2020届上海市普陀区高考一模数学试题（解析版）
展开2020届上海市普陀区高考一模数学试题
一、单选题
1．“”是“”成立的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．
【详解】
解：，
，，
“”是“”成立的充分非必要条件，
故选：．
【点睛】
本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．
2．设集合，，若⊆，则对应的实数对有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】D
【解析】先解出，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．
【详解】
解：因为集合，
所以，，
因为，，，，
所以，或，或，
①当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；
②当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；
③当时，则或
当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；
当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；
综上所述：，，或，，或，，或，，共4对．
故选：．
【点睛】
本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．
3．已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，在平面内，且，，则
C．若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交
D．若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交
【答案】D
【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果．
【详解】
解：对于选项：若，，则直线也可能与直线异面，故错误．
对于选项：只有直线和为相交直线时，若，，则．故错误
对于选项：若，，是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与，，都相交．故错误
对于选项：若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题．
4．若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线经过第一象限内的点，，可得，，．．令，，再利用基本不等式计算可得．
【详解】
解：直线经过第一象限内的点，，
则，，．
．
令，
．
因为，当且仅当即时取最小值；
即
故选：．
【点睛】
本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
5．若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.
【答案】2
【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出的值．
【详解】
解：由抛物线方程得：焦点坐标，，，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．
6．________.
【答案】3
【解析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．
【详解】
解：．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题．
7．不等式的解集是
【答案】
【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解.
【详解】
依题意，，解得，故原不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
8．设是虚数单位，若是实数，则实数
【答案】
【解析】将化简为的形式，根据为实数，求得的值.
【详解】
依题意，由于为实数，故.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.
9．设函数（且），若其反函数的零点为，则_______.
【答案】2
【解析】根据反函数的性质可得，函数过代入求出即可．
【详解】
解：函数且，若其反函数的零点为2，
即函数过，
代入，解得，
故答案为：2．
【点睛】
考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题．
10．展开式中含项的系数为__________（结果用数值表示）.
【答案】9
【解析】求出展开式中的常数项和含项，利用多项式乘多项式得答案．
【详解】
解：
二项式的展开式中，通项公式为，
分别取，5，可得展开式中含项的系数为：．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题．
11．各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则________.
【答案】8
【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得，再由等比数列的通项公式结合求解的值．
【详解】
解：各项均不为0的等差数列满足，
，化为：，
数列是等比数列，且，
．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.
【答案】
【解析】如图所示，设，．由题意可得：，．根据，可得，．代入椭圆方程解得，即可得出．
【详解】
解：如图所示，设，，由题意可得：，．
，
，，，
，．
代入椭圆方程可得：，解得．
的长轴长．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.
【答案】432
【解析】若为偶数的对立事件为“为奇数”，即、、全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有种，进而可得所求．
【详解】
解：根据题意，，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，
则共有个排列，
若为偶数的对立事件为“为奇数”，
、、全部为奇数，有，
故则为偶数的排列的个数共有．
故答案为：432．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
14．已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由是偶函数，图象关于轴对称，可知，3，5是的两个根，根据方程的根与系数关系可求得，，的关系，然后结合二次函数的性质可求的范围．
【详解】
解：是偶函数，图象关于轴对称，
令可得，或，
根据偶函数图象的对称性可知，3，5是的两个根，
，，
由可得，，
时，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．
15．设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】关键把转化为含定值的形式，取的中点，再由的轨迹，可求得的最大值与最小值，进而可求得取值范围．
【详解】
解：设正六边形外接圆的圆心为，正六边形的边长为，所以半径为，
设的中点为，则，
因为与为相反向量，所以，，
所以，因为，所以在以为圆心，以2为半径的圆上，
，，
的最大值为，最小值为，
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
16．若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】求出关于直线的对称图象所对应的函数解析式，画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数的取值范围．
【详解】
解：设曲线关于的对称图象上的点为，关于的对称点为，
则，，代入，得．
作出函数的图象如图，
函数的图象是把向左或向右平移个单位得到的．
由图可知，要使与存在两对“伴点”，需要把向左平移．
则，设直线，即，
由圆心到直线的距离为2，得，解得或（舍；
设直线，即，
由圆心到直线的距离为2，得，解得或（舍．
要使与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题
17．如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）作，交于，连结，则异面直线与所成角为，由此能求出当时，异面直线与所成角的大小．
（2）由，能求出结果．
【详解】
解：（1）当时，，取棱的中点，连接、，
则，即是异面直线与所成角或其补角，
又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，
则.则异面直线与所成角的大小为.
（2）因为，，两两互相垂直，平面,平面,
所以平面,
则，
即, 又（），，则.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
18．设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．
（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取．所以在上恒成立，则恒成立，参变分离即可求解.
【详解】
（1）当时，由得，
令，则，即，
即，则所求的不等式的解为.
（2）任取，因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
则恒成立，
即，，
又，则，
即对恒成立，
又，即，
则所求的实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.
【答案】（1），
（2）当时，停车场最大面积为平方米
【解析】（1）由正弦定理求得，再计算停车场面积关于的函数关系式；
（2）化简函数解析式，求出的最大值以及取最大值时对应的值．
【详解】
解：（1）由平行四边形得，在中，,,
则，即，
即，，
则停车场面积，
即，其中.
（2）由（1）得，
即，
则.
因为，所以，
则时，平方米.
故当时，停车场最大面积为平方米.
【点睛】
本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．
20．已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）求得双曲线的，由等边三角形的性质可得，的方程，结合，，的关系求得，，进而得到双曲线的方程；
（2）设，，，，联立直线和，应用韦达定理和弦长公式，设的中点为，求得的坐标，由题意可得，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；
（3）求得，的坐标和的坐标，求得的垂直平分线方程和的方程，联立解得的坐标，求出，即可得证．
【详解】
解：（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，
解得，，则所求双曲线的方程为.
（2）设，，由，得，
则，，且，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则，
即，则或，
即实数的取值范围.
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为，
则. 故线段在轴上的射影长为定值.
【点睛】
本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．
21．数列与满足，，是数列的前项和（）.
（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；
（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；
（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果．
（2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果．
（3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果．
【详解】
解：（1） 由条件得，，即，
则，，设等比数列的公比为，
则，又，则.
当，时，，，
则满足题意，
故所求的的值为.
（2）当时，， ，，，
以上个式子相加得，，
又，则，
即. 由知数列是递增数列，
又，要使得对恒成立，
则只需，即，则.
（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，，
则.
则，
当时，，
即时，，
则当时，与矛盾.
又，即时，.
当时，，
又，
即当，时，，与矛盾.
又，则或，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上得的所有可能值为和.
【点睛】
本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
