2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（一）数学（文）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（一）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解不等式化简集合，再取交集，即可得到答案.

【详解】

依题意，，，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交运算、不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

2．设复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据复数运算法则求解，即可得到其虚部.

【详解】

依题意，

故复数的虚部为

故选：C

【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.

3．为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(    )

A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．不能确定

【答案】C

【解析】根据样本的特点可选择分层抽样.

【详解】

因为调查教师的工资情况需要分年龄和分级别，

所以使用分层抽样的方法能够正确反映不同年龄、不同等级的教师的工资情况，

按照年龄分层抽样或按等级分层抽样均可，

故选：C.

【点睛】

本题考查抽样方法，注意抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，它们的特点是：

（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；

（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；

（3）分层抽样就是按比例抽取.

4．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率，解方程得，即可得到渐近线方程.

【详解】

依题意，即，故，则双曲线的渐近线方程为.

故选：C

【点睛】

此题考查求渐近线方程，关键在于熟练掌握双曲线基本量之间的关系，利用离心率与渐近线斜率之间的等量关系求解.

5．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出的值为(    )

A． B．2 C．－1 D．－2

【答案】B

【解析】按流程图模拟计算，可得呈周期性变化，结合可得输出结果.

【详解】

执行如图所示的程序框图，

第一次循环后，，；第二次循环后，，；

第三次循环后，，；第四次循环后，，；

第五次，，， 因此的值周期性变化，且周期为3，

因为， 故第二零一八次后，，，此时输出的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查流程图的理解以及输出值的计算，此类问题一般是模拟计算，找出数据变化的规律，本题属于基础题.

6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（    ）（注：1丈尺.）

A．45000立方尺 B．52000立方尺 C．63000立方尺 D．72000立方尺

【答案】B

【解析】对几何体进行分割得到，再利用体积公式计算，即可得到答案.

【详解】

进行分割如图所示，面面，，，，

，连结，面面，

故

立方尺.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.

7．记单调递减的等比数列的前项和为，且，若，则数列的公比为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得关于的方程，解该方程后可得满足条件的公比.

【详解】

依题意，，即，解得或.

因为数列单调递减，且，故，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列基本量的计算以及等比数列的单调性，一般地，等比数列为单调递减数列的充要条件是或．等差数列为单调递减数列的充要条件是公差，本题属于基础题.

8．图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据三视图可知，该几何体由一个四棱柱和两个四分之一圆锥拼接而成，利用相关公式求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体由一个四棱柱和两个四分之一圆锥拼接而成，故表面积

故选：D

【点睛】

此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，熟练掌握常见几何体的表面积求解方法.

9．设函数，则函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解.

【详解】

依题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且，

故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；

当时，排除D；

，排除A.

故选：B

【点睛】

此题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决.

10．设抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2，点，在抛物线上，且，，三点共线，作，垂足为，若直线的斜率为4，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据直线的斜率为4可得的坐标，再利用可得的坐标，最后利用焦半径公式，即可得答案；

【详解】

依题意，抛物线：，则；

设，，则；

因为，解得，故，，

即，故①，

而②，联立①②，解得，

则，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11．记等差数列的前项和为，且，.若成等比数列，则(    )

A．13 B．15 C．17 D．19

【答案】C

【解析】利用等差数列前项和的性质可得，再结合题设条件可得通项，最后根据得到关于的方程，解方程后可得的值，从而得到的大小.

【详解】

因为，所以，故，，

则，因此，

故，，

∵成等比数列，

∴，即，解得，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：

（1）若，则；

（2） 且 ；

（3）且为等差数列；

12．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b，的大小关系，即可得解.

【详解】

，所以，

构造函数，

，

，所以，

，必有，，所以

所以，

即

所以单调递减，

所以

即，

所以

故选：A

【点睛】

此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.

二、填空题

13．已知向量，若，则实数的值为_________.

【答案】

【解析】根据向量垂直，数量积为0，建立等式即可求解.

【详解】

依题意，

因为，所以，故，即

故答案为：-12

【点睛】

此题考查根据向量垂直求解参数，关键在于对垂直关系的等价转化，利用坐标求解.

14．已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为________.

【答案】

【解析】根据题设中的递推关系可得新数列，该数列为等比数列，求出新数列的通项后可得的通项公式.

【详解】

令，故，

则，故，故，

又，所以，

即，即数列是以为首项，5为公比的等比数列，

故即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查递推数列的通项的求法，一般地，给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下：

（1），用累加法；

（2），取倒数变形为，则为等差数列，利用公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.

（3），变形为，利用累加法可求的通项公式，也可以变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.

15．已知函数，则函数在上的取值范围为__________.

【答案】

【解析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，根据定义域整体代入即可求得值域.

【详解】

依题意，，

故当时，，，此时

则

故函数在上的取值范围为

故答案为：

【点睛】

此题考查求函数值域，关键在于熟练掌握二倍角公式的变形应用和辅助角公式的应用，利用整体代入的方法求解值域.

16．已知函数，若直线与曲线交于，，三点，且，则点的坐标为________.

