中考压轴题第9部分 抛物线 学案

1．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．
（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．














2．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
























3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．













4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．









5．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

















6．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．










7．抛物线y=+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．














8．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．








9．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．














10．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．







11．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=，同理yp=，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为AB=．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．











12．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

13．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
















14．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=﹣3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，﹣2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为﹣1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．





15．已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2|=8．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似（除去全等这一情况）？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．








16．如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．













17．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．


















18．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？




















19．如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．
（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．















20．如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．
（1）该抛物线的解析式为　　（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．








21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．













22．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．


23．如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
















24．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；
（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．





25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+1（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）．
（1）求a的值；
（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，求线段PN的长；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，使点D在直线AB下方，且CD=AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．











26．如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

　
1.解：（1）∵圆心O的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），
∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．
（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），
∵O、Q、M在同一直线上，∴KOM=KOQ，∴=，∴m=，
∵QO=QM，∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，
整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，∴4t4+3t2﹣1=0，
∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，∴t1=，t2=﹣，
当t1=时，m1=，当t2=﹣时，m2=﹣．
∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．
（3）设M（n，n2）（n＞0），
∴N（n，0），F（0，），∴MF===n2+，MN+OF=n2+，
∴MF=MN+OF．
　

2.（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m≠0时，
∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，∴1﹣4m≠0，∴m≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|xA﹣xB|=====||=|﹣4|，
∵＜m≤8，∴≤＜4，∴﹣≤﹣4＜0，∴0＜|﹣4|≤，
∴|AB|最大时，||=，
解得：m=8，或m=（舍去），
∴当m=8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|yP=××4=．
　




3.解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．
（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，
令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），
∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，
∴m的取值范围为＜m≤．

　
4.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），∴OC=5．
∵OC=5OB，∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．

（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan∠CBH==．
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，
∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．
　

5.方法一：（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45° ∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，得：解得
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；

（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），
则QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．
∵QM∥CE∴△PQM∽△PEC∴即，得EC=2（x﹣1）
∵QN∥FC ∴△BQN∽△BFC ∴即，得
又∵AC=4∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．
方法二：（1）略．（2）略．（3）设Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），
设直线BQ：y=kx+b，∴lBQ：y=（t+1）x+1﹣3t，
把y=0代入y=（t+1）x+1﹣3t，∴x=，即F（，0），
∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），
∴lPQ：y=（t﹣1）x+1﹣t，把x=3代入，∴y=2t﹣2，即E（3，2t﹣2），
∴FC（AC+EC）=（CX﹣FX）（CX﹣AX+EY﹣CY）=（3﹣）（4+2t﹣2）=8．
（4）过点Q分别作x轴及BC的垂线，垂足分别为H，G，
设Q（t，t2﹣2t+1），
∵∠EPC=∠CBF，∴tan∠EPC=tan∠CBF，
∴，∴，∴t2﹣1=1，∴t=±，
∴Q1（，3﹣2），Q2（﹣，3+2）．


　






6.解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．
当x=0，y=﹣3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴M点坐标为（2，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．
当y=3时，x2﹣x﹣3=3，
解得x1=1+，x2=1﹣，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．
∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），
∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，
将C点坐标（0，﹣3）代入，得n=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．
∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，
∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．


　
7.解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）
∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；
（2）过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为：a2+a+2，即点N（a，a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4，
而NB2=（a2+a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2，NF=NB；
（3）连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴=，PF2=PA×PB=，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，
PG==，∴PO=PG+GO=，∴P（﹣，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k=，b=，
∴直线PF：y=x+，解方程x2+x+2=x+，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y=，
∴M（﹣3，）．

　












8.（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），
则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得 a=．
（2）方法一：证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．

由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得 x1=﹣m，x2=3m，
则 A（﹣m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，
又∵D点在抛物线上，∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．
∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．
设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．
方法二：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，∴x1=﹣m，x2=3m，
则A（﹣m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），
∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，
∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），∴KAD==﹣，∴KAE=，
∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0，∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），
∵∠DAM=∠EAN=90°∴△ADM∽△AEN，∴，
∵DM=3，EN=5，∴．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴，
∵OC=3，HF=4，OH=m，∴OG=3m．
∵GF===4， AD===3，∴=．
∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．
　

