【数学】吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（解析版）

吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（理）

一、单选题（60分，每题5分）

1．的展开式中的系数是（ ）

A．16 B．70 C．560 D．1120

2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）

A．24 B．48 C．60 D．72

3．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（    ）

A． B． C． D．

4．已知，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是(    )

A． B． C． D．

7．如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是（  ）

A． B． C． D．

8．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知回归方程，试验得到一组数据是，则残差平方和是（    ）

A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04

10．在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（   ）

A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对

11．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．在的展开式中的系数是(    )

A． B． C． D．207

二、填空题（20分，每题5分）

13．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．

14．从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书，则有______种不同选法.(用数字作答)

15．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为___________.

16．袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________.

三、解答题（共70分）

17．（10分）设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；（2）求的值.

18．（12分）生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:

(1)至少有1件废品的概率;   (2)恰有1件废品的概率.

19．（12分）我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1 人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.

（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；

（2）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

20．（12分）某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图； （2）求y关于x的线性回归方程。（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？

参考公式 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．

21．（12分）共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下：

（1）求出列联表中字母x、y、m、n的值；

（2）①从此样本中，对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研，其中不小于40岁的人应抽多少人？

②从独立性检验角度分析，能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.

下面临界值表供参考：

22．（12分）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：

（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；

（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

【详解】

设含的为第，

所以，故系数为：，选D．

2．B

【解析】

【分析】

先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数.

【详解】

个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法，

其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有种排法，

由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为种.

故选：B.

【点睛】

本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题.

3．A

【解析】

【分析】

利用分步计数原理进行求解.

【详解】

冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种不同的结果.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键.

4．A

【解析】

由可知，正态曲线关于对称，由，可知，则．故本题答案选．

点睛：关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法．要充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为．且曲线是单峰的，它关于直线对称，从而关于对称的区间上概率相等．有，

5．D

【解析】

【分析】

根据条件概率公式求解

【详解】

此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为，选D.

【点睛】

本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．D

【解析】

【分析】

由甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案．

【详解】

甲解决这个问题的概率是，

甲解决不了这个问题的概率是，

乙解决这个问题的概率是，

乙解决不了这个问题的概率是

则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为

则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为

故选：D．

【点睛】

本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．

7．A

【解析】

分析：先判定该变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式进行求解．

详解：用表示发芽的粒数,则,

则,

故播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的

概率为，故选A.

点睛：本题考查二项分布等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．．

8．C

【解析】

【分析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．

【详解】

，，

，．

故选：C．

【点睛】

本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．

9．C

【解析】

【分析】

根据回归方程求出估值，即可求解.

【详解】

因为残差，

所以残差的平方和为．

故选：C.

【点睛】

本题考查变量间的相关关系，回归方程分析的初步应用，属于基础题,

10．A

【解析】

分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．

详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．

故选A．

点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．

11．B

【解析】

【分析】

利用期望与方差性质求解即可．

【详解】

；．故，．

故选．

【点睛】

考查期望与方差的性质，考查学生的计算能力．

12．C

【解析】

【分析】

根据的产生过程，由二项展开式的通项公式，即可容易求得结果.

【详解】

的通项公式为，

故可得其的系数为，的系数为，

故容易得在的展开式中的系数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查由二项式定理求指定项的系数，属基础题.

13．

【解析】

【分析】

先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.

【详解】

，

故答案为：

【点睛】

本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题.

14．30

【解析】

【分析】

由排列组合中的分步原理可得：先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书运算即可得解．

【详解】

从6位同学中选出2人分别担仼班长和团支书，

则可以先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书，

则共有种不同选法．

故答案为：30．

【点睛】

本题考查了排列组合中的分步原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．

15．0.009

【解析】

 由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，

目标没有被击中的概率为：

16．

【解析】

【分析】

先计算第一次摸到黑球的概率，然后计算第二次摸到白球的概率，根据条件概率的公式，可得结果.

【详解】

设第一次摸到黑球为事件，

则，

第二次摸到白球为事件，

则，

设第一次摸到黑球的条件下，

第二次摸到球的概率为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查条件概率，属基础题.

17．（1）见解析；（2）0.7

【解析】

【分析】

根据概率和为列方程，求得的值.

（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.

（2）利用求得的值.

【详解】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）

【点睛】

本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.

18．(1)0.088;(2)0.086.

【解析】

【分析】

（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.

（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

从甲､乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A､B,则事件A,B相互独立,且,.

(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.

(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.

【点睛】

本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件概率进行计算，属于基础题.

19．（1）.    （2）见解析.

【解析】

试题分析：第一次汇报甲发言与第二次汇报甲发言是相互独立的，故可以计算各次甲发言的概率，它们的乘积就是两次汇报甲发言的概率. 又随机变量的的取值为，在计算和，我们可以利用二项分布来计算.

解析：

（1）记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件.由题意，得事件的概率，即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为.  

（2）由题意，的可能取值为2，0，每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.；，所以，的分布列为：

的数学期望.

点睛：在概率计算的过程中，注意随机变量满足的模型并利用已有的公式进行概率的计算.

20．（1）见解析；（2）；（3）82.5.

【解析】

试题分析：（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出一千万元时的销售额的估计值．

试题解析：

（1）

.

（2）

；    

于是所求的线性回归方程是

（3）当时，.

点睛：求解回归方程问题的三个易误点：

①  易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

②  回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．

③  利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．

21．（1），，，（2）①2人，②不能

【解析】

【分析】

（1）由图表运算即可得解；

（2）①由分层抽样，按比例即可得解，②先利用，求出，再结合临界值表即可判断.

【详解】

解：（1）由图表可得：，，，，

即，，，，

（2）①因为单车用户为30人，不小于40岁的为12人，共抽5人，

故不小于40岁的应抽人；

②，

故不能有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.

【点睛】

本题考查了分层抽样方法，重点考查了独立性检验，属基础题.

22．（1）人（2）（3）详见解析

【解析】

【分析】

（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.

（2）由表可用减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.

（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望

【详解】

解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人

∴估计总体中女生人数人

（2）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件

∴

（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则

依题意可知：

,

所以,X的分布列为

【点睛】

本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.