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2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考试数学试题（解析版）
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2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．
【详解】
∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，
故选A.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决本题的关键，比较基础．
2．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】
是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）
A．这天的的中位数是
B．天中超过天空气质量为“优良”
C．从3月4日到9日，空气质量越来越好
D．这天的的平均值为
【答案】C
【解析】这12天的AQI指数值的中位数是 ，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；
从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.
故选 C．
4．直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先由倾斜角和斜率的关系得到，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系将原式变形为，代入计算即可.
【详解】
解：由已知得，
则.
故选：D.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，是基础题.
5．已知正数，满足，则的最小值是（ ）.
A．18 B．16 C．8 D．10
【答案】A
【解析】根据正数，满足，可得，然后由，利用基本不等式求出的最小值．
【详解】
解：正数，满足，．
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为18．
故选：．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
6．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】将用与进行表示，代入可得答案.
【详解】
解：由题意得：
,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难.
7．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根据概率公式计算即可．
【详解】
从八卦中任取两卦，基本事件有种，
其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，
∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p
故选：D
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．
8．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a
【解析】由题意可得为奇函数，且在上单调递增，进而判断出为偶函数，且在上递增，即可比较大小.
【详解】
解：依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，
所以为偶函数．
当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增，
因此，，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.
二、多选题
9．下列判断正确的是（ ）
A．命题，使得，则的否定：“，都有”
B．中，角成等差数列的充要条件是；
C．线性回归直线必经过点的中心点
D．若随机变量服从正态分布，则；
【答案】BCD
【解析】A.通过特称命题的否定的为全称命题来判断；
B.利用等差数列的概率及三角形的内角和来判断；
C.通过线性回归直线必过样本点中心来判断；
D.根据随机变量的对称性来判断.
【详解】
A.命题，使得，则的否定为：“，都有”，故错误；
B.角成等差数列，故正确；
C.线性回归直线必经过点的中心点，故正确；
D.若随机变量服从正态分布，
则，故正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查特称命题的否定，考查等差中项的应用，考查回归直线的性质，考查正态分布的对称性，是基础题.
10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.
【详解】
解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，
，又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面，，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
故选：
【点睛】
本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.
11．已知向量，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ）
A．
B．的图像关于对称
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解析】首先根据条件可得，再根据三角函数的性质，通过代入验证，整体运算，逐一判断即可.
【详解】
函数，
A：当时，，，故A错；
B：，当时，对应的函数值取得最小值为，所以B正确；
C：时， ，所以函数在不单调，故C错；
D：因为，所以，
又，即2恒成立，故D对；
故选：BD.
【点睛】
本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是中档题.
12．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
【解析】根据椭圆的中点弦的性质判断ABC；将直线方程为，与椭圆方程联立，求出交点，进而可求出弦长.
【详解】
对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
所以A项不正确；
对于B项，根据，所以，
所以直线方程为，即，
所以B项正确；
对于C项，若直线方程为，点，则，
所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，
得到，整理得：，
解得，
所以，
所以D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查椭圆中点线问题，熟记关系式可减少计算，是基础题.
三、填空题
13．的展开式中，项的系数是__________．
【答案】240
【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，计算展开式中含有项的系数即可.
【详解】
由题意得：，只需，可得，
代回原式可得，
故答案：240.
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.
14．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．
【详解】
解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yx，即bx﹣ay＝0，
∴焦点到渐近线的距离d，
∵|AF|＝|BF|＝a，
∴|AD|，
则|AB|＝2|AD|＝2c，
平方得4（a2﹣b2）c2，
即a2﹣c2+a2c2，
则2a2c2，
则c2a2，
则ca，
即离心率e，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．
15．已知函数满足，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意，把在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，转化为函数与的图象在区间内有4个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数满足，即，即函数是以6为周期的周期函数，
又由在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
即在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
即函数与的图象在区间内有4个不同的交点，
又由函数，作出函数的图象，如图所示，
由直线，可知直线恒过点，
当时，此时直线与函数的图象恰有4个交点，
当直线过点时，此时，即，此时函数与直线有5个同的交点，
当直线与半圆相切时，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去），此时函数与直线有3个同的交点，
此时函数与直线恰有4个同的交点，则
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
【答案】
【解析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
四、解答题
17．如图，在四边形中，
（1）求的值；
（2）若记，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）通过正弦定理求出，再在中由余弦定理可得；
（2）由可得，，再利用两角和的正弦公式及倍角公式可求的值.
