2026学年冀教版（2024）初中数学七年级上册（2024）5.4 一元一次方程的应用（第3课时）课件+教案

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一、审： 仔细研读题目，理解题意，梳理已知条件与未知量。二、设： 根据问题需求，设出合适的未知数（直接设元或间接设元）。三、找： 分析数量关系，找出题目中隐藏的核心等量关系。四、列： 依据等量关系，列出符合题意的一元一次方程。五、解： 运用解方程的步骤，求出未知数的解。六、验： 检验解是否满足方程，且符合实际问题的意义。七、答： 写出完整的解答过程，注明单位并规范作答。
方案问题核心解析01 分配问题 ：核心等量关系为“各部分量之和 = 总量”。解题时设其中一个未知量为x，用含x的式子表示其他部分量，再根据总量关系列方程求解。02 调配问题 ：重点分析调配前后的数量变化，明确“调出”与“调入”的数量关系，抓住调配过程中总量不变或局部量的变化规律建立等量关系。03 方案选择 ：先计算不同方案费用相等的“分界点”数量，再结合实际需求的数量与分界点比较，判断哪种方案更经济、更优。
学校组织七年级学生去参观博物馆，共租用了8辆大客车和小客车。已知大客车每辆可坐50人，小客车每辆可坐30人，恰好全部坐满，总人数为340人。问大客车和小客车各租了多少辆？
例 3 某校组织师生共 340 人去春游，计划租用大、小客车共 8 辆。已知大客车每辆可乘坐 50 人，小客车每辆可乘坐 30 人，恰好坐满。问租用大、小客车各多少辆？
解：设租用大客车 x 辆，则租用小客车 (8 - x) 辆。依题意，得50x + 30(8 - x) = 340化简得：20x + 240 = 340，解得 x = 5则小客车数量为：8 - 5 = 3（辆）答：租用大客车 5 辆，租用小客车 3 辆。
某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮16个或小齿轮10个。已知2个大齿轮和3个小齿轮恰好配成一套，问应如何安排工人分别加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
? 核心解题思路：① 设未知数：设安排 x 名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的工人为 (85 - x) 名；② 找等量关系：大齿轮总数 × 3 = 小齿轮总数 × 2（配套比例）；③ 列方程：16x × 3 = 10(85 - x) × 2（代入工效与人数关系）。
某车间有85名工人，每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个。已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问应如何安排工人，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
解：设安排x名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的工人有(85−x)名。根据配套比例列方程：3×16x = 2×10(85−x)解得：x = 25，因此加工小齿轮的工人有85−25 = 60名。答：应安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮。
甲仓库有粮食 100 吨，乙仓库有粮食 80 吨。从甲仓库运多少吨粮食到乙仓库，才能使乙仓库的粮食是甲仓库的 2 倍？
例 4 甲仓库有粮食100吨，乙仓库有粮食80吨。现从甲仓库运若干吨粮食到乙仓库，使得乙仓库的粮食数量恰好是甲仓库的2倍。问从甲仓库运了多少吨粮食到乙仓库？
解：设从甲仓库运 x 吨粮食到乙仓库。调配后甲仓有(100−x)吨，乙仓有(80+x)吨。依题意，得80 + x = 2(100 - x)解得： x = 40答：从甲仓库运40吨粮食到乙仓库。
题目： 甲、乙两个施工队共有工人200人。如果从甲队调10人到乙队，那么甲队比乙队还多20人。求甲、乙两队原来各有多少人？思路梳理：1. 设未知数：设甲队原有 x 人，则乙队原有 (200 - x) 人；2. 调配后人数：甲队剩余 (x - 10) 人，乙队变为 (200 - x + 10) 人；3. 等量关系：调配后甲队人数 - 乙队人数 = 20，据此列出方程求解。
