2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)，共52页。
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0
2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)(k∈Z)，对称中心是点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))(k∈Z)．
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
考点二 求图象变化前后的解析式
考点三 由图象确定函数解析式
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
考点六 三角函数实际的应用
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
1．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度
D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度
2．（25-26高三上·广东汕尾·期中）只需要把图象上（ ），即可得到的图象.
A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
3．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．（25-26高三上·上海·期中）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
6．（2026·河北张家口·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 求图象变化前后的解析式
7．（25-26高三上·四川南充·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ）
A．B．
C．D．
8．（25-26高三上·北京延庆·期中）把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______.
9．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
10．（25-26高三上·广东佛山·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
11．（25-26高三上·安徽安庆·阶段检测）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
12．（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 由图象确定函数解析式
13．（2026·山西忻州·模拟预测）函数，（，）的部分图像如图所示，则（ ）
A．1B．-1C．D．
14．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点，中心对称
C．函数在单调递减
D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象
15．（25-26高三上·湖南益阳·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．图象的对称中心为点
C．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
16．（2026高三·全国·专题练习）函数（，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则________．
17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．在区间上单调递增
C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得
D．函数在区间上有且仅有一个零点
18．（25-26高三上·广东佛山·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，若，则（ ）
A．
B．当时，函数与有3个交点
C．若，当时，有5个零点，则的取值范围为
D．对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
19．（25-26高三上·北京·期中）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
条件①：；
条件②：图像的一条对称轴是轴；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求的解析式；
(2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
20．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：是的对称中心；
条件③：可以由函数平移得到.
21．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（ ）
A．B．0C．D．1
22．（25-26高三上·上海·期中）已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.
(1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间；
(2)求函数的最小值；
(3)若函数 在内恰有6个零点，求的值.
23．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，且．
(1)求函数的解析式，并写出的最大值；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到的图象，求的单调递减区间．
24．（2026·北京顺义·二模）已知函数，其中.
(1)若，求值；
(2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③
这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值.
条件①：在区间上单调递增；
条件②：；
条件③.
注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
25．（2026·云南·三模）（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．是的一条对称轴
D．对任意的，都存在，使得
26．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．D．是奇函数
27．（25-26高三上·甘肃定西·期中）函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
⑤函数的最小正周期为.
28．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________.
29．（2026·山东青岛·二模）（多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ）
A．B．直线是曲线的对称轴
C．在区间单调递增D．函数是奇函数
30．（2026·吉林白山·模拟预测）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）.
A．的最小正周期为B．在上单调递减
C．图像关于直线对称D．图像关于点对称
考点六 三角函数实际的应用
31．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）：
根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________．
32．（25-26高三上·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟．
(1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式；
(2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值．
33．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟.
(1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）；
(2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值；
(3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？
34．（23-24高三上·内蒙古兴安·期中）如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为
(1)试将表示成关于的函数；
(2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值．
35．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处.
(1)求A，，，b；
(2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？
36．（25-26高三上·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为.
(1)求函数的关系式；
(2)画出函数的大致图象.
1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．（25-26高三上·江西抚州·期中）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
4．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（ ）
A．B．C．0D．
5．（25-26高三上·贵州安顺·期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·北京·期中）若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26高三上·广西钦州·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．
D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数
9．（25-26高三下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．的图象上存在互相垂直的切线
10．（2026·山西·二模）（多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．与直线有三个公共点
C．取得最小值时，
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称
11．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象与的图象重合
D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为
12．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）（多选）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为，
D．方程在上有且只有三个相异实根
13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________．
14．（25-26高三上·浙江·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和的图象相邻的两个交点距离为，则的最小值为_________．
15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域．
16．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值．
(3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围．
17．（25-26高三上·上海·阶段检测）摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米.
(1)求关于的表达式；
(2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值；
(3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围.
18．（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定．
①在处取得最大值；
②是偶函数；
③相邻两个零点之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围．
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
时间时
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深米
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
0
4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0
2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)(k∈Z)，对称中心是点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))(k∈Z)．
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
考点二 求图象变化前后的解析式
考点三 由图象确定函数解析式
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
考点六 三角函数实际的应用
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
1．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度
D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度
【答案】BC
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解．
【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到，
再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误；
对于B，先向左平移个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确；
对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，
再向左平移个单位长度得到
，故C正确．
对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，
再向右平移个单位长度，得到，故D错误．
2．（25-26高三上·广东汕尾·期中）只需要把图象上（ ），即可得到的图象.
A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解.
【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，
再向右平移个单位长度，得到.
3．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】B
【详解】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，
得到新函数的图象，
根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：，
可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象，
B选项正确.
4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度.
5．（25-26高三上·上海·期中）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】因，
故只需要将的图像向左平移个单位长度即得的图象.
6．（2026·河北张家口·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解析：由题可知，又，所以.
考点二 求图象变化前后的解析式
7．（25-26高三上·四川南充·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到，
再向右平移个单位得到.
8．（25-26高三上·北京延庆·期中）把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______.
【答案】
【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解.
【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，
则；
把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，
则.
9．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，
再把图象向右平移个单位长度得：
．
10．（25-26高三上·广东佛山·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】按照和对图象变换的影响写出相应的解析式即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，
得到，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到，
即所得到的图象的函数解析式是.
11．（25-26高三上·安徽安庆·阶段检测）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可.
【详解】将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为．
12．（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到.
