中考数学必考点提分专练04 用待定系数法求函数表达式（含解析）

用待定系数法求函数表达式
提分专练04

|类型1|　求一次函数表达式
1．如图，已知直线y=12x+2交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求A，B两点的坐标;
(2)已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC=12S△AOB时，求直线OC的解析式．

解：(1)∵直线y=12x+2，∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)．
(2)由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OB=2，∴S△AOB=4×22=4，
∵S△AOC=12S△AOB，∴S△AOC=2，
设点C的坐标为(m，n)，∴4n2=2，∴n=1，
∵点C在线段AB上，∴1=12m+2，∴m=-2，∴点C的坐标为(-2，1)，
设直线OC的解析式为y=kx，则-2k=1，解得k=-12，
即直线OC的函数解析式为y=-12x．
2．如图①，直线y=kx-2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB=25．
(1)求A，B两点的坐标;
(2)如图②，以AB为边，在第一象限内画出正方形ABCD，并求直线CD的解析式．

解：(1)∵直线y=kx-2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A(0，-2k)，B(2，0)，
∵AB=25，∴4+4k2=20，∴k2=4，
∵k<0，∴k=-2，∴A(0，4)，B(2，0)．
(2)如图，作CH⊥x轴于H．

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ABO=∠BCH，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴CH=OB=2，BH=OA=4，∴C(6，2)，
∵CD∥AB，
∴设直线CD的解析式为y=-2x+b，把C(6，2)代入得到b=14，
∴直线CD的解析式为y=-2x+14．
3．[2019·泰州]小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg，

图中折线表示批发单价y(元/kg)与质量x(kg)的函数关系．
(1)求图中线段AB所在直线的函数表达式;
(2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少?
解：(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b，由图可得，点A的坐标为(100，5)，B的坐标为(300，3)，则5=100k+b，3=300k+b，解得：k=-0．01，b=6，
∴y=-0．01x+6．
(2)设批发xkg，∵800<300×3，∴x<300．则单价为(-0．01x+6)元/kg，
根据题意可列方程：(-0．01x+6)x=800，
解得：x1=200，x2=400(舍去)，
∴小李用800元一次可以批发这种水果200kg．
4．[2019·济宁]小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
(1)小王和小李的速度分别是多少?
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

解：(1)从线段AB得：两人从相距30km的两地同时出发，1h后相遇，则v小王+v小李=30km/h，小王从甲地到乙地行驶了3h，
∴v小王=30÷3=10(km/h)，∴v小李=20km/h．
(2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1．5(h)，此时小王和小李的距离是1．5×10=15(km)，∴C点坐标是(1．5，15)．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(1，0)，C(1．5，15)分别代入解析式，得k+b=0，1．5k+b=15，
解得：k=30，b=-30．
∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1．5)．
|类型2|　求反比例函数表达式
5．[2019·滨州]如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为 (　　)

A．6 B．5 C．4 D．3
[答案]C　
[解析]方法1：如图，连接AC，

∵四边形OABC是菱形，∴AC经过点D，且D是AC的中点．设点A的坐标为(a，0)，点C坐标为(b，c)，则点D坐标为(a+b2，c2)．∵点C和点D都在反比例函数y=kx的图象上，∴bc=a+b2×c2，∴a=3b．∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C．
方法2：设点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(c，kc)，则a·kc=12，点D的坐标为(a+c2，k2c)，
∴a·kc=12，k2c=ka+c2，解得k=4，故选C．
6．[2019·常德]如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C．

(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
解：(1)∵A(1，a)在y=-x+3的图象上，
∴a=-1+3=2，
把A(1，2)代入y=kx中，得k=2，
∴反比例函数解析式为y=2x．
(2)∵点P在x轴上，∴设P(m，0)，
∵S△APC=12PC×2，∴5=12PC×2，∴PC=5．
∵y=-x+3，当y=0时，x=3，∴C(3，0)，
∴m-3=5或3-m=5，即m=8或-2，
∴点P的坐标为(8，0)或(-2，0)．
7．[2018·泰安]如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y=mx(x<0)的图象经过点E，与AB交于点F．
(1)若点B坐标为(-6，0)，求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的表达式;
(2)若AF-AE=2，求反比例函数的表达式．

解：(1)∵B(-6，0)，AD=3，AB=8，E为CD的中点，
∴E(-3，4)，A(-6，8)．
∵反比例函数图象过点E(-3，4)，
∴m=-3×4=-12．
设图象经过A，E两点的一次函数表达式为y=kx+b，
∴-6k+b=8，-3k+b=4，解得k=-43，b=0，∴y=-43x．
(2)连接AE，∵AD=3，DE=4，∴AE=5．

∵AF-AE=2，∴AF=7，∴BF=1．
设点E横坐标为a，则E点坐标为(a，4)，点F坐标为(a-3，1)，
∵E，F两点在y=mx图象上，
∴4a=a-3，解得a=-1，
∴E(-1，4)，∴m=-4，∴y=-4x．
8．[2019·兰州]如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，AO．
(1)求反比例函数y=kx(k≠0)的表达式;
(2)若四边形ACBO的面积是33，求点A的坐标．

