专练12（一次函数与反比例函数大题）中考数学考点必刷题（解析版）

这是一份专练12（一次函数与反比例函数大题）中考数学考点必刷题（解析版），共49页。试卷主要包含了.反比例函数y=等内容，欢迎下载使用。

专练12（一次函数与反比例函数大题）（30道）
1．.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1）、B（，n）两点．直线y=2与y轴交于点C．
1）求一次函数与反比例函数的解析式；
2）求△ABC的面积；
3）直接写出不等式kx+b＞在如图所示范围内的解集．

【答案】（1）y=﹣；y=2x﹣5；（2）；（3）x＜或x＞2
【解析】
1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，
∴反比例解析式为y=﹣，
把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（﹣4），
把A与B坐标代入y=kx+b中得：，
解得：k=2，b=﹣5，
则一次函数解析式为y=2x﹣5；
2）如图，

∵A（2，﹣1），B（，﹣4），直线AB解析式为y=2x﹣5，
∵C（0，2），直线BC解析式为y=﹣12x+2，
将y=﹣1代入BC的解析式得x=，则AD=2﹣=
∵xC﹣xB=2﹣（﹣4）=6，
∴S△ABC=×AD×（yC﹣yB）=××6=．
3）由图可知，当x＜或x＞2时，kx+b＞．
点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2．.如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．
（1）试确定这两函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．

【答案】（1），y=x+1；（2）；（3）x＜﹣2或0＜x＜1．
【解析】
解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，﹣k+4），∴，解得：k=2，∴点A（1，2），∴2=1+b，得：b=1，即这两个函数的表达式分别是：，y=x+1；
（2）
解得：或，即这两个函数图象的另一个交点B的坐标是（﹣2，﹣1）；
将y=0代入y=x+1，得x=﹣1，∴OC=|﹣1|=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=，即△AOB的面积是；
（3）根据图象可得反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
3．.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C． 

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； 
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）y=2x﹣5，；（2）．
【解析】
（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，∴反比例解析式为，把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=2，b=﹣5，则一次函数解析式为y=2x﹣5；
（2）
如图，
S△ABC=
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
4．.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【答案】（1）y=-，y=-2x-4（2）8
【解析】
（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=8．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
5．.反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

【答案】(1); B点坐标为（3，1）；(2) P点坐标为（，0）．
【解析】
（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=；
把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，
∴B点坐标为（3，1）；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），
∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，
当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，
∴P点坐标为（，0）．

【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
6．.如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

【答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．
【解析】
解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2（，）；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．

【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系，反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数图像解不等式，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7．.如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B．

（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】(1)y=，y=﹣x+5；(2)10.
【解析】
解：（1）把A（1，4）代入y=得k=1×4=4，
所以反比例函数的解析式为y=；
把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5，
所以直线解析式为y=﹣x+5；
（2）当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0），
所以△AOB的面积=×5×4=10．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
8．.如图1，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
（1）把A（2，1）代入y=，得k=2×1=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=，得a=2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=；
∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，
∴CD=2，∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t， t﹣1），
∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，
∴S△CMN=•t•（﹣t+1）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），
∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．

9．.如图，已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．

（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．
【答案】（1）k＝-4；（2）tan∠ABO=．
【解析】
解：（1）∵点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．
∴点B的纵坐标为y＝4﹣5＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵B在反比例函数y＝（k＜0，x＞0）的图象上
∴k＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝ ，S△OBD＝，
∴S△AOC：S△OBD＝1：|k|，
∴，
∴，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO＝．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．.如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时不等式的解集．

【答案】(1)k=8，（3，0）；(2) ，；(3) ．
【解析】
解：（1）点在反比例函数的图象上，
，解得
将代入，得，解得．
点的坐标是（3，0）
（2） 反比例函数解析式为：
将 代入得 ，点的坐标是
∴BD＝，点A到BD的距离为4－3＝1，
的面积为
（3）观察两函数图象可发现：当0＜x＜4时，反比例函数图象在一次例函数图象的上方，
∴x＞0时不等式的解集为0＜x＜4．
11．.如图，A、B两点在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．
（1）若△AOC的面积为4，求k值；
（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；
（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．

