2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（文）（三）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】化简集合，根据补集定义，即可求得答案.
【详解】
，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了补集运算，解题关键是掌握集合补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简，求得 ，根据复数的共轭复数定义，即可求得答案.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求复数的共轭复数和复数除法运算，解题关键是掌握共轭复数定义和复数除法运算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
3．已知为坐标原点，椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形，根据椭圆通径可得：，结合已知，即可求得答案.
【详解】
椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形
根据椭圆通径可得：，
，
，
，
，
解得或（舍）.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，六个小三角形的面积之和为，又长方形的宽为，长为，即可求得答案.
【详解】
设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，六个小三角形的面积之和为，
又长方形的宽为，长为，
长方形的面积为，
故此点取自阴影部分的概率是：.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．在中，，，为上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由余弦定理，，即可求得答案.
【详解】
设，
由余弦定理；
即①
；
即，②
又③
由①②③可得.，
.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．已知函数的图象经过，周期为，且对恒成立，则函数在区间上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为周期为，可得函数的周期，故；根据，结合已知，即可求得答案.
【详解】
周期为
可得函数的周期，
，
根据
，，
，
又，
，
当时，，
，可得，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了求三角函数的值域，解题关键是掌握正弦函数图象特征和正弦函数值域的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为，高为的正四棱锥，上半部分是一个直径为的半球，即可求得答案.
【详解】
结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为，高为的正四棱锥，上半部分是一个直径为的半球，
该几何体的体积为：.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求几何体体积问题，解题关键是掌握三视图的基础知识和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8．函数的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可.
【详解】
易知定义域为，
，
为偶函数，关于轴对称，
排除C，
又，排除A和D.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.
9．已知大于的实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，因为，所以，逐项判断，即可求得答案.
【详解】
，
，
，
，
，
，
对于A，
，故A错误；
对于B，
根据在定义域内是单调增函数，
可得，故B正确；
对于C，，大小不确定，故C错误；
对于D，根据，可得，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题解题关键是掌握对数函数的基础知识和不等式基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】
该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，
可得，，
，，
，，
，，，
，.
故选：C.
【点睛】
本题解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
11．已知三棱柱，四边形与均为边长为的正方形，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，可知，取中点，连接，再取的中点，连接，则，同理可证，所以为异面直线与所成的角（或其补角），即可求得答案.
【详解】
，
，
取中点，连接，再取的中点，连接，
则，同理可证，
为异面直线与所成的角（或其补角）.
又，
根据勾股定理，，，，
在中，由余弦定理得，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求异面直线夹角余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时的临界值，结合图像即可得到答案.
【详解】
作出函数的图象如图所示；
当时；令，即，
令，即，解得，
结合图象可知，；
当时，令，则此时，相切，
设切点，则解得，
观察可知，实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析.
二、填空题
13．已知向量，，则_________.
【答案】
【解析】根据向量数量积坐标公式，即可求得答案.
【详解】
，，
可得，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求向量的数量积，解题关键是掌握向量数量积坐标公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．若，则_________.
【答案】
【解析】由，展开化简可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
由，
展开化简可得
整理可得：，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_________.
【答案】
【解析】因为，可得，即，所以，是上的增函数，结合已知，即可求得答案.
【详解】
，
，
，
，是上的增函数，
又，，
，
.即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
16．某饮料厂生产，两种饮料.生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时；生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时，每天饮料的产量不超过饮料产量的倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多公斤，每天生产饮料的时间不低于生产饮料的时间，每桶饮料的利润是每桶饮料利润的倍，若该饮料厂每天生产饮料桶，饮料桶时利润最大，则_________.
【答案】
【解析】设每天，两种饮料的生产数量分别为桶，桶，则有，画出可行域，结合已知，即可求得答案.
【详解】
设每天，两种饮料的生产数量分别为桶，桶，则有
则其表示的可行域如图中阴影部分所示，
设B饮料每桶利润为1，则目标函数为，则，表示直线在轴上的截距，
，只取整数，
当直线经过点即，时，取得最大值，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．
三、解答题
17．已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，.
（1）求的通项公式与；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据等比数列通项公式和等差数列前项和公式，即可求得答案；
（2）因为，根据等比数列前项和公式和“裂项相消”求和，即可求得答案.
【详解】
（1）正项等比数列满足..，
，，
可得，
，
，
，数列为公差，首项为的等差数列，
.
