【数学】吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）（解析版）

吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年
高二下学期期中考试（文）
本试卷共150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知集合，则
A． B．
C． D．
3．已知函数则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于
A．x2+2 B．x2-4x+4 C．x2-2 D．x2+4x+4
6．函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
11．命题“若，则方程有实根”的否命题是（ ）
A．若，则方程有实根
B．若，则方程有实根
C．若，则方程没有实根
D．若，则方程没有实根
12．满足为真的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每道小题5分，共20分）
13．已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是
14．以下几个命题中：
①线性回归直线方程恒过样本中心；
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方.
其中真命题为
15．某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程，则

2
4
5
6
8

30
40
60
50
70
16．已知函数是上的减函数，则的取值范围是_____.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1 (1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．




18．化简求值：（1）；
（2）.




19．已知，：“，”，：“方程无实数解”.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.


















20．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，
，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：









21．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
















22．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法


新养殖法


（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

参考答案
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中的元素，最后求得结果.
【详解】
详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.
2．已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3．已知函数则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求f(-1),再求f(f(-1)).
【详解】
由题得f(-1)=.
故答案为：A
【点睛】
(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2)计算类似的函数值时，一般从里往外，逐层计算.
4．已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．

5．已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于
A．x2+2 B．x2-4x+4 C．x2-2 D．x2+4x+4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式.
【详解】
令，选B.
【点睛】
本题考查换元法求函数解析式，考查基本化简能力.
6．函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，且函数过点，从而得出结论．
【详解】
由于函数是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；
又函数过点，可以排除A，所以只有C符合．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得函数的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．
【详解】
函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x
∵函数在上单调递增
∴5
∴k≤40
故选B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“分段法”比较出三者的大小关系.
【详解】
因为，，，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.
9．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出幂函数解析式，根据函数单调性求解不等式.
【详解】
已知幂函数的图象过点，则，则，
故幂函数的解析式为，若，
则，解得或.
故选：B.
【点睛】
此题考查求幂函数解析式，根据幂函数单调性求解不等式问题，关键在于熟练掌握幂函数的基本性质.
10．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

11．命题“若，则方程有实根”的否命题是（ ）
A．若，则方程有实根 B．若，则方程有实根
C．若，则方程没有实根 D．若，则方程没有实根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据否命题的概念求解．
【详解】
命题“若，则方程有实根”的否命题是若，则方程没有实根．
故选：C.
【点睛】
本题考查四种命题，考查否命题．注意否命题既否定条件，也否定结论．
12．满足为真的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求解，结合选项即可得到其必要不充分条件.
【详解】
满足为真，即，
是其充分不必要条件，是其既不充分也不必要条件，是其充要条件，是其必要不充分条件.
故选：D
【点睛】
此题考查求已知条件的必要不充分条件，关键在于准确求解不等式的解集，根据集合关系辨析必要不充分条件.
13．已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由指数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，
则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．
【详解】
命题：，则，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．
14．以下几个命题中：
①线性回归直线方程恒过样本中心；
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.
【详解】
①线性回归直线方程恒过样本中心,所以正确.
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误.
③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；所以正确.
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方,所以正确.
所以①③④正确.
故选：C
【点睛】
本题考查线性回归直线方程和相关指数刻画回归效果、以及与相关系数的变形，属于基础题.
15．某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程，则（ ）

2
4
5
6
8

30
40
60
50
70
A．17.5 B．17 C．15 D．15.5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据表中的数据，求得样本中心为，代入回归方程为，即可求解.
【详解】
由题意，根据表中的数据，可得，，
即样本中心为，代入与的线性回归方程为，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答的关键，着重考查了计算能力.
16．已知函数是上的减函数，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
试题分析：当时，为减函数知，；当时，为减函数知，；并且要满足当时函数的图象在当时函数的上方即，解得.综上易知的取值范围为.
考点：分段函数；函数的单调性.
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1 (1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18．化简求值：（1）；
（2）.
19．已知，：“，”，：“方程无实数解”.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）或.
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，由，即可得解；
（2）首先求出命题是真命题时参数的取值范围，再根据命题“”为真命题，命题“”为假命题，可得两命题一真一假，分类讨论最后取并集可得；
【详解】
（1）∵命题，为真命题，
∴，又∵，∴.
（2）若命题是真命题，∴，∴，
因为命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以两命题一真一假，
当命题为真，命题为假，，∴，
当命题为假，命题为真，，∴.
综上所述：或.
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，不等式恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
20．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，
，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．

21．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828


【答案】（1）；
（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【详解】
（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为,
50名女顾客对商场满意的有30人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为,
（2）由列联表可知，
所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】
该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算的值，独立性检验，属于简单题目.
22．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法


新养殖法



（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828


【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
试题解析：
(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66


K2的观测值k＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3) 由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5
＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；
比较可得：12，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
23．某媒体为调查喜爱娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：

根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众



女性观众



总计


60

附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828


【答案】能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关.
【解析】
【分析】
根据图表中男女喜欢与不喜欢所占的比例以及总人数补全列联表,再计算的值,对照表中所给的数据分析即可.
【详解】
由题,喜欢节目的男性观众有人,不喜欢节目的男性观众有人.
喜欢节目的女性观众有人,不喜欢节目的女性观众有人.
补全如下表：

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60

故.
故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关.
【点睛】
本题主要考查了独立性检验的实际运用,属于基础题.
24．2019年9月23日，在省市举办的2019年中国农民丰收节“新电商与农业科技创新”论坛上，来自政府相关部门的领导及11所中国高校的专家学者以“农业科技创新与乡村振兴”、“新农人与脱贫攻坚”为核心议题各抒己见，农产品方面的科技创新越来越成为21世纪大国崛起的一项重大突破.科学家对某农产品每日平均增重量（单位：）与每日营养液注射量（单位：）之间的关系统计出表1一组数据：
表1
（单位：）
1
2
3
4
5
（单位：）
2
3.5
5
6.6
8.4

（1）根据表1和表2的相关统计值求关于的线性回归方程；
（2）计算拟合指数的值，并说明线性回归模型的拟合效果（的值在0.98以上说明拟合程度好）；
（3）若某日该农产品的营养液注释量为，预测该日这种农产品的平均增长重量（结果精确到0.1）.
附：①
表2




92.4
55
25
0.04

②对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，.
【答案】（1）；（2）0.9984，回归模型拟合程度好；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用表格数据，可得，代入公式即得解；
（2）计算拟合指数，利用临界值，即可判断；
（3）代入回归直线方程计算，即得解
【详解】
（1）由表1知，，，所以
，，所以；
（2），
故此回归模型拟合程度好.
（3）当时，，即该日这种农产品的平均增长重量.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求解，预测及拟合效果的判断，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算能力，属于基础题
25．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各：城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况，省某调查机构从该省抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示：

城市1
城市2
城市3
城市4
城市5
指标数





指标数






经计算得：
（1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
（2）立关于的回归方程，并预测当指标数为时，指标数的估计值.
附：相关公式：，
参考数据：
【答案】（1）0.95，与具有较强的线性相关关系（2）估计值为
【解析】
【分析】
（1）直接利用公式计算得到，得到答案.
（2）计算得到回归方程为，代入数据计算得到答案.
【详解】
，，，
相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由可知，，，
所以与之间线性回归方程为，当时，.
当指标数为时，指标数的估计值为.
【点睛】
本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.