【答案】（1）8（2）△AOB是等边三角形（3）见解析
【解析】
解：（1）∵AC⊥y轴于点C，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，且△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
∴k＝8；
（2）由a＝1，b＝k，可得A（1，k），B（k，1），
∴AC＝1，OC＝k，OD＝k，BD＝1，
∴AC＝BD，OC＝OD．
又∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS）．
∴AO＝BO．
又AO＝AB，
∴AO＝BO＝AB，
∴△AOB是等边三角形；
（3）证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根据勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，
∵OA＝OB，
∴AC2+OC2＝BD2+OD2，
即有：，
∴，，
因为0＜a＜b，所以a2﹣b2≠0，
∴，
∴，负值舍去，得：，
∴，
∴OC＝OD．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
12．.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点F的坐标．

【答案】（1）y=；（2）F（6，）．
【解析】
（1）∵反比例函数的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，
∴点C的坐标为C（8，4），
设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，
在Rt△CNB中，，
解得：x=5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
根据题意得方程组，解得：或．
∵点F在第一象限，
∴点F的坐标为F（6，）．

考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
13．.如图，一次函数的图象与y轴交于C(0，8)，且与反比例函数y=(x＞0)的图象在第一象限内交于A(3，a)，B(1，b)两点.
⑴求△AOC的面积；
⑵若=4，求反比例函数和一次函数的解析式.

【答案】（1）12；（2）y＝－2x＋8.
【解析】
解：(1)过点A作AD⊥y轴于点D，如图，

∵C(0,8)，A(3，a)，∴AD=3，OC=8.
∴S△AOC＝×OC×AD=×8×3＝12；
(2)∵A(3，a)，B(1，b)两点在反比例函数 (x＞0)的图象上，
∴3a＝b.
∵＝4，
∴|a－b|＝4.
∵由图象可知a＜b，
∴a－b＝－4.
∴，解得
∴A(3,2)，B(1,6) .
把A点的坐标代入(x＞0)得，，
∴k＝6.
∴反比例函数的解析式为 (x＞0)；
设一次函数的解析式为y＝mx＋n，
∵一次函数的图象经过点A，B，
∴.
解得.
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋8.
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，准确求出A与B的坐标是解题的关键.
14．.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．

【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【解析】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．

【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
15．.如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

【答案】（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0.
【解析】
（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5，
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想．
16．.在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0，k＞0图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．
（1）求n的值；
（2）如图，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1﹣S2的值．

【答案】（1）2（2）6
【解析】
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0，k＞0图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．
∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n＝2或n＝0（舍去），
∴n的值为2；
（2）反比例函数解析式为y＝，
设B（m，m），
∵OC＝BC＝m，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
设BD＝AD＝t，则A（m+t，m﹣t），
∵A（m+t，m﹣t）在反比例函数解析式为y＝上，
∴（m+t）（m﹣t）＝12，
∴m2﹣t2＝12，
∴S1﹣S2＝＝6．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
17．.如图，已知将反比例函数（x＜0），沿y轴翻折得到反比例函数（x＞0），一次函数y＝ax+b与交于A（1，m），B（4，n）两点；

（1）求反比例函数y2和一次函数y＝ax+b的解析式；
（2）连接OA，过B作BC⊥x轴，垂足为C，点P是线段AB上一点，若直线OP将四边形OABC的面积分成1：2两部分，求点P的坐标．
【答案】（1），y＝﹣x+5；（2）P的坐标是P或P.
【解析】
（1）∵反比例函数y1（x＜0）与反比例函数y2（x＞0）关于y轴对称，∴k=﹣（﹣4）=4，∴y2，把A（1，m），B（4，n）代入y2得：m=4，n=1，∴A（1，4），B（4，1），∴把A（1，4），B（4，1）代入y=ax+b得：，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+5；
（2）设y=﹣x+5与x轴交于点G，则G（5，0），过A作AD⊥x轴于点D，过P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x+5），则PE=﹣x+5．
∵S四边形OPBC=S△POG﹣S△BCG5•（﹣x+5）（5﹣4）×1x+12；S△POA=S△AOG﹣S△POG5×45•（﹣x+5）x，分两种情况讨论：
①若S四边形OPBC=2S△POA时，∴x+12=2（x），解得：x，∴P（，）；
②若2S四边形OPBC=S△POA时，则2（x+12）x，解得x，∴P（，）；
∴当直线OP将四边形OABC的面积分成1：2两部分时，点P的坐标是P（，）或P（，）．