【详解】
（1）由题意，因为，，，
，，
中，由正弦定理可得，，，
.
中由余弦定理可得，；
（2）由可得，，
，
.
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查倍角公式与和角公式的灵活应用，是中档题.
18．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。
【详解】
方案一：选条件①
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案二：选条件②
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案三：选条件③
解得或（舍去）
（2）
【点睛】
此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。
19．已知平行四边形中，，，，是线段的中点，沿将翻折到，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）首先证出，再利用面面垂直的性质定理即可证出.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）由题意可知，，，
即，故.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，且，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
由于是线段的中点，所以在平面中，
，.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
所以平面的一个法向量为，
而平面的一个法向量为.
故，易知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理以及空间向量法求二面角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
20．已知抛物线，的焦点为，过点的直线的斜率为，与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，两条切线的交点为．
（1）证明：；
（2）若的外接圆与抛物线有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）或
【解析】（1）联立直线与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得即可；
（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆且圆的方程可化简为，联立圆与抛物线的方程得到，圆与抛物线有四个不同的交点等价于
【详解】
解：（1）证明：依题意有，直线，
设，，，，直线与抛物线相交，
联立方程消去，化简得，
所以，．
又因为，所以直线的斜率．
同理，直线的斜率，
所以，，
所以，直线，即．
（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆，
设是圆上的一点，则，
所以，圆的方程为，
又因为，
所以，圆的方程可化简为，
联立圆与抛物线得
消去，得，
即，即，
若方程与方程有相同的实数根，
则，矛盾，
所以，方程与方程没有相同的实数根，
所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于，
综上所述，．
【点睛】
本题考查抛物线的切线位置关系，考查抛物线与三角形外接圆交点个数问题，属于中档题．
21．某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据 处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？
健身达人
非健身达人
总计
男
10
女
30
总计
（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为，记为锐角的内角，
求证：
附：
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“健身达人”与性别有关系；
（2）所以选择方案二更划算；
（3）见解析.
【解析】（1）先根据题目完善表格，再根据公式计算出，与比较大小即可得出答案；
（2）若第一个方案，易得付款金额，第二个方案，设付款元，则可能取值为700，800，900，1000，求出分布列，计算出的期望值，比较大小即可；
（3）求出至少中一次的概率，通过可得答案.
【详解】
（1）列联表如下：
健身达人
非健身达人
总计
男
10
40
50
女
20
30
50
总计
30
70
100
因为，
因此有的把握认为“健身达人”与性别有关系；
（2）若选择方案一：则需付款900元；
若选择方案二：设付款元，则可能取值为700，800，900，1000.
，
，
，
，
所以（元），
因为，所以选择方案二更划算；
（3）∵是锐角三角形，
∴，则三次抽奖机会中，该顾客至少中一次的概率为：
由概率的定义可知：，故有：
.
【点睛】
本题考查独立性检验统计案例，考查离散型随机变量期望的应用，考查概率性质的应用，是中档题.
22．已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）不是，理由见解析
【解析】（Ⅰ）对函数求导，对分分类讨论，得出导函数的正负，从而得函数的单调性；
（Ⅱ）当时，得. 由，是函数的两个零点，不妨设，可得 ，两式相减可得： ， 再.
则. 设，，令，. 研究函数在上是増 函数，得，可得证.
【详解】
（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且 ,
（1）当时， ，所以在上单调递增.
（2）当时，由得：，
则当时；当时.
所以在单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当 时， 在单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）不是导函数的零点. 证明如下：
当时，.
∵，是函数的两个零点，不妨设，
，两式相减得：
即： ， 又.
则.
设，∵，∴，
令，.
