2020届百校联盟高三TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）数学（文）试题（解析版）

2020届百校联盟高三TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）数学（文）试题

一、单选题

1．设，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】可以求出集合，然后进行补集的运算即可．

【详解】

解：因为

所以，，

∴.

故选：B.

【点睛】

本题考查了描述法的定义，全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．

【详解】

解：.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．

3．下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

【详解】

解：A. 函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，

B. 函数的对称轴为，为非奇非偶函数，

C. 函数为奇函数，不满足条件.

D. ，函数为偶函数，满足条件，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键，属于基础题．

4．已知双曲线：，为双曲线的右焦点，过点作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点.则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出过点作与渐近线垂直的直线，联立求出交点，然后求解距离即可．

【详解】

解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：，

则过点作与渐近线垂直的直线为：，

所以与另一条渐近线方程：的交点，，所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．

5．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥，再由圆柱体积减去圆锥体积得答案．

【详解】

解：由三视图还原原几何体，

可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥，

圆柱的体积为，圆锥的体积为，

则该几何体的体积为.

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．

6．在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据已知条件，求出满足条件的长度，及符合要求的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案．

【详解】

解：如图：作与；

；

故该点到正方形中心的距离小于的概率是：；

故选：D.

【点睛】

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量” ，再求出总的基本事件对应的“几何度量” ，最后根据求解

7．如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为1.是上一点，其横坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意求得点P坐标，根据三角函数的定义写出、，再计算的值．

【详解】

由题意可知，

根据三角函数的定义，

则

.

故选：C.

【点睛】

本题考查了任意角的三角函数值计算问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．

8．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2019，则输出的值为（    ）

A．3 B． C． D．-2

【答案】D

【解析】按照程序框图进行计算，发现值4个一循环，当时跳出循环，，即可输出，进而得解.

【详解】

解：程序运行如下：

，；

，；

，；

，；

，；……

此程序的值4个一循环，输入的值为2019，则当时跳出循环，，故输出的值为

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图中的循环结构，考查学生的推理能力和运算能力，属于基础题．

9．设，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可得，结合两角差的正切公式，利用基本不等式即可求解.

【详解】

解：由可得，

∵，

所以，

当且仅当即，时取等号，此时取得最大值.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了两家差的正切公式及基本不等式的应用，属于中档题．

10．设满足不等式组，且的最大值为，则实数的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域，将目标函数看成可行域内的点与点连线的斜率，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

结合可行域可知，

表示可行域内的点与点连线的斜率，

直线与直线的交点为点，

当时，取到最大值，

即，解得，

所以实数的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，根据的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

11．已知椭圆的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两个点，且，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，将左焦点与A、B连接起来，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，，可得，的关系，进而求出离心率.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，故，

设椭圆的左焦点为，根据椭圆的性质，四边形为平行四边形，

且，所以四边形为矩形，

在直角三角形中，，，，

根据椭圆的定义，，即，

则椭圆的离心率.

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题.

12．若函数有极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出导函数，再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围.

【详解】

由题意知，，

当时，函数在区间上单调递减，无极值点；

当时，根据与的图象，

设两个函数在第一象限的交点的横坐标为，

当时，，，

函数在区间上单调递增，

当时，，，

函数在区间上单调递减，

故当时，函数有一个极大值点.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题.

二、填空题

13．已知非零向量，，且，则______.

【答案】

【解析】根据平面向量共线的坐标表示，列方程求得的值.

【详解】

解：由，，且，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量的共线定理应用问题，属于基础题．

14．甲、乙、丙、丁4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是_______.

【答案】甲

【解析】本题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论.

【详解】

由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，

若丙说了真话，则甲必是真话，矛盾；

若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是进过房子的那个人.

故答案为：甲.

【点睛】

本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，分析判断能力，是基础题.

15．已知高为的直三棱柱的各个顶点都在同一球面上，若，.则球的体积为______.

【答案】

【解析】结合直三棱柱的性质及球的性质求出球的半径，然后根据体积公式即可求解.

【详解】

解：因为，.

所以，外接圆半径为2，球心到底面的距离为，

则球的半径，球的体积.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查多面体的外接球，球体积的求解，属于中档题．

16．的内角的对边分别为，且，若的周长的最大值为，则_______.

【答案】4

【解析】由已知结合正弦定理，余弦定理化简可求得，然后结合锐角三角函数的定义将周长的最小值表示出来，结合已知即可求解a的值.

【详解】

因为，

根据余弦定理可得，

整理得，

即，

因式分解得，

所以，即，

的周长

，

当时，取等号，则.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，，（且）.

（Ⅰ）证明：为等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】（I）见解析；

（II）

【解析】（I）对题干中的递推公式进行变形转化，可得，进一步计算可证得为等差数列；

（II）根据（I）的结论计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项的和.