【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，掌握三角形面积的求法是解题的关键．
18．.如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．
【解析】
（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，
∴a＝－1，b＝－1，
∴A（－1，3），B（3，－1），
∵点A（－1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝－1×3＝－3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设点P（n，－n＋2），
∵A（－1，3），
∴C（－1，0），
∵B（3，－1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP−xA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xB−xP|＝×1×|3−n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n＋1|＝×1×|3−n|，
∴n＝0或n＝−3，
∴P（0，2）或（−3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（−1，3），B（3，−1），
∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m＋1）2＋9＝32，
∴m＝−1＋或m＝−1−（舍），
∴M（−1＋，0）
③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，
∴m＝3＋或m＝3−（舍），
∴M（3＋，0）
即：满足条件的M（−1＋，0）或（3＋，0）．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19．.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积．

【答案】（1）y＝x﹣4，y＝；（2）32
【解析】
（1）连接AO．
∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），∴AD=2．
∵∠CAD=45°，∴∠AFD=45°，∴FD=AD=2．
∵AD∥y轴，∴S△AOD=S△ADC=6，∴OD=6，∴A（6，2），将A（6，2）代入，得：m=12，∴反比例函数解析式为y；
∵∠OCF=∠CAD=45°．在△COF中，OC=OF=OD﹣FD=6﹣2=4，∴C（0，﹣4），将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得：
，∴，∴一次函数解析式为y=x﹣4；
（2）点E是点C关于x轴的对称点，∴E（0，4），∴CE=8，解方程组，得：或，∴B（﹣2，﹣6），∴．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
20．.如图所示，一次函数y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移与反比例函数（x＞0）交于点C、D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝．

（1）求直线BC和反比例函数解析式；（2）连接BD，求△BCD的面积．
【答案】（1） ， ；（2）S△BCD＝ .
【解析】
（1）作CF⊥x轴于F，
由直线y＝x+3可知，A（﹣3，0），B（0，3），
∵BE＝3CE，且S△ACE＝，
∴S△ABE＝，
∴ AE•OB＝，即AE•3＝，
∴AE＝，
∴OE＝，
∵S△ACE＝AE•CF＝，
∴CF＝1，
∵CF∥OB，
∴△ECF∽△EBO，
∴，即 ＝，
∴EF＝，
∴OF＝OE+DF＝2，
∴C（2，﹣1），
∴BC＝，
∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点C，
∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ；
（2）∵将直线AB向下平移与反比例函数y＝（x＞0）交于点C、D，
∴设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，
把C（2，﹣1）代入得，﹣1＝2+b，
∴b＝﹣3，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，
∴H（0，﹣3），
解，
∴D（1，﹣2），
∴S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH＝ ×3×2﹣×3×1＝．

【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线
21．.如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1，a)，B两点，与x轴交于点C．
(1)求a，k的值及点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）a=3；k=-3；B(－3，1)；（2）P(－6，0)或(－2，0)
【解析】
解：（1）把点A(－1，a)代入y＝x＋4，得a＝3，
∴A(－1，3)
把A(－1，3)代入反比例函数y＝
∴k＝－3.
∴反比例函数的表达式为y＝－
联立两个函数的表达式得
解得或
∴点B的坐标为B(－3，1).
（2）P(－6，0)或(－2，0)
∵B(-3,1),A(-1,3),C(-4,0),
∴S△BOC=2,即S△ACP＝S△BOC=3,
∴=3, CP=2,
∵P在x轴上,
∴P(－6，0)或(－2，0).
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,中等难度,联立解方程组是解题关键.
22．.如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

【答案】（1）m=2；y=x+；（2）P点坐标是（﹣，）．
【解析】
解：（1）∵反比例函数的图象过点
∴
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m=﹣2，
∴m=2；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
由y=kx+b的图象过点A，B（﹣1，2），则
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）连接PC、PD，如图，设
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴
解得：
∴P点坐标是

【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
23．.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．

【答案】（1）y=， y=﹣x+；（2）S△POQ= ；（3）或x＜0．
【解析】
解：（1）过P作PC⊥y轴于C，

∵P（，n），
∴OC=n，PC=，
∵tan∠BOP=，
∴n=4，
∴P（，4），
设反比例函数的解析式为y=，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴Q（4，），
把P（，4），Q（4，）代入y=kx+b中得，，
∴，
∴直线的函数表达式为y=-x+；
（2）过Q作QD⊥y轴于D，
则S△POQ=S四边形PCDQ=×（+4）×（4-）=；
（3）由图象知，
当-x+＞时，＜x＜4或x＜0
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．
24．.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【答案】（1）①；②四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见解析，m+n=32.
【解析】
（1）①如图1，

，
反比例函数为，
当时，，
，
当时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
②四边形是菱形，
理由如下：如图2，

