2020届百校联盟高三top20三月联考（全国Ⅱ卷）数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题求出A，B两个集合，再进行交集的运算即可.
【详解】
，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，属于简单题.
2．设复数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据复数的基本运算法则进行化简得到z，再求出其共轭复数，利用求复数的模的公式计算即可．
【详解】
因为，
所以，
则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数模长的计算，比较基础．
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可．
【详解】
A选项：在上单调递减；
B选项：为奇函数；
C选项： 在上单调递减；
D选项满足题意.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
4．已知双曲线：，为双曲线的右焦点，过点作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点.则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出过点作与渐近线垂直的直线，联立求出交点，然后求解距离即可．
【详解】
解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：，
则过点作与渐近线垂直的直线为：，
所以与另一条渐近线方程：的交点，，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
5．如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中侧棱PA⊥底面ABC，进一步得到该几何体的各面中，直角三角形的个数．
【详解】
由三视图还原该几何体的直观图如图所示，
其中底面，，
则该几何体的各面中，直角三角形的个数为4个.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原几何体，是中档题．
6．如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为1.是上一点，其横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意求得点P坐标，根据三角函数的定义写出、，再计算的值．
【详解】
由题意可知，
根据三角函数的定义，
则
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了任意角的三角函数值计算问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．
7．正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶.如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出总体积以及符合要求的体积，代入几何概型的计算公式即可．
【详解】
设正方体的棱长为2，则正方体的体积，
正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为，
则正四棱锥的底面积为2，高为1，体积为，
则正八面体的体积，
则此点取自正八面体内的概率：
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用体积之比求解几何概型问题，属于中档题.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值可能为（ ）
A．4 B．10 C．79 D．93
【答案】D
【解析】由题中的程序框图知，该算法是一个以4为周期的函数，若输出S的值为，则得出相应的k值，再由输出，即可得出a值，再判断选项得出
【详解】
程序运行如下：；；；
；；…，此程序的值4个一循环.
若输出的值为，则相应的值为，
因为时，输出，则输入的值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定S值的周期规律及跳出循环的k值是解答本题的关键，属于中档题．
9．设满足不等式组，且的最大值为，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，将目标函数看成可行域内的点与点连线的斜率，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
结合可行域可知，
表示可行域内的点与点连线的斜率，
直线与直线的交点为点，
当时，取到最大值，
即，解得，
所以实数的值为2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，根据的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
10．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，利用三角恒等变换化简，得出，再根据角的取值范围，即可得出正确的结论.
【详解】
由题意可知，
等式两边同时乘以得，
，
则，即，
因为，，，
则，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换，以及运算求解能力与转化思想，是中档题．
11．已知椭圆的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，将左焦点与A、B连接起来，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，，可得，的关系，进而求出离心率.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，故，
设椭圆的左焦点为，根据椭圆的性质，四边形为平行四边形，
且，所以四边形为矩形，
在直角三角形中，，，，
根据椭圆的定义，，即，
则椭圆的离心率.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题.
12．若函数有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出导函数，再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围.
【详解】
由题意知，，
当时，函数在区间上单调递减，无极值点；
当时，根据与的图象，
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为，
当时，，，
函数在区间上单调递增，
当时，，，
函数在区间上单调递减，
故当时，函数有一个极大值点.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题.
二、填空题
13．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）
【答案】
【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.
【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.
14．甲、乙、丙、丁4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是_______.
【答案】甲
【解析】本题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论.
【详解】
由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，
若丙说了真话，则甲必是真话，矛盾；
若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是进过房子的那个人.
故答案为：甲.
【点睛】
本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，分析判断能力，是基础题.
15．在中，，，，，则_______.
【答案】2
【解析】根据向量加法的三角形法则表示出，，再代入数量积即可求解.
【详解】
，
，
，
设，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量加法的三角形法则，以及数量积的运算问题，是基础题.
16．的内角的对边分别为，且，若的周长的最大值为，则_______.
【答案】4
【解析】由已知结合正弦定理，余弦定理化简可求得，然后结合锐角三角函数的定义将周长的最小值表示出来，结合已知即可求解a的值.
【详解】
因为，
根据余弦定理可得，
整理得，
即，
因式分解得，
所以，即，
的周长
，
当时，取等号，则.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，，，（且）.
（Ⅰ）证明：为等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；
（II）
【解析】（I）对题干中的递推公式进行变形转化，可得，进一步计算可证得为等差数列；
（II）根据（I）的结论计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项的和.
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，
即，等式两边同时除以，
得，且，
所以数列为首项为1，公差为2的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
则①，
②，
①-②得：
，
故.
【点睛】
本题主要考查由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法求数列前n项和，考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，，为的中点.