? 解题关键： 解决此类调配问题时，要抓住“总人数不变”这一隐含条件，同时注意人数转移的方向（谁增加、谁减少），准确表示出调配前后的人数，从而建立正确的方程模型。
3. 甲、乙两队共有200人，从甲队调10人到乙队后，甲队人数比乙队人数多20人，求甲、乙两队原来各有多少人？
解：设甲队原来有x人，则乙队原来有(200−x)人。根据题意列方程：x−10 = (200−x+10)+20，解得x=120。则乙队人数为：200−120=80(人)。答：甲队原来有120人，乙队原来有80人。
某电信公司推出两种手机套餐：套餐A（月租20元，通话费0.2元/分钟）和套餐B（无月租，通话费0.4元/分钟）。请问，对于一个每月通话时间为多少分钟的用户来说，选择套餐A会比套餐B更划算呢？
例 3 某通讯公司推出两种手机通话套餐：套餐A含月租费20元，每分钟通话收费0.2元；套餐B无月租费，每分钟通话收费0.4元。问每月通话时间为多少分钟时，选择套餐A更划算？
解：设每月通话时间为 x 分钟。套餐A费用： yₐ = 0.2x + 20 ，套餐B费用： yᵦ = 0.4x令费用相等： 0.2x + 20 = 0.4x ，解得 x = 100 。分析：当 x > 100 分钟时，套餐A费用更低。答：每月通话时间超过100分钟时，选套餐A更划算。
情境问题： 某旅行社组织旅游，报价为每人800元。团体旅游（人数超过10人）有两种优惠方案：方案一（所有人打八折）和方案二（其中10人按原价，其余的人打七折）。问一个旅游团至少有多少人时，选择方案二更划算？解题思路： 设旅游团人数为 x (x > 10)，分别列出两种方案的费用表达式：方案一费用为 800×0.8x；方案二费用为 800×10 + 800×0.7(x-10)。令“方案二费用 < 方案一费用”，解此一元一次不等式即可求出x的最小整数值。
核心考点： 运用一元一次不等式解决实际生活中的方案优化与决策问题。
题目： 某旅游团到景区游玩，门票原价为800元/人。现有两种购票方案：方案一，全体成员按原价的八折购票；方案二，10人按原价购票，剩余成员按原价的七折购票。请问该旅游团至少有多少人时，选择方案二更划算？
解： 设旅游团人数为 x 人（x > 10）。方案一总费用：800 × 0.8x = 640x；方案二总费用：800×10 + 800×0.7(x-10) = 560x + 2400。令方案二费用 < 方案一费用，即 560x + 2400 < 640x，解得 x > 30。答： 旅游团至少有 31 人时，选择方案二更划算。
01 多次相遇规律直线型相遇：第n次相遇时，两人合走的总路程为(2n-1)个全程；环形跑道相遇：每相遇一次，两人合走的路程和为1圈跑道的周长。02 分段计费解法解题核心：先根据总量判断其所在的收费区间，明确各区间的单价与计费规则，再分段计算费用，最后依据总费用等量关系列出方程求解。03 时钟追及模型将指针运动转化为追及问题：分针速度为6°/分钟，时针速度为0.5°/分钟，两者速度差为5.5°/分钟，利用“路程差 ÷ 速度差 = 追及时间”求解角度或时刻问题。
甲、乙两人在一条长 400米 的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟 300米 ，乙的速度是每分钟 200米 。如果两人同时同地反向出发，经过多长时间两人第一次相遇？第二次相遇呢？
例 3 甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上同时同地出发，相向而行。甲的速度为300米/分钟，乙的速度为200米/分钟。请问两人经过多少分钟第一次相遇？第二次相遇又需要多长时间？
解：设经过 x 分钟第一次相遇。等量关系：甲路程 + 乙路程 = 1圈周长300x + 200x = 400，解得 x = 0.8 分钟。第二次相遇：路程和为2圈，即 300x + 200x = 800，解得 x = 1.6 分钟。答：第一次相遇需0.8分钟，第二次需1.6分钟。
【随堂练习】 A、B两地相距300千米，甲车从A地出发，行驶速度为60千米/小时；乙车从B地出发，行驶速度为40千米/小时。若两车同时相向而行，请问经过多长时间两车会第二次相遇？————————————————————【核心思路】 在直线型道路上的第二次相遇问题中，两车从出发到第二次相遇时，它们共同行驶的路程总和为 3个全程。等量关系：甲车行驶路程 + 乙车行驶路程 = 3 × 全程距离