又，∴，∴在上是増 函数，
则，即当时，，从而，
又所以，
故，所以不是导函数的零点.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性和研究函数的零点问题，解决此类问题常需构造合适的新函数，并对其求导函数，研究此函数的单调性，从而得出函数的最值、极值、零点等相关问题，属于难度题。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．
【详解】
∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，
故选A.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决本题的关键，比较基础．
2．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】
是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）
A．这天的的中位数是
B．天中超过天空气质量为“优良”
C．从3月4日到9日，空气质量越来越好
D．这天的的平均值为
【答案】C
【解析】这12天的AQI指数值的中位数是 ，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；
从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.
故选 C．
4．直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先由倾斜角和斜率的关系得到，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系将原式变形为，代入计算即可.
【详解】
解：由已知得，
则.
故选：D.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，是基础题.
5．已知正数，满足，则的最小值是（ ）.
A．18 B．16 C．8 D．10
【答案】A
【解析】根据正数，满足，可得，然后由，利用基本不等式求出的最小值．
【详解】
解：正数，满足，．
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为18．
故选：．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
6．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】将用与进行表示，代入可得答案.
【详解】
解：由题意得：
,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难.
7．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根据概率公式计算即可．
【详解】
从八卦中任取两卦，基本事件有种，
其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，
∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p
故选：D
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．
8．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a
【解析】由题意可得为奇函数，且在上单调递增，进而判断出为偶函数，且在上递增，即可比较大小.
【详解】
解：依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，
所以为偶函数．
当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增，
因此，，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.
二、多选题
9．下列判断正确的是（ ）
A．命题，使得，则的否定：“，都有”
B．中，角成等差数列的充要条件是；
C．线性回归直线必经过点的中心点
D．若随机变量服从正态分布，则；
【答案】BCD
【解析】A.通过特称命题的否定的为全称命题来判断；
B.利用等差数列的概率及三角形的内角和来判断；
C.通过线性回归直线必过样本点中心来判断；
D.根据随机变量的对称性来判断.
【详解】
A.命题，使得，则的否定为：“，都有”，故错误；
B.角成等差数列，故正确；
C.线性回归直线必经过点的中心点，故正确；
D.若随机变量服从正态分布，
则，故正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查特称命题的否定，考查等差中项的应用，考查回归直线的性质，考查正态分布的对称性，是基础题.
10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.
【详解】
解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，
，又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面，，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
故选：
【点睛】
本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.
11．已知向量，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ）
A．
B．的图像关于对称
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解析】首先根据条件可得，再根据三角函数的性质，通过代入验证，整体运算，逐一判断即可.
【详解】
函数，
A：当时，，，故A错；
B：，当时，对应的函数值取得最小值为，所以B正确；
C：时， ，所以函数在不单调，故C错；
D：因为，所以，
又，即2恒成立，故D对；
故选：BD.
【点睛】
本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是中档题.
12．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
【解析】根据椭圆的中点弦的性质判断ABC；将直线方程为，与椭圆方程联立，求出交点，进而可求出弦长.
【详解】
对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
所以A项不正确；
对于B项，根据，所以，
所以直线方程为，即，
所以B项正确；
对于C项，若直线方程为，点，则，
所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，
得到，整理得：，
解得，
所以，
所以D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查椭圆中点线问题，熟记关系式可减少计算，是基础题.
三、填空题
13．的展开式中，项的系数是__________．
【答案】240
【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，计算展开式中含有项的系数即可.
【详解】
由题意得：，只需，可得，
代回原式可得，
故答案：240.
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.
14．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．
【详解】
解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yx，即bx﹣ay＝0，
∴焦点到渐近线的距离d，
∵|AF|＝|BF|＝a，
∴|AD|，
则|AB|＝2|AD|＝2c，
平方得4（a2﹣b2）c2，
即a2﹣c2+a2c2，
则2a2c2，
则c2a2，
则ca，
即离心率e，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．
15．已知函数满足，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意，把在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，转化为函数与的图象在区间内有4个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数满足，即，即函数是以6为周期的周期函数，
又由在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
即在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
即函数与的图象在区间内有4个不同的交点，
又由函数，作出函数的图象，如图所示，
由直线，可知直线恒过点，
当时，此时直线与函数的图象恰有4个交点，
当直线过点时，此时，即，此时函数与直线有5个同的交点，
当直线与半圆相切时，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去），此时函数与直线有3个同的交点，
此时函数与直线恰有4个同的交点，则
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
【答案】
【解析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
四、解答题
17．如图，在四边形中，
（1）求的值；
（2）若记，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）通过正弦定理求出，再在中由余弦定理可得；
（2）由可得，，再利用两角和的正弦公式及倍角公式可求的值.