9.（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，∵（k﹣）2≥0，∴△＞0，
故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）解∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，
∴x1•x2=，令0=（k+1）x+（k+1）2，解得：x=﹣（k+1），即x3=﹣（k+1），
∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，∴x1•x2•x3的最大值为：；
（3）解：∵CA•GE=CG•AB，∴，
∵∠ACG=∠BCE，∴△CAG∽△CBE，∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，∴△OAD∽△OBE，∴，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，∴OA•OB=OD，∴，
∴OB2=OE，∴OB=k+1，∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
　
10.解：（1）∵y=（x﹣m）2﹣4m2，∴当y=0时，（x﹣m）2﹣4m2=0，
解得x1=﹣m，x2=3m，
∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，圆的半径为AB=2m，
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m，∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），
又∵二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），∴﹣2m=﹣4m2，
解得m1=，m2=0（舍去），∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2﹣1，即y=x2﹣x﹣；
（3）如图，连接CM．在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴OC===，∴CD=2OC=．
追加第（4）问：过点B作x轴的垂线l，若点F为直线l上一点，且△BCF是等腰三角形，求F点坐标．
（4）∵FB⊥x轴，∴FB为⊙M的切线，∵△BCF是等腰三角形，
∴BC=BF，BC=CF，BF=CF，
设F（，t），∵B（，0），C（0，），∴（﹣0）2+（0﹣）2=t2，∴t=±，
∴（﹣0）2+（0﹣）2=（﹣0）2+（t﹣）2，∴t1=0（舍），t2=，
∴（﹣0）2+（t﹣）2=t2，∴t=，∴F1（，），F2（，﹣）．

11.（1）解：由，解得：，．
则A，B两点的坐标分别为：A（，3﹣），B（，3+），
∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，），即（，3），
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，∴C点坐标为（，）．
（2）证明：由两点间距离公式得：
AB==5，PC=|3﹣|=，∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．
（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，
则H点的坐标为（，3﹣），∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，∴CG=AH=|﹣|=．
又∵直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．

12.（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，
解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，联立，
消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
13.解：（1）由y=0得，ax2﹣2ax﹣3a=0，
∵a≠0，∴x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a，∴C（0，﹣3a），
又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，得D（1，﹣4a），
∴DH=1，CH=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a，∴﹣a=1，∴a=﹣1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，
∴直线CD的解析式为y=x+3；

（3）存在．由（2）得，E（﹣3，0），
∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，∴N（，0）∴F（，），EN=，
作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=﹣m，
EF==，MQ=OM=
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=，即=，
∴2（+m2）=（﹣m）2，
整理得4m2+36m﹣63=0，∴m2+9m=，
m2+9m+=+ （m+）2= m+=±
∴m1=，m2=﹣，
∴点M的坐标为M1（，），M2（，﹣）．

　











14.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得；
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；
由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（﹣4，3），（2，0），（﹣2，0）三点；
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x+2），则有：3=a（﹣4﹣2）（﹣4+2），a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1；

（2）易知：A（﹣4，3），则OA==5；
而A到直线l的距离为：3﹣（﹣2）=5；所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，
即直线l与⊙A相切；

（3）过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P，
则P（m，n），M（m，﹣2）；∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；
∵n=m2﹣1，即m2=4n+4；∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，
即PO2=PM2，PO=PM；易知D（﹣1，），则OD的长为定值；
若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，∴PD+PO的最小值为DM，
即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；
此时点P的横坐标为﹣1，代入抛物线的解析式可得y=﹣1=﹣，即P（﹣1，﹣）；
∴S四边形CPDO=（CO+PD）×|xD|=×（2++）×1=．

　















15.解：（1）圆的半径r====4．
如答图1，连接ME，∵NE是切线，∴ME⊥NE．

在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，∴∠EMN=60°，MN=8，
∴OM=2，∴OA=2，OB=6．∴点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）．
∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣6），
又∵抛物线经过点C（0，﹣2），∴﹣2=a（0+2）（0﹣6），解得a=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣6）=x2﹣x﹣2．
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣2）2﹣，∴顶点D的坐标为（2，﹣）．
（2）如答图2，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA．

若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，
必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD．
设AP交抛物线的对称轴于D′点，显然，∴直线AP的解析式为，
由，得x1=﹣2（舍去），x2=10．∴P（10，8）．
过P作PG⊥x轴，垂足为G，在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∵∴PB≠AB．∴∠BAP≠∠BPA．．∴△PAB与△BAD不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△PAB与△DAB相似．
（3）如答图3，连结AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂径定理易知：弧AE=弧AF．
∴∠AQF=∠AFH，
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH，∴，∴AH•AQ=AF2
在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2=22+（2）2=16（或利用AF2=AO•AB=2×8=16）∴AH•AQ=16
即：AH•AQ为定值．
　

