2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（二）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（二）试题

一、单选题

1．已知集合且，则的非空真子集的个数为(    )

A．30 B．31 C．62 D．63

【答案】A

【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A的元素个数间的关系求解.

【详解】

因为集合且，

所以的非空真子集的个数为 .

故选：A

【点睛】

本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.

2．复数满足，则（    ）

A．2 B．4 C． D．5

【答案】C

【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|．

【详解】

，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．

3．在中， 为原点，，，则点坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设 ，根据四边形为平行四边形，则有求解。

【详解】

设 ，因为，，

所以 ，

又因为四边形为平行四边形，

所以，

所以 ，

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量的加法运算，属于基础题.

4．袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设3个红球分别为，，，黑球为.列举出所有不同的取法，再找出所有2个红球的取法，代入古典概型的概率公式求解.

【详解】

设3个红球分别为，，，黑球为.

所有不同的取法有6种：，，，，，，

所有2个红球的取法有3种：，，.

故所求概率为.

故选：D

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接由诱导公式计算即可.

【详解】

由诱导公式可得：

，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.

6．双曲线：的渐近线与圆：相切，则双曲线的渐近线方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】双曲线的一条渐近线方程为，根据渐近线与圆：相切，则有求解.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为，

圆心到渐近线的距离为1，

即，得

即.

所以双曲线的渐近线方程为：

故选;D

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

7．已知等差数列的前项和满足：，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据，利用性质可得，然后由求解.

【详解】

因为，

，

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列前n项和公式及性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点处，乙向东行走到处，甲向南行走到处，甲看到乙，便从走到处，甲乙二人共行走1600步，比长80步，若按如图所示的程序框图执行求，则判断框中应填入的条件为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得， 则 ，所以 ，再根据为直角三角形 求解.

【详解】

由题意得，

则 ，

所以 ，

符合程序框图所示:

又为直角三角形，且，

所以 .

故选：A

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

9．已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦函数的对称轴，令，，则，.

再根据的图象在上有且仅有两条对称轴，令求解.

【详解】

令，，

则，.

因为的图象在上有且仅有两条对称轴，

所以则

解得.

故选：C

【点睛】

本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．已知在上为增函数.，，则，的大小关系是(    )

A． B． C． D．，大小不能确定

【答案】B

【解析】根据在上为增函数，则有，解得，所以，而，再根据单调性求解.

【详解】

因为在上为增函数

所以，

而，

故.

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查实数比较大小，还考查了函数的单调性和基本不等式的应用，属于中档题.

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．

【详解】

根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，

画出图形如图所示：

正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，

则CD=1，BC=AD=，BD=BE=CF=，

结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，

由勾股定理得AB，AC=，

最长的棱为AB=，

故选：C.

【点睛】

本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.

12．已知，则(    )

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据，转化变形推出，得到函数 的周期为6再求解.

【详解】

因为，

所以

所以

所以，

所以，

所以函数 的周期为6，

故故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.

二、填空题

13．过上一点作曲线的切线，则切线方程为_____________.

【答案】或

【解析】设切点为，表示出切线方程，再将点代入方程，解出或，即可求出切线方程.

【详解】

由题可得，

设该切线切点为，则切线斜率为，

因此切线方程为 ，

又点在切线上，

，

整理得，，

解得或，

代入切线方程，化简得或，

整理得，或，

故答案为：或.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键在于分清所给点是否为切点，注意区分在某点处和过某点的切线，考查了运算能力，属于基础题.

14．已知，满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据，满足线性约束条件，且直线过定点 ，将目标函数化为，平移直线，根据时，最优解在直线上，而在可行域内，且满足结合图形求解.

【详解】

，满足线性约束条件，直线，过定点

目标函数化为，平移直线，在y轴上截距最大时，目标函数值最大，

当时，可知：最优解在直线上，

而在可行域内，且满足.

所以最大值点为

如图所示：

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.

15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线：的焦点重合.椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则有 ，，再由求解.

【详解】

因为椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，

所以 ，，

，

即 ，

所以，

所以，

解得 .

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16．数列满足：，且恒成立，则的最小值为______.

【答案】9

【解析】先利用数列的通项公式与前n项和的关系，由，求得，再根据恒成立，利用错位相减法求 ，再求其最大值即可。

【详解】

当 时，由，

得：.

两式相减得：，

当时，.

故.

令，

则.

两式相减得：

，

故.