（2）
【点睛】
本题主要考查了求等比数列通项公式和求数列前项和，解题关键是掌握等比数列和等差数列基础知识，及其“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18．年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了名观众（含名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图.
（1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；
（2）若把评分低于分定为“不满意”，评分不低于分定为“满意”.
（i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由；
（ii）完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.
| 女性观众 | 男性观众 | 合计 |
“满意” |
|
|
|
“不满意” |
|
|
|
合计 |
|
|
|
参考数据：
【答案】（1）女性观众评分的中位数为，男性观众评分的平均数为（2）（i）男性观众不满意的概率大，详见解析（ii）填表见解析；有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关
【解析】（1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案；
（2）记表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得和，即可比较男观众与女观众不满意的概率大小. 完成下列列联表,计算出，结合已知，即可求得答案.
【详解】
（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为，
，
.
男性观众评分的平均数为.
（2）（i）男性观众不满意的概率大，
记表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得的估计值为，
的估计值为，
所以男性观众不满意的概率大.
（ii）列联表如下图：
| 女性观众 | 男性观众 | 合计 |
“满意” | |||
“不满意” | |||
合计 |
所以
故有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.
【点睛】
本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方图基础知识和卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
19．如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形.
（1）证明：；
（2）若平面，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）要证，只需证平面，即可求得答案；
（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，且，，取的中点，连接，，同理可证平面，平面，结合已知，即可求得答案.
【详解】
（1）取的中点，连接，，
是等边三角形，
，
又，
，
，
平面，
平面，
故.
（2）平面平面，
平面平面，
平面，
且，，
取的中点，连接，，
同理可证平面，平面，
，，，共面，
平面平面，作垂直于点，
则平面，
故点到平面的距离即为，
又平面，所以，，
，，，.
由
.
【点睛】
本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．已知圆与抛物线相交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于，两点，为抛物线的焦点，若，求直线与圆相交所得的弦长.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，关于轴对称，所以，的纵坐标为，横坐标为，代入，即可求得答案；
（2）设抛物线的准线为，直线恒过定点，过，分别作于，于，由，则，结合已知，即可求得答案.
【详解】
（1），关于轴对称，
，的纵坐标为，横坐标为，
代入，可得.
（2）设抛物线的准线为，
直线恒过定点，
如图过，分别作于，于，
由，则
点为的中点，连接，
则，
，点的横坐标为.
点的坐标为，
，
，
直线的方程为，
到直线的距离为
弦长为.
【点睛】
本题主要考查了求抛物线标准方程和直线抛物关系问题，解题关键是掌握抛物线定义和直线与抛物线关系问题的解法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．已知函数的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）因为定义域为，从而，令，由于，则；故当时，，单调递增，当时，，单调递减，即可求得答案；
（2）根据题意，，因为，是函数的两个零点，所以，，即可求得答案.
【详解】
（1），
定义域为，从而，
令，由于，
则；
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，
，故，
.
（2）
，
，是函数的两个零点，
，
两式相减，可得
即，
故.
，.
令，其中，
则，
构造函数，
则.
对于，恒成立，故，
即.
可知，
.
【点睛】
本题主要考查了根据最值求函数表达式和根据导数证明不等式，解题关键是掌握导数求最值的方法和根据导数证不等式恒成立的证法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标分别为，且的顶点都在圆上，将圆向右平移3个单位长度后，得到曲线.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设，曲线与相交于两点，求的值.
【答案】（1）（2）11
【解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；
（2）由（1）联立曲线与，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．
【详解】
（1）由可得点的直角坐标系为，
点的直角坐标系为，
点的直角坐标系为.
设圆的直角坐标系方程为，
代入可得，
.
圆的直角坐标方程为.
故曲线的直角坐标方程为：.
（2）由（1）联立曲线，可得，
整理可得，，
，
.
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）或.（2）4
【解析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；
（2）由题意可得，利用基本不等式，从而求得mn的最小值．
【详解】
（1）原不等式可化为，
①当时，
原不等式可化为，
解得，
；
②当时，
原不等式可化为，
解得，
；
③当时，
原不等式可化为，
解得，
；
综上，不等式的解集为或.
（2），
.
由恒成立可知，
不等式恒成立.
，
，
，当且仅当时等号成立.
故的最小值4.
【点睛】
本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.
