2026学年冀教版（2024）初中数学七年级上册（2024）5.4 一元一次方程的应用（第2课时）课件+教案

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01 行程问题核心公式路程 = 速度 × 时间（公式表示：s = vt）。这是解决各类行程问题的基础等量关系，反映了物体运动过程中路程、速度与时间三者之间的数量联系。02 工程问题核心公式工作总量 = 工作效率 × 工作时间。在解决此类问题时，通常将全部工作总量看作单位“1”，以此为基准计算各工作主体的效率与完成时间。
01 行程相遇情境小明从学校出发，小红从家出发，两人相向而行。学校与家相距1200米，小明每分钟走60米，小红每分钟走40米。请问：两人同时出发后，经过多少分钟会相遇？————————————————————02 工程合作情境一项工程，甲工程队单独施工需要10天完成，乙工程队单独施工需要15天完成。如果两队同时合作施工，需要多少天才能完成这项工程的全部任务？
行程问题核心等量关系：01. 相遇问题（相向而行）核心公式：甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 = 总路程适用场景：两人或两车从两地同时出发，相向而行直到相遇。────────────────────────────02. 追及问题（同向而行）核心公式：快者行驶的路程 - 慢者行驶的路程 = 初始距离差适用场景：两人或两车同向而行，快者从后面追赶慢者。解题技巧： 画线段图是解决行程问题的关键，通过图示清晰表示路程、速度与时间的关系。
例题：A、B两地相距 420公里 ，甲车从A地出发，速度为 65公里/小时 ；乙车从B地出发，速度为 55公里/小时 ，两车同时出发，相向而行。（1）经过多长时间两车相遇？（2）经过多长时间两车相距 60公里 （未相遇）？
一、两车相遇时间求解解：设经过 x 小时两车相遇。甲车行驶路程为 65x km ，乙车行驶路程为 55x km 。等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 总路程依题意列方程： 65x + 55x = 420解得： x = 3.5 ，即经过3.5小时两车相遇。二、两车相距60公里时的时间求解解：设经过 y 小时两车相距60公里，此时两车共行驶 420 - 60 = 360 km 。等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 行驶总路程依题意列方程： 65y + 55y = 360解得： y = 3 ，即经过3小时两车相距60公里。
行程问题：追及问题变式例题：小明从家出发步行去图书馆，步行速度为 4 公里/小时 。走了 0.5 小时 后，爸爸发现他忘带借书证，立刻骑车去追，骑车速度为 12 公里/小时 。那么爸爸出发后，需要多长时间才能追上小明？
1. 等量关系：爸爸走的路程 = 小明走的总路程2. 设爸爸出发 x 小时后追上小明，则小明共走了 (x + 0.5) 小时。3. 依题意列出方程： 12x = 4(x + 0.5)解方程：去括号得 12x = 4x + 2 ，移项化简得 8x = 2 ，解得 x = 0.25 。答：爸爸需要 0.25 小时（也就是15分钟）才能追上小明。
例 2 一艘轮船在河流中航行，顺水航行2小时行驶120公里，逆水航行3小时行驶120公里。求船在静水中的速度和水流速度。
分析： 流水行船的核心是速度的合成：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。结合“路程 = 速度 × 时间”的公式，可通过设未知数建立方程组来求解。
若设船速为x km/h，水速为y km/h，则顺水速度为(x+y)，逆水速度为(x−y)，据此可列方程组求解。
1. 设船在静水中速度为 x km/h ，水流速度为 y km/h 。2. 顺水航行： 2(x + y) = 120 ，化简得 x + y = 60 。3. 逆水航行： 3(x - y) = 120 ，化简得 x - y = 40 。4. 解方程组得： x = 50，y = 10 。答：船在静水中速度为 50 km/h ，水流速度为 10 km/h 。
例题： 一列火车长 300米 ，以每秒 20米 的速度通过一座长 1500米 的大桥。从车头进入大桥到车尾离开大桥，一共需要多少秒？
1. 核心分析：火车过桥的总路程 = 桥的长度 + 火车自身长度2. 代入计算：总路程 = 1500米 + 300米 = 1800米，火车速度为20米/秒3. 解：设火车完全通过大桥需要 x 秒，根据“路程=速度×时间”列方程20x = 1800解方程得：x = 90答：火车完全通过大桥一共需要 90 秒。
1. 我们常把总工作量看作单位“1”，这是解决工程问题的基础设定。2. 工作效率的计算公式为：工作效率 = 1 / 工作时间，即效率是完成时间的倒数。3. 核心等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量，即各部分完成量相加等于单位“1”。
一项工程，甲队单独做需要 10天 完成，乙队单独做需要 15天 完成。如果两队合作，需要多少天可以完成这项工程？
1. 等量关系：甲队工作量 + 乙队工作量 = 总工作量2. 甲队效率为 1/10 ，乙队效率为 1/15 ，合作 x 天完成总工作量 1 。3. 解：设两队合作需要 x 天完成，依题意列方程： (1/10 + 1/15)x = 1合并化简求解，得 x = 6 。答：两队合作需要 6 天可以完成。