【详解】

（Ⅰ）因为，

所以，

即，等式两边同时除以，

得，且，

所以数列为首项为1，公差为2的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

则①，

②，

①-②得：

，

故.

【点睛】

本题主要考查由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法求数列前n项和，考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．

18．如图.直三棱柱，，底面是边长为1的等边三角形，为的中点，与交于点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，结合已知可得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定可得平面；

（Ⅱ）取的中点，连接，由直三棱柱的性质可得平面，求得的值与三角形、三角形的面积，设点到平面的距离为，由列式求解点到平面的距离.

【详解】

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

∵，，∴，

又∵，∴四边形为平行四边形，则.

又∵平面，平面.

∴平面；

（Ⅱ）解：取的中点，连接，

由直三棱柱的性质可得平面，，.

设点到平面的距离为，又，

由，得，

即，解得.

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．

19．2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史.某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据.

学生所学文理与阅读内容列联表

（Ⅰ）判断能否有把握认为学生所学文理与阅读内容有关？

（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表；

其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）

求出，的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（Ⅰ）有的把握认为学生所学文理与阅读内容有关.（Ⅱ），，平均值为69分钟（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由的公式计算出结果，再与参考数据进行对比即可得解；

（Ⅱ）由茎叶图可知，，，从而得到，和这三组数据的频数，然后利用频率分布直方图中求平均值的方式求解即可；

（Ⅲ）记“这两人性别相同”为事件，日均阅读时间高于90分钟的4人中，男生2人记为，，女生2人记为，，然后分别写出基本事件总数以及事件的组合情况，再利用古典概型的概率公式求出概率即可.

【详解】

解：（Ⅰ），

所以有的把握认为学生所学文理与阅读内容有关.

（Ⅱ）由茎叶图可知，，，

各组数据的频数分别为10，16，4，

则30名同学日阅读时间的平均值为，

故这30名同学日阅读时间的平均值为69分钟.

（Ⅲ）记“这两人性别相同”为事件，日均阅读时间高于90分钟的4人中，男生2人记为，，女生2人记为，，从4人中任选2人的基本事件有：，，，，，，共6个基本事件，

事件有，，共2个基本事件，所以.

故这2人性别相同的概率为.

【点睛】

本题考查独立性检验、茎叶图及其数字特征和古典概型的概率计算，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．

20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点.

（Ⅰ）若，求以为直径的圆被轴所截得的弦长；

（Ⅱ）分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点，求面积的最小值.

【答案】（I）4；

（II）4

【解析】设，，联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，

（I）运用弦长公式可得，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；

（II）对求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E到直线AB的距离，弦长，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值．

【详解】

设，

由联立得：，

由韦达定理得：，，

（I）当时，，

∴，

，

设的中点为，则，

∴以为直径的圆被轴所截得的弦长为

；

（II）对求导，得，即，

直线的方程为，

即，

同理，直线的方程为，

设，联立与的方程，

解得即，

点到直线的距离，

，

所以的面积

，

当且仅当时取等号，

综上，面积的最小值为4.

【点睛】

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化简运算能力，属于中档题．

21．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性：

（Ⅱ）证明：.

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；

（Ⅱ）结合已知不等式进行构造，转化为求解相应函数的最值问题，结合导数可求.

【详解】

解：（Ⅰ），，

令可得，

∵在上单调递增，

则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

令，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

则，

而，

因此，即：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点.

（Ⅰ）为上的动点，求线段中点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与分别交于点，且在的左侧，的面积是面积的2倍，求的值.

【答案】（I）；

（II）

【解析】（I）直接利用中点坐标关系式，参数方程之间的转换的应用求出结果；

（II）利用面积的关系，三角函数关系式的恒等变换求出结果．

【详解】

（I）如图，设的中点，的中点，.

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

其轨迹的直角坐标方程为：.

（II）把代入，

整理得，，

设点，所对应的参数分别为，，

①，②，

因为，则，

即③，

联立①②③得，

故，所以.

【点睛】

本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23．已知函数.

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.

【答案】（I）；

（II）

【解析】（I）将代入中，然后去绝对值解出不等式即可；

（II）由，可知，然后设，，利用数形结合法求出a的取值范围．

【详解】

（Ⅰ）若，则不等式化为，

当时，，即，无解；

当时，，

即，解得，

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ），即，化为，

设，，

当时，的图象如折线①所示，

由得，

若相切，则，得，

数形结合知，当时，不等式无负数解，

则，

当时，满足至少有一个负数解，

当时，的图象如折线②所示，

此时当时恰好无负数解，

当时，不等式无负数解，则，

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．