【详解】
（1）由题意，因为，，，
，，
中，由正弦定理可得，，，
.
中由余弦定理可得，；
（2）由可得，，
，
.
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查倍角公式与和角公式的灵活应用，是中档题.
18．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。
【详解】
方案一：选条件①
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案二：选条件②
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案三：选条件③
解得或（舍去）
（2）
【点睛】
此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。
19．已知平行四边形中，，，，是线段的中点，沿将翻折到，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）首先证出，再利用面面垂直的性质定理即可证出.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）由题意可知，，，
即，故.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，且，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
由于是线段的中点，所以在平面中，
，.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
所以平面的一个法向量为，
而平面的一个法向量为.
故，易知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理以及空间向量法求二面角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
20．已知抛物线，的焦点为，过点的直线的斜率为，与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，两条切线的交点为．
（1）证明：；
（2）若的外接圆与抛物线有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）或
【解析】（1）联立直线与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得即可；
（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆且圆的方程可化简为，联立圆与抛物线的方程得到，圆与抛物线有四个不同的交点等价于
【详解】
解：（1）证明：依题意有，直线，
设，，，，直线与抛物线相交，
联立方程消去，化简得，
所以，．
又因为，所以直线的斜率．
同理，直线的斜率，
所以，，
所以，直线，即．
（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆，
设是圆上的一点，则，
所以，圆的方程为，
又因为，
所以，圆的方程可化简为，
联立圆与抛物线得
消去，得，
即，即，
若方程与方程有相同的实数根，
则，矛盾，
所以，方程与方程没有相同的实数根，
所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于，
综上所述，．
【点睛】
本题考查抛物线的切线位置关系，考查抛物线与三角形外接圆交点个数问题，属于中档题．
21．某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据 处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？
健身达人
非健身达人
总计
男
10
女
30
总计
（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为，记为锐角的内角，
求证：
附：
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“健身达人”与性别有关系；
（2）所以选择方案二更划算；
（3）见解析.
【解析】（1）先根据题目完善表格，再根据公式计算出，与比较大小即可得出答案；
（2）若第一个方案，易得付款金额，第二个方案，设付款元，则可能取值为700，800，900，1000，求出分布列，计算出的期望值，比较大小即可；
（3）求出至少中一次的概率，通过可得答案.
【详解】
（1）列联表如下：
健身达人
非健身达人
总计
男
10
40
50
女
20
30
50
总计
30
70
100
因为，
因此有的把握认为“健身达人”与性别有关系；
（2）若选择方案一：则需付款900元；
若选择方案二：设付款元，则可能取值为700，800，900，1000.
，
，
，
，
所以（元），
因为，所以选择方案二更划算；
（3）∵是锐角三角形，
∴，则三次抽奖机会中，该顾客至少中一次的概率为：
由概率的定义可知：，故有：
.
【点睛】
本题考查独立性检验统计案例，考查离散型随机变量期望的应用，考查概率性质的应用，是中档题.
22．已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）不是，理由见解析
【解析】（Ⅰ）对函数求导，对分分类讨论，得出导函数的正负，从而得函数的单调性；
（Ⅱ）当时，得. 由，是函数的两个零点，不妨设，可得 ，两式相减可得： ， 再.
则. 设，，令，. 研究函数在上是増 函数，得，可得证.
【详解】
（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且 ,
（1）当时， ，所以在上单调递增.
（2）当时，由得：，
则当时；当时.
所以在单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当 时， 在单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）不是导函数的零点. 证明如下：
当时，.
∵，是函数的两个零点，不妨设，
，两式相减得：
即： ， 又.
则.
设，∵，∴，
令，.
又，∴，∴在上是増 函数，
则，即当时，，从而，
又所以，
故，所以不是导函数的零点.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性和研究函数的零点问题，解决此类问题常需构造合适的新函数，并对其求导函数，研究此函数的单调性，从而得出函数的最值、极值、零点等相关问题，属于难度题。
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