2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（一）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（一）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解不等式化简集合，再取交集，即可得到答案.

【详解】

依题意，，，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交运算、不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

2．设复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】利用复数的除法运算可得，即可得答案；

【详解】

依题意，，

则在复平面内，复数所对应的点为，位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（    ）

A．2人 B．18人 C．40人 D．36人

【答案】B

【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案；

【详解】

依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为，

则随机抽取60人，高级教师有人.

故选：B.

【点睛】

本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.

4．已知双曲线：（，）的一个顶点为，点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用勾股定理可得，即可得到的值，利用双曲线的定义，即可得答案；

【详解】

依题意，，，故，则，

故，即，故双曲线的渐近线方程为.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的顶点坐标、渐近线方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力.

5．执行如图所示的程序框图，若输入的值为256，则输出的值为（    ）

A．8 B．3 C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案；

【详解】

运行该程序，第一次，，，；

第二次，，，；

第三次，，，；

第四次，，，；

第五次，，，；

第六次，，，；

第七次，，，

此时输出的值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.

6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（    ）（注：1丈尺.）

A．45000立方尺 B．52000立方尺 C．63000立方尺 D．72000立方尺

【答案】B

【解析】对几何体进行分割得到，再利用体积公式计算，即可得到答案.

【详解】

进行分割如图所示，面面，，，，

，连结，面面，

故

立方尺.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.

7．已知等差数列的前项和为.若，，则数列前2019项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.

【详解】

由等差数列性质可知，，解得；

而，故，则，故，

，

设的前项和为，则，

故.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

8．如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在长方体中进行切割，得到该几何体的直观图如图所示，求出几何体的各条棱长，即可得到答案.

【详解】

在长方体中进行切割，得到该几何体的直观图如图所示，

则，，

，，，.

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图还原几何体的直观图、几何体的棱长计算，考查空间想象能力、运算求解能力.

9．设，则（    ）

A．129927 B．129962 C．139926 D．139962

【答案】C

【解析】利用赋值法令，，，通过运算即可得到答案.

【详解】

令，；

令，即；

令，即；

两式相加，，

而，

故.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意赋值法的灵活应用.

10．设抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2，点，在抛物线上，且，，三点共线，作，垂足为，若直线的斜率为4，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据直线的斜率为4可得的坐标，再利用可得的坐标，最后利用焦半径公式，即可得答案；

【详解】

依题意，抛物线：，则；

设，，则；

因为，解得，故，，

即，故①，

而②，联立①②，解得，

则，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11．已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时的临界值，结合图像即可得到答案.

【详解】

作出函数的图象如图所示；

当时；令，即，

令，即，解得，

结合图象可知，；

当时，令，则此时，相切，

设切点，则解得，

观察可知，实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析.

12．已知数列的前项和为，且，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】依题意，，对分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前项和公式可得关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】

依题意，，

故当为奇数时，，

当为偶数时，，

，

即，

又

，

所以，，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系的灵活运用.

二、填空题

13．已知菱形的边长为6，点为线段的中点，点为线段上靠近的三等分点.若，则________.

【答案】33

【解析】以为基底，将向量的数量积转化成基底的运算，即可得答案；

【详解】

如图，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理和向量数量积运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

14．已知实数，满足则的最小值为________.

【答案】－5

【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，利用直线截距的几何意义，找到最优解，即可得到最值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；

观察可知，当直线过点时，有最小值；

联立解得

故的最小值为－5.

故答案为：.

【点睛】

本题考查简单线性规划问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.

15．已知函数（，）的部分图象如图所示，其中是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为________.

【答案】（）

【解析】根据图像得到的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到的解析式，进而求出单调区间.

【详解】

依题意，，

，即，故，；

将代入中，可知，，

故，；

不妨设，故函数；

将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，

得到，再向右平移个单位长度，

得到；

令（），

解得（），

故函数的单调递增区间为（）.

故答案为：（）.

【点睛】

本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

16．已知函数，若直线与曲线交于，，三点，且，则直线的方程为________.

【答案】

【解析】求出三次函数的对称中心，根据可得点的坐标，设，，代入三次函数的解析式，即可求得的值，从而求得直线的方程.

【详解】

依题意，，

故函数的对称中心为，因为，故，

设，，

故

作出图形如图所示，结合图象，解得或，

直线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三次函数的对称中心问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意任何一个三次函数都存在一个对称中心.