解： 设经过 x 小时两车第二次相遇。等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 3 × 全程依题意列方程： 60x + 40x = 3 × 300化简得： 100x = 900解得： x = 9答：经过 9 小时两车第二次相遇。
某市出租车收费标准如下：起步价10元（含3公里），超过3公里的部分，每公里收费2元。小明乘坐出租车花费了26元，他行驶的路程是多少公里？
例 3 小明乘坐出租车去博物馆，出租车起步价为10元（含3公里），超过3公里后，每公里收费2元。小明共支付车费26元，求小明乘坐出租车行驶的路程是多少公里？
解：因为26元＞10元，所以行驶路程超过3公里。设行驶路程为x公里，依题意得：10 + 2(x - 3) = 26解得：x = 11答：小明行驶的路程是11公里。
▍阶梯水价计费问题某城市实行阶梯水价，收费标准如下：① 月用水量 ≤ 15吨：每吨收费 2 元；② 15吨 < 月用水量 ≤ 25吨：超出15吨的部分，每吨收费 3 元；③ 月用水量 > 25吨：超出25吨的部分，每吨收费 5 元。问题：若某户居民某月缴纳水费共计 90 元，求该户这个月的用水量。
? 解题思路提示首先计算前两个阶梯的最大费用：15×2 + 10×3 = 60元。由于90元大于60元，说明用水量已超过25吨，进入第三阶梯。设总用水量为x吨，根据费用分段列出方程求解即可。
题目： 某城市居民用水实行分段计费：第一阶梯（≤15吨）每吨2元，第二阶梯（15吨25吨）每吨5元。某户居民本月缴纳水费90元，求该户居民这个月的用水量。
01. 初步判断：计算基础阶梯费用第一阶梯费用：15 × 2 = 30元；第二阶梯费用：(25 - 15) × 3 = 30元。前两阶梯合计：30 + 30 = 60元。∵ 90元 > 60元，∴ 用水量超过25吨。02. 列方程求解：设总用水量为 x 吨（x > 25）等量关系：前两阶梯费用 + 第三阶梯费用 = 总费用方程：60 + 5(x - 25) = 90 → 5(x - 25) = 30 → x = 31答：该户居民这个月的用水量是31吨。
在3点和4点之间，时钟的分针和时针在什么时刻重合？
例 3 3点整时，时针与分针夹角为90°，分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。经过多少分钟后，时针与分针会重合？
解：设经过 x 分钟后，时针与分针重合。依题意，得6x - 0.5x = 90合并同类项，得：5.5x = 90，解得 x = 180/11 ≈ 16.36答：在3点180/11分（约3点16分22秒）时，时针与分针重合。
题目：在4点和5点之间，时钟的分针和时针在什么时刻成90度角？请尝试通过方程思想解决此问题，注意分析时针与分针的转动速度差异。
? 解题关键提示：1. 两种情况需考虑：一是分针未追上时针时形成90°夹角；二是分针超过时针后再次形成90°夹角。2. 速度关系：分针每分钟转6°（360°÷60），时针每分钟转0.5°（30°÷60），两者速度差为5.5°/分。3. 初始状态：4点整时，时针与分针夹角为120°，以此为基础建立方程求解。
思考拓展：若题目改为“求两针重合的时刻”，解题思路会有什么变化？
在4点到5点之间，时针和分针何时成90度角？
解：4点整时，时针与分针夹角为120°，设经过x分钟成90°角。情况一（分针未追上）：120 - 6x + 0.5x = 90，解得 x = 60/11 ≈ 5.45 分钟；情况二（分针超过）：6x - 120 - 0.5x = 90，解得 x = 420/11 ≈ 38.18 分钟；答：在4点60/11分和4点420/11分时，时针与分针成90度角。
1. 某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹多少件？
解： 设分派站现有快递员 x 个。根据包裹总数不变，得：10x + 6 = 12x - 6解得： x = 6所以包裹有： 10 × 6 + 6 = 66（件）答：分派站现有包裹66件。
2. 一艘船从甲码头顺流而行，用了 3 小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 5 小时，已知水流速度是 3 千米/小时，求船在静水中的速度。
解： 设船在静水中的速度是 x 千米/小时。顺水速度：( x +3 )千米/小时，逆水速度：( x -3 )千米/小时。由往返路程相等，得： 3(x+3)=5(x-3)解得： x =12答：船在静水中的速度为12千米/小时。