由①知，，
轴，
，
点是线段的中点，
，
当时，由得，，
由得，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记，的交点为，
,
当时，，
，，
，
，，，
，
，
.
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
25．（.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；

（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝﹣x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【答案】（1）y= ；（2）y=﹣x+；
【解析】
（1）∵直线 l1：y＝﹣x 经过点 A，A 点的纵坐标是 2，
∴当 y＝2 时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数 y＝的图象经过点 A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣；
(2)∵直线 l1：y＝﹣x 与反比例函数 y＝的图象交于 A，B 两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣ x＞ 的解集为 x＜﹣4 或 0＜x＜4；
(3)如图，设平移后的直线 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，
∵△ABC 的面积为 30，
∴S△AOD+S△BOD＝30，即 OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线 的函数表达式为 y＝﹣x+b， 把 D（15，0）代入，可得 0＝﹣×15+b，
解得 b＝，
∴平移后的直线 的函数表达式为 y＝-.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式.
26．.如图，在矩形中，，，反比例函数（）的图像与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且.

（1）求点D的坐标和的值；
（2）求证：；
（3）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），4；（2）见解析；（3）存在点，或.
【解析】
解：（1）在矩形中，轴，且，

∴点的纵坐标为3.
∵，且，
，
∴.
∴点在反比例函数图像上，
∴.
（2）证：∵在上，
∴横坐标为4，
在中，当时，，
∴.
∴，
∴，
∴.
（3）存在点，使，其过程是：
设，则.
，
，
，
.
，
.
，即.解得或.
或.
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．
27．.如图，直线y＝2x+6与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6-＜0的解集；
（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

【答案】（1）m=8，；（2）0＜x＜1；（3）n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
【解析】
解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为；
（2）不等式2x+6-＜0的解集为0＜x＜1；
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴-＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为 ．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．
28．.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．

【答案】(1)点C的坐标（4，1），k的值是4； (2) P（2，）；(3)
【解析】
解：(1) 过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△ABO和△BCH中
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴C（4，1），
∵点C落在函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=4×1=4；
故答案为点C的坐标（4，1），k的值是4
(2)过O作OP∥BC交于点P，过P作PE⊥x轴于E，
∵∠POE=∠OAB，∠AOB=∠PEO，
∴△OAB∽△OHP，
∴PE：OE=OB：OA=1：3，∵点P在 上
∴

∴P（2，）
(3) ，理由：
∵Q（0，m），
∴OQ=m，
∵QM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，
∴M（，m），N（3m，m），
∵点M在点N左侧，
∴＜3m，
∵m＞0，
∴m＞．

【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是正确作出辅助线．
29．.如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

【答案】（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18.
【解析】
（1）把（a，3）代入=－，得 ，解得a=－2；
（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，
当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO≌△OEC，
又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），
由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，
所以C（-3，-2）；

（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO∽△OEC，
∴，
∵∠ACO=∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，
∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m，
∴A（n，－m），代入y=－中，
得mn=18.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，根据题意结合图形添加正确的辅助线是解题的关键.
30.如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．
（1）求H点的坐标及k的值；
（2）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（3）点N（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．

【答案】（1）k＝4；（2）点P的坐标为（0，6）或（0，2+），或（0，2﹣）；（3）m＝7或3．
【解析】
（1）由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2，
∵tan∠AHO＝2，
∴OH＝1，
∴H（1，0），
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1，
∵点M在直线y＝2x+2上，
∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），
∵点M在y＝上，
∴k＝1×4＝4；
（2）①当AM＝AP时，
∵A（0，2），M（1，4），
∴AM＝，
则AP＝AM＝，
∴此时点P的坐标为（0，2﹣）或（0，2+）；
②若AM＝PM时，
设P（0，y），
则PM＝ ，
∴＝，
解得y＝2（舍）或y＝6，
此时点P的坐标为（0，6），
综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，2+），或（0，2﹣）；
（3）∵点N（a，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴a＝4，
∴点N（4，1），
延长MN交x轴于点C，

设直线MN的解析式为y＝mx+n，
则有
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+5．
∵点C是直线y＝﹣x+5与x轴的交点，
∴点C的坐标为（5，0），OC＝5，
∵S△MNQ＝3，
∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝×QC×4﹣×QC×1＝QC＝3，
∴QC＝2，
∵C（5，0），Q（m，0），
∴|m﹣5|＝2，
∴m＝7或3，
故答案为7或3．
【点睛】
本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算．