三、解答题

17．在中，，，，是线段上的一点，且.

（1）求的长度；

（2）求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得，的值，再利用正弦定理求得的长度；

（2）根据可得，再利用正弦定理求得，进一步利用余弦定理求得，最后代入三角形的面积公式，即可得答案；

【详解】

（1）因为，

且，

联立两式，解得，，

故，

由正弦定理，

所以.

（2）因为，

故，

所以，

在中，由正弦定理，

故，

在中，由余弦定理，

得，

解得或（舍去）.

所以的面积.

【点睛】

本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

18．如图所示，在三棱锥中，平面平面，是线段上的点，为等边三角形，，.

（1）若，求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

【答案】（1）见解析（2）或.

【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得平面，从而推出，再证明，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直；

（2）以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得答案；

【详解】

（1）依题意，，

在中，，，

由余弦定理可求得，，

∴，即，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

等边中，，

则，且，

∴平面，∴.

（2）以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出

则，，，，

故，，

设平面的一个法向量为，

则即

取，则，，

所以，

设，

故，则，

故，

解得或，则或.

【点睛】

本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.

19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：

方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

方案二：消费者全部选择单选题进行回答；

其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：

（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；

（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.

（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为，求的分布列以及期望；

（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.

附：，.

【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.

（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析

【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；

（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；

（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；

【详解】

（1）依题意，完善列联表如下所示：

，

故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.

（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，2，3，4，

则，

，

，

，

故的分布列为：

所以.

（ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为

，

小明选择方案二获得奖品的概率为

，

因为，所以小明选择方案一更有可能获得奖品.

【点睛】

本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.

20．已知中，，，，点在线段上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若点，在曲线上，且，，三点共线，求面积的最大值.

【答案】（1）（）.（2）3

【解析】（1）根据椭圆的定义求点的轨迹的方程；

（2）由（1）知，，设直线的方程为：，，利用三角形的面积公式和弦长公式，可得，利用换元法令，则，利用导数可求得面积的最值.

【详解】

（1）因为，

故，

故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（不包含长轴的端点），

故点的轨迹的方程为（）.

（2）由（1）知，，设直线的方程为：

，，，

联立消去得，

∴

∴，

令，则，∴，

令，则，

当时，，

在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，面积的最大值为3.

【点睛】

本题考查轨迹方程的求解、三角形的面积、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

21．已知函数（）.

（1）若，证明：；

（2）记函数，，是的两个实数根，且，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）利用导数求出函数的最小值大于等于0即可；

（2）将问题转化为当时，恒成立，即证：恒成立，再利用构造函数并利用导数研究函数的单调性，即可得到的取值范围.

【详解】

（1）依题意，，，

，

当时，，当时，

，故，

故.

（2），，

，

故，（）是方程在上两个不等的正实根，

所以，由

可得

从而问题转化为当时，

恒成立，

即证：成立，

即证：；

即证：，

即证：①，

令

则（），

1）当时，，则在，上

均为增函数且，①式在上不成立.

2）当时，，若，即时，

，所以在上均为减函数

，，在区间及上同号，故①式成立.

若，即时，的对称轴，

令，则当时，

不符合题意.

综上可知：满足题意.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题中参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于较难试题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转得到点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）若曲线（）与曲线，分别交于点，，点，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）求出曲线的极坐标方程为，设，则，利用相关点代入法可得点的轨迹的极坐标方程；

（2）将问题转化为极坐标方程进行求解，即到曲线的距离为，

为极径之差的绝对值，代入面积公式，即可得答案；

【详解】

（1）依题意，曲线的普通方程为，即，

把公式代入可得：，

故曲线的极坐标方程为，

设，则，

则有，

故点的轨迹的极坐标方程为.

（2）曲线（）的极坐标方程为（），

到曲线的距离为，

曲线与曲线交点，

曲线与曲线交点，

∴，

故的面积.

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程的互化、点的轨迹方程、三角形的面积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）对进行分类讨论，去绝对值解不等式，即可得答案；

（2）依题意，，则，再转化成一元二次不等式的恒成立问题.

【详解】

（1）依题意，，

当时，原不等式化为，

解得，故，

当时，原不等式化为，

解得，故无解，

当时，原不等式化为，

解得，故，

综上所述，不等式的解集为.

（2）依题意，，

则，即，

即

则只需解得，

∴实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.