2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题（解析版）

2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题

一、单选题

1．复数的模为（     ）

A．1 B． C． D．5

【答案】C

【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.

【详解】

根据题意，

，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.

2．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对集合进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.

【详解】

因为

，

因为集合

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.

3．已知向量，则实数是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】先求出，然后分别判断由能否得到，和由能否得到，从而得到答案.

【详解】

因为向量，所以

因为，所以可得，

所以是的充分条件.

因为，所以

即.

所以是的不必要条件.

综上所述，实数是的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.

4．已知函数，则不等式的解集为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】按和，分别解不等式，从而得到答案.

【详解】

根据题意，，

由不等式

得或

所以或.

即

所以不等式的解集为.

故选：C.

【点睛】

本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

正视图                      侧视图   

      俯视图

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥和三棱锥两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.

【详解】

该几何体的直观图如下图，

平面平面，平面，

与均是边长为的等边三角形，，

点在平面上的射影落在的平分线上，

所以平面，

所以，

，

所以几何体的体积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.

6．函数的图象在点处的切线与函数的图象围成的封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.

【详解】

由题意，，

，

所以切线方程为，

与的交点横坐标为，.

故封闭图形的面积

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.

7．已知数列满足，，设数列的前n项和为，若，则与最接近的整数是（    ）

A．5 B．4 C．2 D．1

【答案】C

【解析】根据递推关系式，得到，得到的通项，从而得到的通项和前项和，从而求出，再得到，从而得到答案.

【详解】

由题意，，

所以，

所以为以为首项，为公比的等比数列，

所以，

因此，

数列的前n项和为，

，

所以.

所以与最接近的整数是.

故选：C.

【点睛】

本题考查构造法求数列的通项，等差数列前项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.

8．已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】画出的图像，然后得到的图像和的图像有两个交点，从而得到的取值范围.

【详解】

根据函数，

画出的图象如图所示，

函数有两个零点

则函数的图象与的图象有2个交点，

所以，

所以实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】

本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.

9．如果函数的单调递增区间为，则的最小值为（   ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【解析】由单调递增区间为，得到对称轴方程，即，再根据基本不等式求出的最小值，得到答案.

【详解】

因为函数的单调递增区间为

所以对称轴为：，即，

所以

，

当且仅当时，等号成立.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.

10．已知 则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.

【详解】

,

,故选C.

【点睛】

本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.

11．如图，在三角形中，上有一点满足，将沿折起使得，若平面分别交边，，，于点，，，，且平面，平面则当四边形对角线的平方和取最小值时，（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易得，，设，易得，，得，从而得到，，平行四边形中，，从而得到最小时的值，得到答案.

【详解】

平面，平面，

平面平面，

所以，同理

设，

平面，平面，

平面平面，

所以，同理

所以，

因为，

所以，，

在平行四边形中，

，

又，

当时，取得最小值.

故选：B.

【点睛】

本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.

12．定义在上的函数满足，，任意的，函数在区间上存在极值点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据得到周期为，再求得，得到，求导得到，判断出的两根一正一负，则在区间上存在极值点，且，得到在上有且只有一个根，从而得到关于的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于不等式组，解得的范围.

【详解】

由题意知，，

，

所以是以4为周期的函数，

，

所以，

求导得，

令，，

，

由，

知有一正一负的两个实根.

又，

根据在上存在极值点，

得到在上有且只有一个正实根.

从而有，即恒成立，

又对任意，上述不等式组恒成立，

进一步得到

所以

故满足要求的的取值范围为：.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，，则________.

【答案】

【解析】将转化为，从而得到的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.

14．已知x，y满足不等式组，则的最小值为________.

【答案】

【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点与点两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案.

【详解】

因为已知x，y满足不等式组，

画出可行域，如图所示，

表示点与点两点连线的斜率，

所以可得当直线过点时，最小，

由得

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.

15．如图，底面为正方形，四边形为直角梯形，，平面，，，则异面直线与所成的角为________.

【答案】

【解析】设正方形的中心为，可得，得到直线与所成角为（或其补角），根据余弦定理，可得的值，从而得到答案.

【详解】

如图，

设正方形的中心为，连接，，

则

因为，

所以，

所以为平行四边形，

所以，

所以直线与所成角等于与所成的角，即（或其补角），

因为，

在三角形中，根据余弦定理，可知，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.

