第二章 《一元二次方程》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第二章 《一元二次方程》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．已知x1,x2是方程x2−20x−25=0的两个实数根，则x1+x2=（　　）A．−25B．−20C．20D．252．下列方程无实数根的是（　　）A．x2−2x＝0B．x2−2＝0C．x2+2x＝0D．x2+2＝03．已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是(　　)A．4B．5C．6D．74．已知x1，x2是一元二次方程 x2+2x−9=0的两个根，则 x1+x2−2x1x2的值为(　　)A．16B．–16C．20D．-205．若关于x的一元二次方程−2x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 （　　）A．2B．0C．-2D．-46．用配方法解方程x2−4x+3=0时，配方后正确的是（　　）A．x−22=3B．x−22=1C．x+22=1D．x+22=−17．已知a，b是一元二次方程x2+x−8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b−ab的值为（ ）A．−1B．1C．15D．178．已知实数x1，x2满足 x1+x2=7，x1⋅x2=12，那么以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)A．x2−7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x+12=0D．x2−7x−12=09． 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事.楚超有 n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　）A．12nn－1＝136B．n（n－1）＝136C．12nn＋1＝136D．n（n＋1）＝13610．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2023年“五一”假期期间，该县接待游客25万人次，2025年增长至53万人次.设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程(　　)A．251+x2=53B．25 (1+2x) =53C．531−x2=25D．25 (1+x) +25 (1+x)2=53二、填空题（每题3分，共18分）11．已知方程 x2−4x+3＝0的两个根是x1和x2，则：x1x2=　 　。12．若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根是10，则另一个根是　 　．13．已知m是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　 　．14．若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，则2α2−3α+3β的值为　 　．15．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是　 　．16．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　 　．三、解答题（共7题，共72分）17．解下列方程．（1）2x−12=9；（2）x(x−4)=12−3x；（3）x2−2x−5=0；（4）2x2−3x+1=0．18．已知关于x的一元二次方程. x2−3x+m+1=0.（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若该方程的一个根是-1，求它的另一个根及m的值.19．若关于x的一元二次方程x2+2k+3x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2+x1x2=0，求k的值．20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边(AB)的长为xm．（1）用含x的代数式表示BC边的长；（2）若该矩形养殖场的面积为36m2，求BC边的长．21．已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2=m2+6，求m的值．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23．材料阅读：材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程x2=−1在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定i2=−1.当b≠0时，形如a+bi (a， b为实数)的数统称为虚数. 比如5i，3+2i，1−2i. 当b=0时，a+bi=a+0⋅i=a为实数.材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数a+bi，c+di（其中a， b， c， d）为实数. 且b≠0，d≠0有如下运算法则：(a+bi)+(c+di)+(a+c)+(b+d)；(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i；(a+bi)⋅(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i；（1）填空：化简(1+i)(1−i)=　 　，(2+i)2=　 　；（2）关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1−i，其中m， n是实数，求m−n的值. 答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵x1,x2是方程x2−20x−25=0的两个实数根∴x1+x2=20故答案为： C【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式为Δ=b2−4ac．选项A：方程为x2−2x=0，∵a=1,b=−2,c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根．选项B：方程为x2−2=0，∵a=1,b=0,c=−2，∴Δ=02−4×1×(−2)=8>0，方程有两个不相等的实数根．选项C：方程为x2+2x=0，∵a=1,b=2,c=0，∴Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根．选项D：方程为x2+2=0，∵a=1,b=0,c=2，∴Δ=02−4×1×2=−80，解得：k>−34；（2）解：∵方程x2+2k+3x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k+3,x1x2=k2，∵x1+x2+x1x2=0，∴k2−2k−3=0，解得：k1=3,k2=−1，∵k>−34，∴k=3．【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式∆=b2−4ac>0，解不等式即可求出答案.（2）根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2k+3,x1x2=k2，再整体代入方程，解方程即可求出答案.（1）解：∵方程x2+2k+3x+k2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2k+32−4k2>0，解得：k>−34；（2）解：∵方程x2+2k+3x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k+3,x1x2=k2，∵x1+x2+x1x2=0，∴k2−2k−3=0，解得：k1=3,k2=−1，∵k>−34，∴k=3．20．【答案】（1）解：∵栅栏总长度为18m，AB的长为xm，∴BC的长为(18−2x)m；（2）解：根据题意得：x(18−2x)=36，整理得：x2−9x+18=0，解得：x1=3，x2=6，当x=3时，18−2x=18−2×3=12>10，不符合题意，舍去；当x=6时，18−2x=18−2×6=610，不符合题意，舍去；当x=6时，18−2x=18−2×6=60，即(−4)2−4×1×(−2m+5)>0，解得：m>12；（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2=4,x1x2=−2m+5，x1x2+x1+x2=m2+6，∴−2m+5+4=m2+6，整理得：m2+2m−3=0，解得m1=1,m2=−3，∵m>12，∴m=1．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4,x1x2=−2m+5，再根据题意代入计算，从而解一元二次方程即可求解。（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等实数根，∴Δ=b2−4ac>0，即(−4)2−4×1×(−2m+5)>0，解得：m>12；（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2=4,x1x2=−2m+5，x1x2+x1+x2=m2+6，∴−2m+5+4=m2+6，整理得：m2+2m−3=0，解得m1=1,m2=−3，∵m>12，∴m=1．22．【答案】（1）26（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20（舍去），答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。23．【答案】（1）2；3+4i（2）解：（2）解：∵一元二次方程×2+mx+n=0有一个根是1-i，∴(1-i)2+m(1-i)+n=0，即-2i+m-mi+n=0，∴m+n=2i+mi，∵m，n是实数，∴2+m=0，解得：m=-2，n=2，∴m-n=-4.【解析】【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式计算即可求出答案.（2）将x=1-i代入方程可得m+n=2i+mi，由题意建立方程，解方程可得m，n，再代入代数式即可求出答案.