° （D）假设三内角至多有两个大于60°（9）极坐标方程表示的图形是（A）两条直线　　　　　　　　 （B）两个圆（C）一条直线和一条射线 （D）一个圆和一条射线（10）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（A）2            （B）4            （C）6           （D）8（11）已知，，则的最小值是                                          （A）         （B）          （C）2           （D）1 （12）直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的        面积等于4，这样的点P共有 （A）1个          （B）2个         （C）3个          （D）4个二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）（13）复数的实部是         ．（14）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为          ．（15）参数方程（t为参数）的普通方程为           ．  （16）已知点在曲线（为参数）上，则的取值范围是      ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分10分）实数分别取什么值时，复数是：（Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数．         （18）（本小题满分12分）解不等式：。  （19）（本小题满分12分）用数学归纳法证明： ．   （20）（本小题满分12分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．（Ⅰ）若曲线（t为参数）与曲线相交于两点，求；（Ⅱ）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值．   （21）（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．       （22）（本小题满分12分）已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：．
参考答案一、    选择题：123456789101112CCACCCDBDB AB二、填空题（13）－1   （14）    （15）  （16）三、解答题17．解：实部，虚部.（Ⅰ）当 时，是实数；（Ⅱ）当，且时，是虚数；（Ⅲ） 当 或 时是纯虚数．18．解：（Ⅰ）当时，，∴原式恒成立。（Ⅱ）当时，，原式化为原式化为，即。（Ⅲ）当时，，原式无解。      综上，不等式的解集为19．证明：（1）当时，左边，右边，等式成立。（2）假设当时等式成立，即，那么，即当时等式也成立，根据（1）（2），可知等式对任何都成立。20．解：（Ⅰ）化为直角坐标方程为，（t为参数）化为普通方程为，∴弦长。（Ⅱ）在曲线上，设（为参数），则，其中，所以的最大值为。21. 解：（Ⅰ）由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得．（Ⅱ）不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．22．证明：（Ⅰ）∵，∴。（Ⅱ）， ∵，∴，即，     同理，∴，∵，∴，,≤≤5∴。