2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（二）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合且，则的非空真子集的个数为( )
A．30 B．31 C．62 D．63
【答案】A
【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A的元素个数间的关系求解.
【详解】
因为集合且，
所以的非空真子集的个数为 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.
2．复数满足，则（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|．
【详解】
，故.
故选：C.
【点睛】
本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．
3．若正六边形边长为2，中心为，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】由正六边形的性质的易得，由此可化简得，运用平面向量的运算法则计算即可.
【详解】
如图所示，为正六边形，
易知
，
，
正六边形边长为2，，即，
，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积公式，属于基础题.
4．从集合中任取2个数，和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过列举法，计算出符合条件的基本事件总数，以及“和为偶数”这一事件所含基本事件个数，再由古典概型的计算公式计算即可.
【详解】
集合中任取2个数，则基本事件为：
，，，，，，，，，，10个；
“和为偶数”这一事件包含的基本事件为：，，，，共4个；
故所求概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.
5．在上，满足方程的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用诱导公式对原方程进行化简，再利用二倍角的余弦公式，结合角的范围，解出即可.
【详解】
，，，
，
，
，
解得或，
又，
，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，考查了转化能力，属于中档题.
6．双曲线：（，），左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交双曲线于，两点，，则一条渐近线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知条件求出坐标，可得，由双曲线的对称性可知，，结合可得，列方程解出，即可得双曲线的一条渐近线斜率.
【详解】
把代入，解得，
，
结合双曲线的对称性，由题可知，，
又，
为等腰直角三角形，
易得：，即，
两边平方得，
又，
整理得，
故，
解得，
又，，
，
双曲线的渐近线方程为，
双曲线一条渐近线斜率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质的应用，考查了计算能力，属于基础题.
7．递减的等差数列满足：，且，，分别是某等比数列的第1，2，4项，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列公差为，由题可知，表示出，，设题干中的等比数列公比为，表示出，，列方程组，消去得到关于的方程组，解出符合要求的，即可得到的通项公式.
【详解】
设等差数列公差为，由题可知，
则，，，
，，分别是某等比数列的第1，2，4项，设该等比数列公比为，
，，
，
，
整理得，而，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了方程思想与计算能力，属于基础题.
8．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点处，乙向东行走到处，甲向南行走到处，甲看到乙，便从走到处，甲乙二人共行走1600步，比长80步，若按如图所示的程序框图执行求，则判断框中应填入的条件为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得， 则 ，所以 ，再根据为直角三角形 求解.
【详解】
由题意得，
则 ，
所以 ，
符合程序框图所示:
又为直角三角形，且，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
9．已知，则在上的所有解的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数的解析式得到的最小正周期，结合正弦型函数的特征，从而判断解的个数及分布，根据对称性即可求出在上的所有解的和.
【详解】
函数的最小正周期为，值域为，
在，上各有两解，分别为，，，，
令，解得，，
对称轴：，，
又，
当时，与的交点关于对称，
当时，与的交点关于对称，
由的对称性可得，，，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正弦型三角函数的图象与性质，考查了转化能力，属于中档题.
10．奇函数满足：对任意，都有，在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，结合，得到的周期，从而化简所求的表达式，即可求解.
【详解】
为奇函数，定义域为，
对任意，都有，
，
又对任意，都有，
，
，
为周期是的函数，
又，在上，，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的周期性和奇偶性，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．
【详解】
根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，
画出图形如图所示：
正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，
则CD=1，BC=AD=，BD=BE=CF=，
结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，
由勾股定理得AB，AC=，
最长的棱为AB=，
故选：C.
【点睛】
本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.
12．已知，则( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据，转化变形推出，得到函数 的周期为6再求解.
【详解】
因为，
所以
所以
所以，
所以，
所以函数 的周期为6，
故故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.
二、填空题
13．已知（），曲线上存在两点，，使以，为切点的切线相互垂直，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】写出的导数，并求出范围，结合导数的几何意义列出不等式，进行求解即可.
【详解】
由题可得，，，
，
曲线上存在两点，，使以，为切点的切线相互垂直，
，，
，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义的应用，考查了转化能力，属于中档题.
14．已知，满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据，满足线性约束条件，且直线过定点 ，将目标函数化为，平移直线，根据时，最优解在直线上，而在可行域内，且满足结合图形求解.
【详解】
，满足线性约束条件，直线，过定点
目标函数化为，平移直线，在y轴上截距最大时，目标函数值最大，
当时，可知：最优解在直线上，
而在可行域内，且满足.
所以最大值点为
如图所示：
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线：的焦点重合.椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则有 ，，再由求解.