解：(1)作BD⊥OC于D，

∵△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=2，OD=12OC=1，
∴BD=OB2-OD2=3，∴S△OBD=12OD·BD=32，
又∵S△OBD=12|k|，∴|k|=3，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一、三象限，∴k=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x．
(2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×3=3，
∴S△AOC=33-3=23．
∵S△AOC=12OC·yA=23，∴yA=23．
把y=23代入y=3x，得x=12，
∴点A的坐标为(12，23)．
|类型3|　求二次函数表达式
9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三点，求这个二次函数的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
把(0，-3)代入得a×1×(-3)=-3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为
y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3．
10．已知二次函数的图象以A(-1，4)为顶点，且过点B(2，-5)．
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
解：(1)由顶点A(-1，4)，可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0)．
∵二次函数的图象过点B(2，-5)，
∴点B(2，-5)的坐标满足二次函数关系式，
∴-5=a(2+1)2+4，解得a=-1．
∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4．
(2)令x=0，则y=-(0+1)2+4=3，
∴图象与y轴的交点坐标为(0，3);
令y=0，则0=-(x+1)2+4，
解得x1=-3，x2=1，
故图象与x轴的交点坐标是(-3，0)，(1，0)．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
(1)根据上表填空：
①这个抛物线的对称轴是　　　　，抛物线一定会经过点(-2，　　　　);
②抛物线在对称轴右侧部分是　　　　(填“上升”或“下降”)．
(2)如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线表达式．
解：(1)①直线x=1　10　[解析]∵当x=0和x=2时，y值均为2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∴当x=-2和x=4时，y值相同，
∴抛物线会经过点(-2，10)．
故答案为：直线x=1;10．
②上升　[解析]∵抛物线的对称轴为直线x=1，且x=2，3，4时的y的值逐渐增大，
∴抛物线在对称轴右侧部分是上升．
故答案为：上升．
(2)将(-1，5)，(0，2)，(2，2)代入y=ax2+bx+c中，
得a-b+c=5，c=2，4a+2b+c=2，解得a=1，b=-2，c=2．
∴二次函数的表达式为y=x2-2x+2．
∵点(0，5)在点(0，2)上方3个单位长度处，
∴平移后的抛物线表达式为y=x2-2x+5．
12．[2019·东营节选]已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标．

[解析](1)直接把点A(2，0)，B(-4，0)的坐标代入y=ax2+bx-4，可求得解析式;(2)连接OP，设点P(x，12x2+x-4)，其中-4 则S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16，再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标．
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，
∴4a+2b-4=0，16a-4b-4=0，
解得a=12，b=1，
∴这条抛物线的解析式为y=12x2+x-4．
(2)如图，连接OP，

设点P(x，12x2+x-4)，其中-4 设四边形ABPC的面积为S，由题意得C点坐标为(0，-4)，
∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=12×2×4+12×4·(-x)+12×4·(-12x2-x+4)=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12
=-(x+2)2+16．
∵-1<0，开口向下，∴S有最大值，
∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，
此时，y=12x2+x-4=-4，即P(-2，-4)．
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(-2，-4)．
13．[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项，列表如下：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y乙
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x　　　　时，y的值随x的值增大而增大;
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)根据甲同学的错误可知x=0时，y=c=3是正确的，
由甲同学提供的数据，选择x=-1，y=6;x=1，y=2代入y=ax2+bx+3，
得a-b+3=6，a+b+3=2，解得a=1是正确的．
根据乙同学提供的数据，选择x=-1，y=-2;x=1，y=2代入y=x2+bx+c，
得1-b+c=-2，1+b+c=2，解得b=2是正确的，
∴y=x2+2x+3．
(2)≥-1　[解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，
∵二次项系数为1，故抛物线开口向上，
∴当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大．
故答案为≥-1．
(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，
即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4(3-k)>0，解得k>2．
14．[2019·常州节选]如图，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．
(1)b=　　　　．
(2)若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC，BD分别交于点M，N．是否存在这样的点P，使得PM=MN=NH，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

[解析]∵二次函数y=-x2+bx+3的图象过点A(-1，0)，
∴0=-(-1)2-b+3．
∴b=2．故填2．

(2)如图①，连接BD，BC，过点P作PH⊥x轴于点H，分别交BC，BD于点M，N．
由题意知，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，
且点D为OC的中点，∴D(0，32)．
易求直线BC的解析式为y=-x+3，
直线BD的解析式为y=-12x+32．
假设存在符合条件的点P(m，-m2+2m+3)，
则M(m，-m+3)，N(m，-12m+32)．
∵PM=MN=NH，
∴-12m+32=(-m2+2m+3)-(-m+3)．
整理，得2m2-7m+3=0，
解得m1=12，m2=3(不合题意，舍去)．
∴P(12，154)使得PM=MN=NH．