16．已知函数在区间上有最小值，无最大值，则________.

【答案】

【解析】先对进行整理，得到，根据最小值，得到，然后根据在区间无最大值，得到周期的范围，从而得到的范围，确定出的值.

【详解】

，

依题意，则，

所以.

因为在区间上有最小值，无最大值，

所以，即，

令，得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.

三、解答题

17．已知递增的等比数列的前n项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据等比数列，解出和的值，从而得到公比，得到的通项公式；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法和分组求和的方法求出的前n项和.

【详解】

（1）由题意，

解得或；

而等比数列递增，所以，

故公比，所以.

（2）由（1）得到…，

所以，

……，

设…，

…，

两式相减可得，…

故，

所以.

【点睛】

本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前项的和，属于简单题.

18．已知函数在区间上为单调递减函数.

（1）求的最大值；

（2）当时，方程有三个实根，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）先求得，根据在区间上为减函数，得到在区间上恒成立，从而得到关于，的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到的最大值；（2）根据，得到的范围，设，求导得到，令得到或，从而得到的极值点，根据有个零点，得到的不等式组，解得的范围.

【详解】

（1），

因为在区间上为减函数，

所以在区间上恒成立

即，

画出可行域如图所示：

设，所以，

表示直线，在纵轴上的截距.

当直线经过点时，最大，

由

所以，

故的最大值为.

（2）由得

代入

可得，

令

，

故由，

得或，

所以得到和随x的变化情况如下表：

要使有三个零点，

故需

即

解得，

而

所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.

19．已知的内角，，所对的边分别为， ，满足，且边上一点使得.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.

【详解】

（1）因为

在，由正弦定理

所以得.

所以.

即

所以，

因为，所以

（2）由（1）知，而

为等边三角形.

由于是的外角，

所以.

在中，由正弦定理得，

即，所以.

所以由余弦定理得，，

即，

所以，

故，，

所以.

【点睛】

本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，且为的中点，延长交于点，且在底内的射影恰为的中点，为的中点，为上任意一点.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）根据平面ABCD，得到，由平面几何知识得到，从而得到平面，所以所以平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.

【详解】

（1）由题意，E为CD的中点，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，又因为，

，，

所以垂直平分，

所以

又因，

所以为正方形，

所以

因为为的中点，

所以

而，所以，

又，所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H，

所以.

因为，所以过点O分别作AD，AB的平行线（如图），

并以它们分别为x，y轴，

以过O点且垂直于平面的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，所以

令，则，

由（1）知，平面，所以平面，

所以为平面的一个法向量，

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.

21．已知函数与满足的函数具有相同的对称中心.

（1）求的解析式；

（2）当，期中，是常数时，函数是否存在最小值若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求的最小值.

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】（1）根据关于对称，从而得到，整理化简，得到的值；（2）判断出的单调性，得到当时，单调递减，从而得到最小值；（3）由得到，关系，然后将代入到，利用基本不等式，得到其最小值.

【详解】

（1）因为，所以，

所以图象关于对称，

所以

所以

解得，

所以.

（2）的定义域为，

，

当且时，为减函数，

所以当时，单调递减，

所以当时，.

（3）由，

得

解得，

所以

令，则，

当且仅当时，等号成立，

即当，时，的最小值为.

【点睛】

本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.

22．已知函数，函数的图象经过，其导函数的图象是斜率为，过定点的一条直线.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）当时，在上为减函数；

当时，在上为减函数，在上为增函数.

（2）2

【解析】对求导，得到，按和进行分类讨论，利用导函数的正负，得到的单调性；（2）根据题意先得到，然后得到的解析式，设，按和分别讨论，利用得到的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于时，整数的最小值.

【详解】

（1）函数的定义域是，，

当时，，所以在上为减函数，

当时，令，则，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

综上，当时，在上为减函数；

当时，在上为减函数，在上为增函数.

（2）根据题意，，

设，代入，可得，

令，

所以.

当时，因为，所以.

所以在上是单调递增函数，

又因为，

所以关于x的不等式不能恒成立.

当时，，

令，得.

所以当时，；

当时，，

因此函数在上是增函数，在上是减函数.

故函数的最大值为.

令，因为，

又因为在上是减函数.

所以当时，.

所以整数的最小值为.

【点睛】

本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.