16.解：（1）在函数y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1），
令y=0，得x=1，∴A（1，0），则OA=OB=1，AB=，
∴△AOB周长为1+1+=2+．
（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，∴∠PBO=∠QAO=135°，
设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，
∴△PBO∽△OAQ，∴=，∴PB==，
过点P作PH⊥OB于H点，

则△PHB为等腰直角三角形，
∵PB=，∴PH=HB=，∴P（﹣，1+）．
（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，
∴PB=OA，∴=1，∴t=1，
同理可得Q（1+，﹣），∴m==﹣1，
∵抛物线经过点A，∴a+b+c=0，
又∵6a+3b+2c=0，∴b=﹣4a，c=3a，
对称轴x=2，取值范围﹣1≤x+1，
①若a＞0，则开口向上，
由题意x=﹣1时取得最大值=2+2，
即（﹣1）2a+（﹣1）b+c=2+2，解得a=．
②若a＜0，则开口向下，
由题意x=2时取得最大值2+2，即4a+2b+c=2+2，
解得a=﹣2﹣2．
综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．
　













17.解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞﹣2．
∴．解得：．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．
∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小，
∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，
②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大，
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3﹣1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
　























18.解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，
∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b，
将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y=x+4，
∵直线与抛物线相交，∴x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，
当x=8时，y=16，∴点B的坐标为（8，16）；

（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，∴AG2+BG2=AB2，
∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．
设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，
BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，
①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，
解得：m=﹣；
②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，
解得：m=32；
∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）
（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，
在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，
又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4=a2，∴x=，
∴点P的横坐标为，∴MP=a﹣，
∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，∴当a=﹣=6，
又∵﹣2≤6≤8，
∴取到最大值18，
∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．


　



19.方法一：解：（1）∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=﹣x+的交点，∴x2=﹣x+，
解得x=1或x=﹣．
当x=1时，y=1；当x=﹣时，y=，∴A（﹣，），B（1，1）．
（2）①∵点P（﹣2，t）在直线y=﹣2x﹣2上，∴t=2，∴P（﹣2，2）．
设A（m，m2），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．

∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，∴GE=EF，AE=（PG+BF）．
∵OF=|EF﹣OE|，GE=EF，∴OF=|GE﹣EO|
∵GE=GO﹣EO=2+m，EO=﹣m
∴OF=|2+m﹣（﹣m）|=|2+2m|∴OF=2m+2，
∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE﹣PG=2m2﹣2．∴B（2+2m，2m2﹣2）．
∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2﹣2=（2+2m）2 解得：m=﹣1或﹣3，
当m=﹣1时，m2=1；当m=﹣3时，m2=9 ∴点A的坐标为（﹣1，1）或（﹣3，9）．
②设P（a，﹣2a﹣2），A（m，m2）．
如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
与①同理可求得：B（2m﹣a，2m2+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2+2a+2=（2m﹣a）2
整理得：2m2﹣4am+a2﹣2a﹣2=0．
△=16a2﹣8（a2﹣2a﹣2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．
（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．
设A（m，m2），B（n，n2），
如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．设直线m的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．∴b=1．
设直线m与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣，
当a=﹣时，﹣2a﹣2=，∴P（﹣，）．
方法二：1）略．（2）①∵y=﹣2x﹣2，P（﹣2，t），∴P（﹣2，2），设A（a，a2），
∵PA=AB，∴B（2a+2，2a2﹣2），
∴2a2﹣2=（2a+2）2，∴a1=﹣1，a2=﹣3，
∴满足题意的点A（﹣1，1）或（﹣3，9），
②∵点P是直线：y=﹣2x﹣2上的点，
∴设P（t，﹣2t﹣2），∵点A在抛物线：y=x2上，∴设A（a，a2），
∵PA=AB，∴B（2a﹣t，2a2+2t+2），∴（2a﹣t）2=2a2+2t+2，
∴2a2﹣4ta+t2﹣2t﹣2=0，
△=（﹣4t）2﹣4×2（2t2﹣t+3）=8（t+1）2+8＞0，
∴无论t为何值，关于a的一元二次方程总有两个不等的实数解，对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到A，使得PA=AB成立．