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）见解析；
（II）
【解析】（Ⅰ）取BC的中点G，连接FG，EG，证明四边形EGCD为平行四边形，得EG∥平面ACD，再证明FG∥平面ACD，可得平面EFG∥平面ACD，从而得到EF∥平面ACD；
（Ⅱ）求解三角形证明BA⊥AE，取BE的中点H，连接AH，HC，证明AH⊥平面BCDE．以H为坐标原点，以过点H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，再求出直线BC的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
【详解】
解：证明：（I）作中点，连接，则，
又，四边形为平行四边形，
故，则平面，
又为的中点，，则平面，
又，平面平面，
平面，
平面
（II），，，，
，则，
又，，则，
作中点，连接，，
，，
又，，即，
又，平面.
以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，以过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，
设为平面的一个法向量，
则即
可得，
直线的方向向量，
设与平面所成角为，
则，
综上，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
19．近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值进行衡量，如下表所示.某花卉生产基地准备购进一套新型的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图.
综合指标 | |||
质量等级 | 三级 | 二级 | 一级 |
（Ⅰ）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）；
（Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查，其中来自新型生产线的样品个数为，求的分布列；
（Ⅲ）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元，产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：
| 三级花 | 二级花 | 一级花 |
销售率 | |||
单件售价 | 12元 | 16元 | 20元 |
预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产量3000件.因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？
【答案】（I）新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；
（II）
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
（III）该生产基地需要引进该新型生产线.
【解析】（I）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；
（II）由题意得等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；
（Ⅲ）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为，二等品的概率为，一等品的概率，30000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为300件，1600件，1100件，求出单件产品利润，得到该生产基地需要引进新型生产线．
【详解】
（Ⅰ）由茎叶图可以看出，新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值；生产线的综合指标值相对于新型生产线来说更为集中.
（II）由題意可知，等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量的取值为0，1，2，3，
，
，
则的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
（Ⅲ）由茎叶图可知，该新型生产线加工的产品为三等品的概率，
二等品的概率，一等品的概率，
故3000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为300件，1600件，1100件，
三等品日销售总利润为（元），
二等品日销售总利润为（元），
一等品日销售总利润为（元），
∴（元）.
故产品的单件平均利润的估计值为4.88元，高于4元，
综上，该生产基地需要引进该新型生产线.
【点睛】
本题考查平均值、离散程度的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、古典概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）若，求以为直径的圆被轴所截得的弦长；
（Ⅱ）分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点，求面积的最小值.
【答案】（I）4；
（II）4
【解析】设，，联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，
（I）运用弦长公式可得，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；
（II）对求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E到直线AB的距离，弦长，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值．
【详解】
设，
由联立得：，
由韦达定理得：，，
（I）当时，，
∴，
，
设的中点为，则，
∴以为直径的圆被轴所截得的弦长为
；
（II）对求导，得，即，
直线的方程为，
即，
同理，直线的方程为，
设，联立与的方程，
解得即，
点到直线的距离，
，
所以的面积
，
当且仅当时取等号，
综上，面积的最小值为4.
【点睛】
本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化简运算能力，属于中档题．
21．已知函数.
（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（I）在单调递减，在上单调递增；
（II）
【解析】（I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；
（II）由没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，
所以，
令，得，
又因为函数单调递增，
所以在上，，单调递减；
在上，，单调递增.
（II）方程没有实数解，
即方程没有实数解，
设函数，
，
（i）当时，，函数没有零点；
（ii）当时，函数单调递减，，且，函数有零点；
（iii）当时，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，
令，得，
即函数没有零点，
综上所述，若函数没有零点，
即方程没有实数解，
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点.
（Ⅰ）为上的动点，求线段中点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与分别交于点，且在的左侧，的面积是面积的2倍，求的值.
【答案】（I）；
（II）
【解析】（I）直接利用中点坐标关系式，参数方程之间的转换的应用求出结果；
（II）利用面积的关系，三角函数关系式的恒等变换求出结果．
【详解】
（I）如图，设的中点，的中点，.
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
其轨迹的直角坐标方程为：.
（II）把代入，
整理得，，
设点，所对应的参数分别为，，
①，②，
因为，则，
即③，
联立①②③得，
故，所以.
【点睛】
本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23．已知函数.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.
【答案】（I）；
（II）
【解析】（I）将代入中，然后去绝对值解出不等式即可；
（II）由，可知，然后设，，利用数形结合法求出a的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）若，则不等式化为，
当时，，即，无解；
当时，，
即，解得，
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ），即，化为，
设，，
当时，的图象如折线①所示，
由得，
若相切，则，得，
数形结合知，当时，不等式无负数解，
则，
当时，满足至少有一个负数解，
当时，的图象如折线②所示，
此时当时恰好无负数解，
当时，不等式无负数解，则，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．