【答案】

【解析】设，，则，利用三点均值函数图象上可得满足的方程组，整理后可得的值，从而得到的坐标.

【详解】

因为，所以是的中点.

设，，则，

故有，

由 可得，

所以，

整理得到：，

因为，故，所以即，

故，即点的坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三次函数图象的对称性，一般地，三次函数的图象有对称中心且对称中心为， 注意使用该结论时要给予证明，本题属于基础题.

三、解答题

17．在中，，，，是线段上的一点，且.

（1）求的长度；

（2）求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得，的值，再利用正弦定理求得的长度；

（2）根据可得，再利用正弦定理求得，进一步利用余弦定理求得，最后代入三角形的面积公式，即可得答案；

【详解】

（1）因为，

且，

联立两式，解得，，

故，

由正弦定理，

所以.

（2）因为，

故，

所以，

在中，由正弦定理，

故，

在中，由余弦定理，

得，

解得或（舍去）.

所以的面积.

【点睛】

本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

18．如图，在四棱锥中，.

（1）在线段上作出一点，使得平面，并说明理由；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】（1）线段的中点为，理由详见解析；（2）.

【解析】（1）取线段的中点，连接，通过证明即可得证；

（2）利用等体积法，通过求得点到平面距离.

【详解】

（1）取线段的中点，连接

下面证明平面：

因为，故，

又

故四边形为正方形，故

又平面，平面

故平面

（2）因为

所以平面，

又因为平面

所以平面平面

平面平面

在平面内过点作直线于点，

则平面

在和中，

因为

所以

又由题知，所以

由已知求得，所以

连接，则

又求得的面积为，

所以由，得点到平面的距离为.

【点睛】

此题考查线面平行的证明和计算点到平面的距离，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，根据定理进行推理证明，常用转换三棱锥顶点利用等体积法求点到平面距离.

19．为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表所示：

相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表所示：

根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：

①根据行驶里程数按1元/公里计费;

②行驶时间不超过45分钟，按元/分计费；超过45分钟，超出部分按元/分计费.

（1）是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；

（2）根据表（2）中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；

（3）若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30~60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算.

附：

【答案】（1）有的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）36分钟；（3）分类讨论，详见解析.

【解析】（1）完成表格数据，根据公式计算的值，即可判定；

（2）计算出表格中每组频率根据，即可得解；

（3）写出打车上班花费的函数关系，分类讨论得解.

【详解】

（1）依题意，完善表（1）如下所示：

故有的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.

（2）依题意，表（2）中的数据整理如下：

故所求平均使用时间为（分钟）

（3）当时，，

当时，

得

当时，

当时，

令，解得

故当时，使用新能源租赁汽车上班更加合算，当时，使用滴滴打车上班更加合算；

当时，使用滴滴打车上班更加合算，

当时，两种方案情况相同.

【点睛】

此题考查独立性检验，根据频率分布表计算平均数，根据函数模型解决优化问题，关键在于熟练掌握相关计算公式求解.

20．已知中，，，，点在线段上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若点，在曲线上，且，，三点共线，求面积的最大值.

【答案】（1）（）.（2）3

【解析】（1）根据椭圆的定义求点的轨迹的方程；

（2）由（1）知，，设直线的方程为：，，利用三角形的面积公式和弦长公式，可得，利用换元法令，则，利用导数可求得面积的最值.

【详解】

（1）因为，

故，

故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（不包含长轴的端点），

故点的轨迹的方程为（）.

（2）由（1）知，，设直线的方程为：

，，，

联立消去得，

∴

∴，

令，则，∴，

令，则，

当时，，

在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，面积的最大值为3.

【点睛】

本题考查轨迹方程的求解、三角形的面积、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

21．已知函数

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为，若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；

（2）根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值.

【详解】

（1）依题意，，

故而.

故所求切线方程为

即

（2）依题意，

故

显然，令，解得或

因为极大值，故

此时，函数

所以

令，得

当变化时，，变化情况如下表：

所以函数的最大值为

【点睛】

此题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转得到点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）若曲线（）与曲线，分别交于点，，点，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）求出曲线的极坐标方程为，设，则，利用相关点代入法可得点的轨迹的极坐标方程；

（2）将问题转化为极坐标方程进行求解，即到曲线的距离为，

为极径之差的绝对值，代入面积公式，即可得答案；

【详解】

（1）依题意，曲线的普通方程为，即，

把公式代入可得：，

故曲线的极坐标方程为，

设，则，

则有，

故点的轨迹的极坐标方程为.

（2）曲线（）的极坐标方程为（），

到曲线的距离为，

曲线与曲线交点，

曲线与曲线交点，

∴，

故的面积.

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程的互化、点的轨迹方程、三角形的面积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）对进行分类讨论，去绝对值解不等式，即可得答案；

（2）依题意，，则，再转化成一元二次不等式的恒成立问题.

【详解】

（1）依题意，，

当时，原不等式化为，

解得，故，

当时，原不等式化为，

解得，故无解，

当时，原不等式化为，

解得，故，

综上所述，不等式的解集为.

（2）依题意，，

则，即，

即

则只需解得，

∴实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.