例题： 一项工作，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成。现在先由甲单独做3天，剩下的部分由甲乙两人合作完成，还需要多少天？
分析： 本题核心等量关系为：甲单独做的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工作量基本公式：工作效率 × 工作时间 = 工作量通常将总工作量看作单位“1”来计算效率。
如果设还需两人合做 x 天 才能完成，可据此列出方程求解。
1. 等量关系：甲单独工作量 + 甲乙合作工作量 = 总工作量2. 甲独做3天工作量： (1/8)×3 = 3/8 ；合作效率： 1/8 + 1/12 = 5/243. 解：设还需要 x 天完成，依题意列方程：3/8 + (1/8 + 1/12)x = 1化简求解： 3/8 + 5/24 x = 1，5/24 x = 5/8，解得 x = 3答：还需要 3 天可以完成剩余工作。
工程问题：合作与请假应用一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人先合作了一段时间后，甲因事请假，剩下的工程由乙单独做了3天才完成。请问：甲、乙两人合作了多少天？
? 思路点拨： 将总工程量视为单位“1”，分别求出甲、乙的工作效率，再根据“合作工作量 + 乙单独工作量 = 总工作量”列方程求解。
1. 等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量（1）2. 设甲乙合作了 x 天，则甲工作 x 天，乙工作 (x + 3) 天。甲的工作量为 (1/12)x ，乙的工作量为 (1/18)(x + 3) 。依题意列方程： (1/12)x + (1/18)(x + 3) = 1解方程，得： x = 6答：甲乙合作了 6 天。
工程问题：效率变化问题例题：某工厂计划加工一批零件，原计划每天加工160个，20天完成。实际加工了5天后，引进了新设备，每天的加工效率提高了25%。实际完成这批零件需要多少天？
1. 等量关系：前5天加工量 + 提速后加工量 = 总工作量2. 总工作量为 160×20=3200 个，前5天加工 160×5=800 个，提速后每天做 160×(1+25%)=200 个。3. 解：设实际完成共需 x 天，依题意列方程：800 + 200(x - 5) = 3200解这个方程，化简得：200(x-5)=2400，解得 x=17 。答：实际完成这批零件需要 17 天。
题目背景： 甲乙两人在400米环形跑道上跑步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。(1) 相遇问题： 若两人同时同地出发，相向而行，经过多少秒两人第一次相遇？(2) 追及问题： 若两人同时同地出发，同向而行，经过多少秒甲第一次追上乙？
解(1)：设经过 x 秒两人相遇，两人路程和等于环形跑道全长400米。
依题意，得方程： 6x + 4x = 400
合并求解： 10x = 400，解得 x = 40
答：经过40秒两人相遇；若同向而行，设经 y 秒甲追上乙，列方程6y - 4y = 400，解得 y = 200，即200秒后甲追上乙。
1. 一项工作，甲单独做需要 15 天，乙单独做需要 10 天。现在甲先做了 5 天，然后乙加入一起做，直到完成。乙一共做了多少天？
解：设乙一共做了 x 天。甲先做5天的工作量：5/15 = 1/3；甲乙合作x天的工作量：(1/15 + 1/10)x = x/6。
1/3 + x/6 = 1，解得 x = 4。
答：乙一共做了 4 天。
【经典流水行船模型】一艘船在静水中的速度是 18公里/小时，水流速度是 2公里/小时。这艘船从甲地顺水航行到乙地，全程耗时 5小时。请根据已知条件求解以下问题：1. 甲乙两地之间的水路距离是多少公里？2. 若该船从乙地逆水航行返回甲地，需要航行多少小时？
? 解题思路：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速；路程 = 速度 × 时间。
解： 顺水速度 = 船速 + 水速 = 18 + 2 = 20（公里/小时）甲乙两地距离 = 顺水速度 × 时间 = 20 × 5 = 100（公里）逆水速度 = 船速 - 水速 = 18 - 2 = 16（公里/小时）返回时间 = 路程 ÷ 逆水速度 = 100 ÷ 16 = 6.25（小时）答： 甲乙两地相距100公里，返回需要6.25小时。
一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成。若甲队先单独做9天，再由乙队接着单独做16天，也恰好能完成这项工程。请问：甲、乙两队单独完成这项工程，分别需要多少天？
解：设甲单独完成需要 x 天，乙单独完成需要 y 天。根据题意列方程组：1/x + 1/y = 1/12，　9/x + 16/y = 1解得： x = 21，y = 28答：甲单独做需21天，乙单独做需28天。
题目： 甲、乙两人骑自行车，同时从相距 54 km 的两地相向而行， 2 h 后相遇，已知甲每小时比乙多走 3 km ，求甲、乙两人的速度。
解： 设乙每小时走 x km， 则甲每小时走 ( x +3) km。由题意，可得 2 x + 2( x +3) = 54。解得： x = 12。所以 x +3 = 15。答：乙的速度是 12 km/h，甲的速度是 15 km/h。