2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）

2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·驻马店期中)若集合A＝{x|x(x－2)0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a0恒成立，则正整数a的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　∵xf′(x)>1－f(x)，∴xf′(x)－1＋f(x)>0，
令F(x)＝x[f(x)－1]，则
F′(x)＝xf′(x)＋f(x)－1>0，
又∵f(x)是在R上的偶函数，
∴F(x)是在R上的奇函数，
∴F(x)是在R上的单调递增函数，
又∵exf(ex)－axf(ax)>ex－ax，
可化为ex[f(ex)－1]>ax[f(ax)－1]，
即F(ex)>F(ax)，
又∵F(x)是在R上的单调递增函数，
∴ex－ax>0恒成立，
令g(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，
∵a>0，∴g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝a－aln a>0，则1－ln a>0，
∴00)，
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴OA＝t.
由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAO＝30°，得到PO＝t，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0，t,0)，C(－t,0,0)，P(0,0，t)，D(0，－t,0)，得到＝(0，－t，t)，＝(t,0，t)．
设平面PBC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
则即令x1＝1，
则y1＝z1＝－，得到n1＝(1，－，－)．
同理可得n2＝(1，，－)，
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝.
∵二面角B－PC－D为钝二面角，则余弦值为－.
20．(本小题满分12分)(2019·广州六校联考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0.以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)已知定点P(0,4)，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，若直线MP，NP关于y轴对称，求△PMN面积的取值范围．
解　(1)由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得，sinA＋sinB＝2sinC，
由正弦定理|CA|＋|CB|＝2|AB|＝4>|AB|，
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中a＝2，c＝1，则b＝，
故轨迹E的方程为＋＝1(x≠0)．
(2)由题可知，P(0,4)，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m(mk≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l的方程代入轨迹E的方程得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.
由Δ>0得3k2＋4>m2，且
x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为直线MP，NP关于y轴对称，所以kMP＋kNP＝0，即＋＝0.
化简得2kx1x2＋(m－4)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(m－4)·＝0，
得m＝1，
那么直线l过点B(0,1)，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以△PMN的面积
S＝·|BP|·|x1－x2|＝＝18，
设k2＋1＝t，则t>1，S＝18·，
显然S在t∈(1，＋∞)上单调递减，所以S∈.
即△PMN面积的取值范围为.
21．(本小题满分12分)(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝xln x－x2＋(a－1)x，其导函数f′(x)的最大值为0.
(1)求实数a的值；
(2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，证明：x1＋x2>2.
解　(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数f′(x)＝ln x－a(x－1)，
记h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝.
当a≤0时，h′(x)＝≥0恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0.
所以∀x∈(1，＋∞)，有h(x)＝f′(x)>0，故a≤0时不成立；
当a>0时，若x∈，则h′(x)＝>0；
若x∈，则h′(x)＝8.