【数学】吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．点M的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ) (ρ≥0,0≤θ＜2π)，则

（A）ρ＝3，θ＝4                      （B）ρ＝5，θ＝4

（C）ρ＝5，tanθ＝                    （D）ρ＝5，tanθ＝－

2．已知复数z＝i (1+ i)（i为虚数单位），则|z|＝

（A） （B） （C） （D）

3．某演绎推理的“三段”分解如下：

①函数是对数函数；②对数函数（a＞1)是增函数；③函数是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是

（A）①→②→③  （B）③→②→①      （C）②→①→③    （D）②→③→①

4．在用反证法证明命题:“若,则a,b,c三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为:设a,b,c三个数

（A）都小于0                      （B）都小于或等于0 

（C）最多一个小于0                    （D）最多一个小于或等于0

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是

（A）           （B）              （C）             （D）1

6．101110(2)转化为八进制数是

（A）46(8) （B）56(8)  （C）67(8)   （D）78(8)

7．设x＞0，y＞0，且x＋y＝3，则2x＋2y的最小值是

（A）8            （B） 6             （C）3            （D） 4

8．函数y＝|x＋4|＋|x＋6|的最小值为

（A）2 （B）   （C）4   （D）6

9．观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为

（A）49 （B）43   （C）07   （D）01

10．已知正实数a，b，c，d满足a＋b＝1，c＋d＝1，则的最小值是

（A）10 （B）        （C）          （D）9

11．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点．若点是在第一象限内的交点，且，设的离心率分别为，则的取值范围是

（A） （B）     （C）     （D）以上答案都不对

12．直线分别与曲线，交于两点M、N，则|MN|的最小值为

（A）ln2 （B）1＋ln2        （C）1－ln2        （D）1

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

13．设i为虚数单位，则复数的共轭复数________．

14．已知下列说法：①若a＞，则a2＞b2；②若a＞b，则；③若a＞b，则a3＞　　b3；④若a＜0，－1＜b＜0，则ab2＞a．其中正确的是__________．(只填序号即可)

15．在极坐标系中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(cosθ－sinθ)＝1的交点的极坐标为________．(ρ≥0,0≤θ＜2π)

16．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是__________．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后， 曲线

    C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．

18．（本小题满分12分）已知，，若，用综合法证明：a＋b≥9．

19．（本小题满分12分）设函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）市某机构为了调查该市市民对我国申办某体育赛事的态度，

    随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下：

（Ⅰ）根据已知数据，把表格数据填写完整；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）完成的表格数据回答下列问题：

（i）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办某体育赛事与性别有关；

（ii）已知在被调查的支持申办某体育赛事的男性市民中有位退休老人，其中位是教 

     师，现从这位退休老人中随机抽取人，求至多有一位老师的概率．

附：，其中．

21．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的

   下顶点和上顶点分别为，，且．过点且斜率为的直线与椭圆

   交于，两点．

  （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

  （Ⅱ）当时，求的面积；

  （Ⅲ）求证：不论为何值，直线与直线的交点恒在一条定直线上．

22．（本小题满分12分）已知函数f (x)＝mex－ln x－1．

   （Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；

   （Ⅱ）当m≥1时，证明：f (x)＞1．

 参考答案

一、                                                             选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

13.       14. ①③④       15. (1,0)         16. 2

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简得2＋(y＋3)2＝.曲线C是以为圆心，半径为的圆．

18.解：因为，，且，

所以，

当且仅当时取等号，所以． 

19. 解：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

20. （1）

（2）（i）因为的观测值，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.

（ii）记人分别为，，，，，其中，表示教师，从人中任意取人的情况有10种，其中至多有位教师的情况有7种，

故所求的概率.

21. 解：（1）由，得

由得

所以椭圆的标准方程为

（2）当时，直线的方程为

联立方程得

设，则有

所以

点到直线的距离为

所以

（3）直线的方程为

由得

由得

设，则有

因为，设

由三点共线得①

由三点共线得②

由得

所以可得，即

故可得点恒在直线上.

22. 解：(1)当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，

所以f′(x)＝ex－，所以f(1)＝e－1，f′(1)＝e－1,

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.

(2)证明：当m≥1时，f(x)＝mex－lnx－1≥ex－lnx－1.

要证明f(x)>1，只需证明ex－lnx－2>0.

设g(x)＝ex－lnx－2，则g′(x)＝ex－.

设h(x)＝ex－，则h′(x)＝ex＋>0，

所以函数h(x)＝g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增．

因为g′＝e－2<0，g′(1)＝e－1>0，

所以函数g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈.

因为g′(x0)＝0，所以ex0＝，即lnx0＝－x0.

当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.

所以当x＝x0时，g(x)取得最小值g.

故g(x)≥g＝ex0－lnx0－2＝＋x0－2>0.

综上可知，当m≥1时，f(x)>1.