2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（三）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（三）试题

一、单选题

1．已知集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数单调性，求出，得出，求出集合，根据交集的计算即可得出答案.

【详解】

解：由题可知，，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.

2．已知是虚数单位，，则复数所对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】【详解】

解：，

，整理得，

则复数所对应的点为（），位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及复数的几何意义，属于基础题.

3．已知为坐标原点，椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形，根据椭圆通径可得：，结合已知，即可求得答案.

【详解】

椭圆，过右焦点的直线轴，交椭圆于，两点，且为直角三角形

根据椭圆通径可得：，

，

，

，

，

解得或（舍）.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，六个小三角形的面积之和为，又长方形的宽为，长为，即可求得答案.

【详解】

设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，六个小三角形的面积之和为，

又长方形的宽为，长为，

长方形的面积为，

故此点取自阴影部分的概率是：.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

5．在中，，，为上一点，且，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，由余弦定理，，即可求得答案.

【详解】

设，

由余弦定理；

即①

；

即，②

又③

由①②③可得.，

.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．已知的最大值为，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，的最大值为4且，列式可算出，，利用辅助角公式化简得，根据平移伸缩的性质即可得出变换后的解析式.

【详解】

解：由题可知，的最大值为4，

则，，

且，

解之得，.

故，

将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，

得到.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的平移伸缩求解析式，涉及三角函数最值和辅助角公式的应用，考查计算能力.

7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积.

【详解】

解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，

正四棱锥的底面边长为，高为1，

所以四棱锥的体积为，半球的体积为，

故该几何体的体积为.

故选：B.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.

8．函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可.

【详解】

易知定义域为，

，

为偶函数，关于轴对称，

排除C，

又，排除A和D.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.

9．已知，，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由已知，，可得，且a＞1＞b＞0，不难判断x，y，z的大小关系，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.

【详解】

∵a＞b＞0，，

∴可得，且a＞1＞b＞0，

∴，

，

，

又，

，单调递增，

，

∴，

∴，

∵，，，

根据对数函数性质可得，

∴．

故选B．

【点睛】

本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.

10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(    )

A．31 B．39 C．47 D．60

【答案】D

【解析】根据循环程序框图，循环计算到时，输出，即可得出答案.

【详解】

解：根据题意，，；，；

，；，；

，；，；

，；

，；

，；

，；

，，

故输出的结果为.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.

11．已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与均为正方形，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．

【详解】

直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点，

如图：BC的中点为O，连结ON，

MN∥B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，

∵分别是，的中点，，

可得A1C1⊥B1C1，

四边形与均为正方形，可得BC=CA=CC1，

∵三棱柱内接于一个半径为的球，

设BC=CA=CC1=a,

三棱柱外接球可看作棱长为a的正方体外接球，

∴，解得a=2，

∴BC=CA=CC1=2,

CO=1,AO=,AN=,，

在△ANO中,由余弦定理可得：

,

故选：B.

【点睛】

本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题.

12．已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时的临界值，结合图像即可得到答案.

【详解】

作出函数的图象如图所示；

当时；令，即，

令，即，解得，

结合图象可知，；

当时，令，则此时，相切，

设切点，则解得，

观察可知，实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析.

二、填空题

13．已知向量，，且，则______.

【答案】1或5

【解析】由，，求得，利用向量垂直的坐标运算，即可求出，再结合向量的数量积运算，即可求出结果.

【详解】

解：根据题意，，

，

，解得：或，

所以或5.

故答案为：1或5.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量的数量积，考查计算能力.

14．若，则_________.

【答案】

【解析】由，展开化简可得，结合已知，即可求得答案.

【详解】

由，

展开化简可得

整理可得：，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

15．已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为_______.

【答案】3

【解析】根据题意，得出圆的圆心为，利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求得，即可求出切线长.

【详解】

解：由题知，圆，

圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以，解得：.

故圆的方程为.

过点作圆的切线，所以切线长为：

.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆心和半径、点到直线距离和切线长等知识，考查解题能力.

16．某饮料厂生产，两种饮料.生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时；生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时，每天饮料的产量不超过饮料产量的倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多公斤，每天生产饮料的时间不低于生产饮料的时间，每桶饮料的利润是每桶饮料利润的倍，若该饮料厂每天生产饮料桶，饮料桶时利润最大，则_________.

【答案】

【解析】设每天，两种饮料的生产数量分别为桶，桶，则有，画出可行域，结合已知，即可求得答案.

【详解】

设每天，两种饮料的生产数量分别为桶，桶，则有

则其表示的可行域如图中阴影部分所示，

设B饮料每桶利润为1，则目标函数为，则，表示直线在轴上的截距，

，只取整数，

当直线经过点即，时，取得最大值，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．

三、解答题

17．已知正项等比数列满足，，数列的前项和.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（1）利用等比数列的性质和通项公式，求出，即可得出数列的通项公式；利用和的关系，求出的通项公式；

（2）根据题意可知，数列的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4，数列的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，利用等比数列和等差数列的前项和公式，即可求出.