（3）设直线AB与y轴交于点D，若△AOB的外心在边AB上，则OA⊥OB，
设B（m，m2），∴KOB=m，
又∵KOA×KOB=﹣1，∴KOA=﹣，∴lOA：y=﹣x，∵y=x2，∴A（，），B（m，m2），
∴lAB：y=（m﹣）x+1，∴D（0，1），
∵lAC：y=﹣2x﹣2，∴C（0，﹣2），
设P（t，﹣2t﹣2），∵∠BPC=∠OCP，∴CD=PD，
∴t2+（2t+3）2=32，∴t1=0（舍），t2=﹣，
综上所述，满足题意的点P（﹣，）．
　































20.（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，
∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．∴a=．∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m﹣2．
（2）证明：如图1，设直线PA的解析式为y=kx+b，
∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．∴．解得：．
∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．当y=0时，x+m﹣1=0．
∵m＞1，∴x=﹣m．∴点B的横坐标是﹣m．
设直线OP的解析式为y=k′x，
∵点P的坐标为（m，2m﹣2），∴k′m=2m﹣2．∴k′=．∴直线OP的解析式是y=x．
联立解得：或．
∵点C在第三象限，且m＞1，∴点C的横坐标是﹣m．∴BC∥y轴．
（3）方法一：解：若点B′恰好落在线段BC′上，
设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，
则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO=180°．∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=，∴∠PCC′=∠PC′C=．
∴∠PB′B=∠PCC′．∴∠BAO=∠PCC′．
∵点C关于直线l的对称点为C′，∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，∴OD∥CC′．∴∠POD=∠PCC′．∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，∴△BAO∽△POD．∴=．
∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，∴=．
解得：∴m1=2+，m2=2﹣．
经检验：m1=2+，m2=2﹣都是分式方程的解．
∵m＞1，∴m=2+．
∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．
方法二：∵点C关于直线l的对称点为C″，
∴，∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），∴m=，∴C′X=3m，
∴C′（3m，2﹣2m），
∵将△PBC绕点P逆时针旋转，∴△BCP≌△B′C′P，
∵点B′恰好落在线段BC′上，∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，
∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）
∵CY=C′Y=2﹣2m，
∴CC′⊥BC，∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，
∴BP⊥C′P，∴KBP×KC′P=﹣1，
∵P（m，2m﹣2），∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），
∴=﹣1，∴m2﹣4m+2=0，∴m1=2﹣，m2=2+，
∵m＞1，∴m=2+．


　
21.解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：
，解得：．∴y=x2x+．
（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．∵B（1，），
当y=时，=x2x+，解得：x=1或x=4，∴D（4，）．
（3）①四边形OAEB是平行四边形．
理由如下：抛物线的对称轴是x=，∴BE=﹣1=．
∵A（，0），∴OA=BE=．又∵BE∥OA，∴四边形OAEB是平行四边形．
②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，∴，即，∴BM=；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=OB=FB=，∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK，∴MK=KF=，
∴BM=MK+BK=+1=．综上所述，线段BM的长为或．
22.解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，
∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，
则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；
（2）方法一：∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），
过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，
∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；
方法二：∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），设PA的直线方程为：y=kx+b，
∴⇒，∴lPA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4；
（3）方法一：
∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，
∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，
∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．
方法二：∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴lPB：y=mx﹣4，∴D（，0），
tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=，
∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴，
经整理：m2﹣2m﹣3=0，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，
∴P（3，5），∴lPA：y=x+2，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=．

　