【详解】
因为椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，
所以 ，，
，
即 ，
所以，
所以，
解得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．自然奇数列排成以下数列，
若第行有个数，则前行数字的总和为_________.
【答案】
【解析】由题中数列的规律可得，第行数字的个数及其第1个数字和最后一个数字，由此结合题中数据，利用等比数列的求和公式，求出前行数的个数，再利用等差数列求和公式，求出前行数字的总和即可.
【详解】
通过观察可知，第行共有个，第1个数字为，最后一个为，
前行数的个数，
前行数字总和为：.
【点睛】
本题考查了等差（比）数列的求和公式，考查了归纳推理能力，属于中档题.
三、解答题
17．在中，，且.
（1）求；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，可得，结合的范围，可得的值；
（2）由已知利用三角形的面积公式可得，进而根据余弦定理，结合已知求出的值，即可得到的周长.
【详解】
（1）在中，
则，，，，
，，
，
由正弦定理得，
，
.
（2）由（1）得，，
，
，
，
，
，
在中，
由余弦定理得，，
又，
，
解得（负值舍去），
故.
【点睛】
本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用以及三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，考查了转化能力，属于基础题.
18．如图，在四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）作于，根据平面平面 得到平面. ，取中点为，则，且，得到，有，由线面垂直的判定定理，得到平面，再由得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，根据线面角的定义，故即为与平面所成角，所以有，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解.
【详解】
（Ⅰ）如图所示：
作于，
因为平面平面
所以平面.
所以
取中点为，
则，且
所以
所以，
又为锐角，点与点不重合.
所以平面.
又，与为平面内两条相交直线，
故平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，
故即为与平面所成角，
.
在中，，
故，，，
.
而，
所以
故所求表面积为：.
【点睛】
本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年饭店这300天里每天需要这种鸡的数量（单位：只）如下表：
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
频数 | 45 | 60 | 75 | 60 | 60 |
这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨饭店当天的需求量即可.这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理.
（Ⅰ）若，求鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）关于饭店当天需求量（单位：只，）的函数解析式；
（Ⅱ）若，求鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）的平均值；
（Ⅲ）时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在饭店得到的利润大于479元的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）465元；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将代入求解.
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，将，代入得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再用平均数公式求解.
（Ⅲ）当时，，令 得到，再从表中记录，根据频率求解概率.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
当时，，
，
，得：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，
所以鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）的平均值为（元）.
（Ⅲ）当时，，
当时，鸡厂当天在饭店得到的利润元，
所以鸡厂当天在饭店得到的利润大于479元的概率为.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知：仅有1个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）求出的导数，对进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的范围即可；
（2）将不等式的左边可变形为，构造函数，利用导数证明，由（1）可得不等式右边有，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件.
【详解】
（1），定义域为，
，
，
当时，，
为增函数，
而，
仅有1个零点，满足题意，
当时，
令，解得；令，解得，
在上，单调递减，在上，单调递增，
，
①当，即时，，
，当时，，
此时仅有1个零点，符合条件；
②当，即时，，
在上，单调递增，，有一个零点，
，
在上，单调递减，
，
由零点存在性定理可得在也有一零点，
不符合条件；
③当，即时，
在上，单调递减，，有一个零点，
，
在上，单调递增，
由①知，，，即，，
，
由零点存在性定理可得在也有一零点，
不符合条件；
综上所述，实数的取值范围是.
（2）.
令，
则.
令
则，即在单调递增，
又，，
在有且仅有1个零点，设为，，
则，即，，
最小值为，
即，当且仅当时取等号，
又由（1）知，，当且仅当时取等号，
可得：，
而以上两式不同时取等，
故.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题.
21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）当时，把直线的参数方程化为普通方程，把椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，且，中点为，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据直线的参数方程为，且，消去t即可直线的的普通方程.根据椭圆的极坐标方程，变形为，再利用 求解.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得，利用，中点为，且直线过，利用参数的几何意义求解.
【详解】
（Ⅰ）因为直线的参数方程为，且，
所以，
消去t得，
所以直线的普通方程为：；
因为椭圆的极坐标方程为.
所以，
，
椭圆的直角坐标方程为：.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得：，
因为，中点为
所以，
故，
所以直线的斜率为.
【点睛】
本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．已知函数.
（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）的解集为，求和.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ），，.
【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解.
（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得：或4.，再分类求解.
【详解】
（Ⅰ）因为，
当且仅当时取等，
故最小值为，
或.
（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：时，
，即，解得：或4.
时，如图所示：
不合题意舍去.
时，如图所示：
由与解得：，
即，
综上，，.
【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