【详解】

（Ⅰ）根据题意，，，

，，故，

所以，

因为，

，

又，所以.

（Ⅱ）根据题意，数列的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4，

数列的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，

所以当为偶数时，，

当为奇数时，，

故

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和递推关系求通项公式，以及等比数列和等差数列的前项和公式，考查计算能力.

18．年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了名观众（含名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图.

（1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；

（2）若把评分低于分定为“不满意”，评分不低于分定为“满意”.

（i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由；

（ii）完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.

参考数据：

【答案】（1）女性观众评分的中位数为，男性观众评分的平均数为（2）（i）男性观众不满意的概率大，详见解析（ii）填表见解析；有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关

【解析】（1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案；

（2）记表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得和，即可比较男观众与女观众不满意的概率大小. 完成下列列联表,计算出，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为，

，

.

男性观众评分的平均数为.

（2）（i）男性观众不满意的概率大，

记表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得的估计值为，

的估计值为，

所以男性观众不满意的概率大.

（ii）列联表如下图：

所以

故有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.

【点睛】

本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方图基础知识和卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

19．如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形.

（1）证明：；

（2）若平面，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）要证，只需证平面，即可求得答案；

（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，且，，取的中点，连接，，同理可证平面，平面，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）取的中点，连接，，

是等边三角形，

，

又，

，

，

平面，

平面，

故.

（2）平面平面，

平面平面，

平面，

且，，

取的中点，连接，，

同理可证平面，平面，

，，，共面，

平面平面，作垂直于点，

则平面，

故点到平面的距离即为，

又平面，所以，，

，，，.

由

.

【点睛】

本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

20．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相交于两点，且.

（Ⅰ）若为抛物线上三点，若为的重心，求的值；

（Ⅱ）抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，求圆上一点到线段的中点的最大距离.

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据题意，求出的坐标，得出抛物线，由焦点，为的重心，设点，，，得出，即可得出结果；

（Ⅱ）设点，，利用点差法，求得，根据条件，得出，得出线段的中点坐标为，即可得出到线段的中点的最大距离.

【详解】

（Ⅰ）因为关于轴对称，所以的纵坐标为，横坐标为1，

代入，可得，

依题意，设点，，，

又焦点，

所以，

则.

（Ⅱ）设点，，则

则，

，

又关于直线对称，，

即，，

又的中点一定在直线上，

，

线段的中点坐标为，

故

从而到的最大距离为.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，涉及点差法求直线的斜率、点对称的性质、中点坐标公式等知识点，考查转化思想和解题能力.

21．已知函数.

（I）当时，比较，，的大小；

（Ⅱ）当时，若方程在上有且只有一个解，求的值.

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】（I）由题可知，函数的定义域为，，利用导函数得出的单调性，得出，则有，再利用作差法，即可比较，，的大小；

（Ⅱ）由题知，设，则在上有且只有一个零点，而，故函数有零点，由，再利用导函数研究的单调性和极值，即可求出的值.

【详解】

（Ⅰ）函数的定义域为，

，

令，得，

令，得，

所以函数的单调递减区间为，

函数的单调递增区间为.

所以，

所以，即，

所以；

又因为，

所以；

（Ⅱ）设，

则在上有且只有一个零点，

又，故函数有零点，

，

当时，，

又不是常数函数，故在上单调递增，

函数有且只有一个零点，满足题意

当时，由，得或，且，

由，得或，

由，得，

故当在上变化时，，的变化情况如下表：

根据上表知，

又，

，

故在上，函数又有一个零点，不满足题意，

综上所述，.

【点睛】

本题考查利用导函数比较大小以及根据方程解得个数求参数，还涉及利用导数研究函数的单调性、极值，考查转化能力、综合分析能力和计算能力.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标分别为，且的顶点都在圆上，将圆向右平移3个单位长度后，得到曲线.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设，曲线与相交于两点，求的值.

【答案】（1）（2）11

【解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；

（2）由（1）联立曲线与，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．

【详解】

（1）由可得点的直角坐标系为，

点的直角坐标系为，

点的直角坐标系为.

设圆的直角坐标系方程为，

代入可得，

.

圆的直角坐标方程为.

故曲线的直角坐标方程为：.

（2）由（1）联立曲线，可得，

整理可得，，

，

.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1）或.（2）4

【解析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；

（2）由题意可得，利用基本不等式，从而求得mn的最小值．

【详解】

（1）原不等式可化为，

①当时，

原不等式可化为，

解得，

；

②当时，

原不等式可化为，

解得，

；

③当时，

原不等式可化为，

解得，

；

综上，不等式的解集为或.

（2），

.

由恒成立可知，

不等式恒成立.

，

，

，当且仅当时等号成立.

故的最小值4.

【点睛】

本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.