23.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得∴二次函数y=x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P（1+，4）或（1﹣，4）．
故答案为P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．
（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，
由解得，
∴OM==，ON=m•，
∴=，∴k=时，=．
∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．
　
24.解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，
∵x1=2是它的一个根，∴×22+2b+2=0，解得：b=﹣，
∴方程为：x2﹣x+2=0，∴另一个根为x2=3；
（2）当x1=2c时，x2==，此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，
∵M（﹣，），当△ABM为等边三角形时||=AB，
即||=（﹣2c），∴||=•，∴b2+2b+1=（1+2b+1），
解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，
∴△ABM不可能为等边三角形；
（3）∵△BPO∽△PAO，∴=，即x1x2=c2=，∴ac=1，
由S1=S2得c=||=﹣c，∴b2=4a•2c=8ac=8，∴b1=﹣2，b2=2（舍去），
方程可解为x2﹣2x+c=0，∴x1===（﹣1）c，∴m=﹣1．
　
25.解：（1）当x=0时，由y=kx+1得y=1，则C（0，1）．
∵抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）经过C（0，1），B（4，3），∴，解得：，∴a=；
（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，得3=4k+1，解得：k=，∴直线AB的解析式为y=x+1．
由y=0得0=x+1，解得：x=﹣2，∴A（﹣2，0），OA=2，
∵C（0，1），∴OC=1，∴tan∠CAO==．
∵PQ⊥x轴，∴tan∠PAQ==，
设PQ=m，则QA=2m，∵tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，∴=，
∵MQ=，∴﹣=，∴PN=；
（3）方法一：在y轴左侧抛物线上存在E，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等．
过点D作DF⊥CO于点F，如图2，
∵DF⊥CF，CD⊥AB，∴∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠ACO=90°，∴∠CDF=∠ACO，
∵CO⊥x轴，DF⊥CO，∴∠AOC=∠CFD=90°，
在△ACO和△CDF中，，∴△ACO≌△CDF（AAS），
∴CF=AO=2，DF=CO=1，∴OF=CF﹣CO=1，
作PH∥CN，交y轴于点H，连接DH，
∵CH∥PN，∴四边形CHPN是平行四边形，∴CN=HP，CH=PN=，
∴HF=CF﹣CH=，DH==，∴DH=PN．
∴△PHD是以PN，PD，NC的长为三边长的三角形，∴S△PHD=．
延长FD、PQ交于点G，
∵PQ∥y轴，∴∠G=180°﹣∠CFD=90°，
∴S四边形HFGP=S△HFD+S△PHD+S△PDG，
∴（HF+PG）FG=HF•FD++DG•PG．
∵点P在y=x+1上，∴可设P（t，t+1），
∴（+t+1+1）•t=××1++（t﹣1）•（t+1+1），∴t=4，P（4，3），
∴N（4，），tan∠DPG==．∵tan∠HDF==，∴∠DPG=∠HDF．
∵∠DPG+∠PDG=90°，∴∠HDF+∠PDG=90°，∴∠HDP=90°．
∵PN=DH，若△ENP与△PDH全等，则有两种情况：
①当∠ENP=∠PDH=90°，EN=PD时，
∵PD==5，∴EN=5，∴E（﹣1，）．
由（1）得：抛物线y=x2﹣x+1．当x=﹣1时，y=，所以点E在此抛物线上．
②当∠NPE=∠HDP=90°，BE=PD时，
则有E（﹣1，3），此时点E不在抛物线上，
∴存在点E，满足题中条件，点E的坐标为（﹣1，）．
方法二：作BF∥CN交y轴于点F，如图3，
∴NC=PF，PN=CF=，F（0，﹣），
∵CD⊥AB，且CD=AC，
∴点D可视为点A绕点C逆时针旋转90°而成，将点C（0，1）平移至原点C′（0，0），则点A′（﹣2，﹣1），
将点A′绕原点逆时针旋转90°，则D′（1，﹣2），将C′（0，0）平移至点C（0，1），
则D′平移后即为点D（1，﹣1），
∴lDF：y=﹣x﹣，
过点P作x轴垂线交FD的延长线于H，
∵P（t，t+1），∴H（t，﹣t﹣），
∴S△PDF=，
∴，
∴t=4，∴P（4，3），D（1，﹣1），F（0，﹣），
∴PD2=25，PN2=，
∴PD2+PN2=，PF2=42+（3+）2=，
∴PD2+PN2=PF2，
∴以PN，PD，NC的长为三边长的三角形为直角三角形，欲使△ENP全等于上述三角形，则必有直角
①过点P作PE⊥PN交抛物线于点E，∴E（﹣，3）（舍）
②过点N作PE⊥PN交抛物线于点E，∴E（﹣1，）．



　










26.解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，∴n=4，∴y=﹣x+4，
令y=0，∴x=3，∴A（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．
∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，∴b=﹣，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，
（2）∵点P的横坐标为m．∴P（m，m2﹣m﹣2），
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD．
①当点P在直线BD上方时，PD=m2﹣m
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，BD=﹣m．∴m2﹣m=﹣m，解得m1=0（舍去），m2=（舍去）
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，BD=m．∴m2﹣m=m，解得m1=0（舍去），m2=．
②当点P在直线BD下方时，m＞0，BD=m，PD=﹣m2+m．∴﹣m2+m=m，
解得m1=0（舍去），m2=．
即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或．
（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，∴AC=5，∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，

ND'﹣MD'=2，∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，∴m=（舍），或m=﹣，
如图2，ND'+MD'=2，
∴（m2﹣m）+m=2，∴m=，或m=﹣（舍），∴P（﹣，）或P（，），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
∵P′N=BM，∴（m2﹣m）=m，∴m=，∴P（，）．
∴P（﹣，）或P（，）或P（，）．