第2章《一元二次方程》单元检测卷 北师大版2026年九年级数学上册 含答案

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北师大版2026年九年级上册第2章《一元二次方程》单元检测卷满分120分 时间120分钟一、选择题（共30分）1．下列方程中是一元二次方程的是（    ）A．x2+1=0B．x2+1x=5C．(x+1)2=x2D．x2−y−5=02．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ）A．x−2=0B．x3−4x=0C．x2−4=0D．x−2=0.1253．将一元二次方程2x2+3x=5化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ）A．3，5B．3，−5C．−3，5D．3x,−54．若用配方法解一元二次方程x2+4x−3=0，则下列配方正确的是（    ）A．x−12=3B．x+12=3C．x−22=7D．x+22=75．关于一元二次方程13x2+2x−4=0的根的情况，下列说法正确的是（     ）A．只有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ）A．4B．5C．6D．77．某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ）A．6支B．7支C．8支D．9支8．已知实数x满足x2−4x+42+5x2−4x+4−6=0，则x2−4x+4的值为（   ）A．−6或1B．−1或6C．6D．19．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列方程是（     ）A．60−xx=864B．60−x2⋅60+x2=864C．60+xx=864D．30+x30−x=86410．对于一元二次方程ax2+bx+c=0，下列说法正确的个数为（     ）①若方程的两个根为−2和1，则2b+c=0；②若a+b+c=0，则方程一定有解；③若ab−bc=0，且ac0，∴方程有两个不相等的实数根．6．D【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可．【详解】解：∵x2−9x+14=0，∴x−2x−7=0，∴x−2=0或x−7=0，解得x=2或x=7，∵方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，∴该菱形的面积为12×2×7=7．7．B【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，明确单循环赛制为每两队之间只比赛一场，设出球队数量，根据总比赛场数列方程求解即可．【详解】解：设参加比赛的球队共有x支．∵赛制为单循环形式，每两队之间只比赛一场，总比赛场数为21场∴可列方程12xx−1=21整理得 x2−x−42=0因式分解得 x−7x+6=0解得 x1=7,x2=−6∵球队数量为正整数∴x=7即参加比赛的球队共有7支．8．D【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．将x2−4x+4看做一个整体，代入x2−4x+42+5x2−4x+4−6=0求解，再根据x2−4x+4=x−22≥0判断即可．【详解】x2−4x+4=x−22≥0，设x2−4x+4=t，∵实数x满足x2−4x+42+5x2−4x+4−6=0，∴t2+5t−6=0，∴t−1t+6=0，解得：t1=1，t2=−6（舍去），∴x2−4x+4的值为1．故选：D．9．A【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可【详解】解：∵设长为x步，长和宽的和为60步 ∴宽为(60−x)步 ∵矩形面积=长×宽，已知矩形面积为864平方步 ∴可列方程为60−xx=86410．C【分析】由根与系数的关系得到−2+1=−ba,−2×1=ca，则可推出c=−2b，据此可判断①；当a+b+c=0时，可证明x=1是原方程的解，据此可判断②；可证明ac0，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为−ba=0，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得m,n都是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0可以有两个不相等的实数根，据此可判断④．【详解】解：①若方程的两个根为−2和1，则−2+1=−ba,−2×1=ca，∴b=a,c=−2a，∴c=−2b，即2b+c=0，故①正确；② ∵a+b+c=0，∴将x=1代入方程得a·12+b·1+c=a+b+c=0，∴x=1是方程的根，即方程一定有解，故②正确；③若ab−bc=0，则ba−c=0，∵ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0， 所以不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．(2)m=3(3)m=145或283【分析】（1）列式计算得出方程的判别式Δ=4m2+16，再进行分析，即可作答．（2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答．（3）分别整理得出k1=m+2，k2=5，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得m+2+5=21−4m，最后解得m=145或283，即可作答．【详解】（1）略（2）解：设x2−2m+4x+4m=0的对称中心值为k1，该方程的根记为x1，x2根据韦达定理得到x1+x2=2m+4，∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为5，∴x1+x2=2k1=10，∴2m+4=10，∴m=3．（3）解：设x2−2m+4x+4m=0的对称中心值为k1，该方程的根记为x1，x2∴x1+x2=2m+4，x1x2=4m，∴2k1=2m+4∴对称中心值k1=m+2，设x2−10x+21=0的对称中心值为k2，该方程的根记为x3,x4∴x3+x4=10，x3x4=21∴2k2=10∴对称中心值k2=5，∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值∴m+2+5=21−4m，∴m+7=21−4m或m+7=4m−21∴m=145或283．24．(1)3x2+52x+4=0（答案不唯一）(2)证明：由题意可知：a2+b2=c2，∵Δ=(2c)2−4ab=2c2−4ab，∴Δ=2a2+b2−4ab=2a2+b2−2ab=2(a−b)2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根．(3)94【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可；（2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可；（3）先说明a+b=2c，再结合四边形ACDE的周长是92可得2a+b+2c=92，进而求得c=3，可得a2+b2=9；再利用完全平方公式求得ab=92，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：3x2+52x+4=0是“勾系一元二次方程”．（2）略（3）解：把x=−1代入ax2+2cx+b=0中得：a−2c+b=0，即a+b=2c，   ∵四边形ACDE的周长是92，∴2a+2b+2c=92，∴2a+b+2c=92，∴22c+2c=92，解之得：c=3，    ∴a2+b2=9，∵a+b=2c=32，∴a+b2=322，即a2+b2+2ab=18，∴2ab=18−a2+b2=18−9=9，∴ab=92，∴S△ABC=12×ab=94．小江同学：解：xx−2=3，所以x=1或x−2=3，所以x1=1，x2=5．题号12345678910答案ACBDDDBDAC