而当时，，

故的最小值为9.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式与前n项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．在中，.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求周长的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由，得，再切化弦利用两角和的正弦得到求解.

（Ⅱ）根据（1）利用正弦定理得，再角化为边，得到，再利用两角和的正弦得到求解.

【详解】

（Ⅰ）由，

得，

所以，

所以.

因为，

所以.

（Ⅱ）由正弦定理得，

，

，.

当时，周长取最大值为.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．如图，在四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）作于，根据平面平面 得到平面. ，取中点为，则，且，得到，有，由线面垂直的判定定理，得到平面，再由得证.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，根据线面角的定义，故即为与平面所成角，所以有，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解.

【详解】

（Ⅰ）如图所示：

作于，

因为平面平面

所以平面.

所以

取中点为，

则，且

所以

所以，

又为锐角，点与点不重合.

所以平面.

又，与为平面内两条相交直线，

故平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，

故即为与平面所成角，

.

在中，，

故，，，

.

而，

所以

故所求表面积为：.

【点睛】

本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年饭店这300天里每天需要这种鸡的数量（单位：只）如下表：

这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨饭店当天的需求量即可.这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理.

（Ⅰ）若，求鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）关于饭店当天需求量（单位：只，）的函数解析式；

（Ⅱ）若，求鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）的平均值；

（Ⅲ）时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在饭店得到的利润大于479元的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）465元；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将代入求解.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，将，代入得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再用平均数公式求解.

（Ⅲ）当时，，令 得到，再从表中记录，根据频率求解概率.

【详解】

（Ⅰ）当时，，

当时，，

，

，得：.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，

所以鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）的平均值为（元）.

（Ⅲ）当时，，

当时，鸡厂当天在饭店得到的利润元，

所以鸡厂当天在饭店得到的利润大于479元的概率为.

【点睛】

本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题.

20．已知抛物线上有两点，，过，作抛物线的切线交于点，且.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）斜率为1且过焦点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据过，作抛物线的切线交于点，且，设过点的直线方程为，即，代入，得到，根据相切，则由，得，再根据两切线垂直求解.

（Ⅱ）：与联立，利用弦长公式得到.：与，利用弦长公式得到，由平行线之间的距离公式可得：

梯形的高为，然后由梯形的面积公式求解.

【详解】

（Ⅰ）过点作的切线，方程为，即，

代入，

，化为，

.

（Ⅱ）：与联立，得 ，

故.

：与，得：，

且由，

由平行线之间的距离公式可得：

梯形的高为，

故，

令，则.

.

在上，，在上，.

故当时，取最大值为.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.

21．已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线（为自然对数的底数）.

（1）求；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由与的图象有一个斜率为1的公切线，分别对与求导并求出切线方程，列出等量关系可得；

（2）利用换元将转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数的零点个数.

【详解】

（1）可得.

在处的切线方程为，

即.

.

在处的切线方程为，

故

可得.

（2）由（1）可得，

，

令，则，

，

时，有两根，

且，

，

得：，

在上，，

在上，，

此时，.

又时，时，.

故在和上，

各有1个零点.

时，

最小值为，故仅有1个零点.

时，.

其中，同，

在与上，

各有1个零点，

时，，仅在有1个零点，

时，对方程.

方程有两个正根，.

在上，，在上，，在，.

由，可得，

故.

，

故.

故在上，，

在上，，

在上，有1个零点：.

时，恒成立，

为增函数，仅有1个零点：.

综上，或时，有1个零点，

或时，有2个零点.

【点睛】

本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，把直线的参数方程化为普通方程，把椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，且，中点为，求直线的斜率.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据直线的参数方程为，且，消去t即可直线的的普通方程.根据椭圆的极坐标方程，变形为，再利用 求解.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得，利用，中点为，且直线过，利用参数的几何意义求解.

【详解】

（Ⅰ）因为直线的参数方程为，且，

所以，

消去t得，

所以直线的普通方程为：；

因为椭圆的极坐标方程为.

所以，

，

椭圆的直角坐标方程为：.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得：，

因为，中点为

所以，

故，

所以直线的斜率为.

【点睛】

本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．已知函数.

（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）的解集为，求和.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ），，.

【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解.

（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得：或4.，再分类求解.

【详解】

（Ⅰ）因为，

当且仅当时取等，

故最小值为，

或.

（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：时，

，即，解得：或4.

时，如图所示：

不合题意舍去.

时，如图所示：

由与解得：，

即，

综上，，.

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.