所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到.
又，所以.
考点三 由图象确定函数解析式
13．（2026·山西忻州·模拟预测）函数，（，）的部分图像如图所示，则（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】D
【分析】根据图象求得的解析式，进而求得.
【详解】由函数的图像过点，得，即.
又，故或.
由图象可知，函数在右侧附近单调递增，当时，增大，增大，
减小，函数单调递减，与图象矛盾；
当时，增大，增大，增大，
函数单调递增，与图象相符，故.
由图象过点，且该点为轴右侧第一个零点，
，，相位从增加到，
所以，解得，即.
因此，.
代入，得
.
14．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点，中心对称
C．函数在单调递减
D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象
【答案】D
【详解】∵ 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，且，故.
∵ 函数最高点横坐标为，相邻零点横坐标为，二者间隔为，对应个周期，
∴ ，即，故，则.
将最高点代入得，即，
又，故，解得，即.
对选项A：∵ 的最小正周期，不是，∴ A错误.
对选项B：令，，解得，，即函数对称中心为，，与，不一致，∴ B错误.
对选项C：当时，，
∵ 在上单调递减，在上单调递增，
∴ 在上不是单调递减，∴ C错误.
对选项D：将图象向右平移个单位长度，得，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，符合要求，∴ D正确.
15．（25-26高三上·湖南益阳·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．图象的对称中心为点
C．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用图象可求出函数解析式，即可得A；结合正弦型函数对称性计算可得B；借助三角函数平移变换计算可得C；结合三角函数图象及其性质计算可得D.
【详解】对A：由，故，解得，
由图可得，则，由，则，
则，解得，
又，故，故A正确；
对B：由A可得，
令，解得，
故图象的对称中心为点，故B正确；
对C：由题意可得，故C错误；
对D：当时，，
由在区间上的值域为，
即，则，
故有，解得，
故实数的取值范围为，故D正确.
16．（2026高三·全国·专题练习）函数（，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则________．
【答案】
【详解】由函数的部分图象知，，
该函数的最小正周期，因，则．
又时，，
，解得，
，
故．
17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．在区间上单调递增
C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得
D．函数在区间上有且仅有一个零点
【答案】BD
【分析】由三角函数的性质结合图像求出的解析式，由是否为最值可判断A；求出在区间的单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数图像以及对数函数的图像可判断D.
【详解】由图像可知，最高点为，故；
最高点在处，相邻零点在，
设函数的最小正周期为，
因此，所以，
结合可得，；
将代入，即，所以.
结合，解得，因此.
对于选项A.，错误.
对于选项B.令，
解得.
当时，递增区间为，且，故在该区间单调递增，正确.
对于选项C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，变为原来的，得函数为，错误.
对于选项D.的零点即的交点.
当时：，时取等号，，时取等号，无零点；
当时：单调递减，单调递增，函数单调递减，
又，，此处存在1个零点；
当：，而，故，无零点；
当：从上升到，而，恒成立，无零点.
因此在上仅有1个零点，正确.
18．（25-26高三上·广东佛山·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，若，则（ ）
A．
B．当时，函数与有3个交点
C．若，当时，有5个零点，则的取值范围为
D．对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A.利用图像过点，求出角，根据正弦函数性质，及，算出；
B. 构造函数，问题等价转化为求在内零点的个数；
C. 求出的零点的表达式，再考虑第5个零点必须落在区间内或右端点处且第6个零点必须落在区间外；
D. 转化为极差的取值范围.
【详解】A.由题设，其中，，
确定：由图像知点为函数图像与轴交点，且，
故，结合，得，因此，
确定：点均满足，即，
由图像走势分析，为相邻两解，对应相位分别为与，
因，故，，
由，得，解得．
综上，． 由上述推导，，故A正确．
B.判断与在上交点个数，
设 ，分析关键点：
，故在内至少有一个零点，
， ，
故在内至少有一个零点，所以在内至少有两个零点，
又因周期为，在内完成两个完整周期，则在内至少有四个零点，可知两函数交点多于3个，故B错误．
C.设 ，
的零点满足，即，
在区间上恰有个零点，当且仅当，·
即且，解得，故C正确．
D.设区间，其相位变化范围为，
即，区间长度为．
求最大极差：当相位区间关于原点对称，即时，，
此时 ，
求最小极差：当相位区间关于对称，即时，，
此时，
由连续性知极差可取遍中间所有值，故极差取值范围为，
即对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为，故D正确．
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
19．（25-26高三上·北京·期中）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
条件①：；
条件②：图像的一条对称轴是轴；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求的解析式；
(2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)选择条件①④或③④，
(2)
【分析】（1）先化简函数，排除矛盾条件，再分析可行条件组合，确定函数解析式；
（2）先化简，求出零点，结合区间限制确定的取值范围.
【详解】（1），
该函数为奇函数，图像关于原点对称，故条件②不成立，舍去.
若选①③：由③得，即；代入①得，
解得，不唯一，不符合题意.
若选①④：由④得，得；代入①得，得，
函数唯一确定，且.
若选③④：由③得，由④得，函数唯一确定，且.
综上所述，.
（2）.
令，得，即.
在上，零点依次为.
要使在上恰有两个零点，需.
所以的取值范围是.
20．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：是的对称中心；
条件③：可以由函数平移得到.
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可；
【详解】（1）①，由，得；
②，由是的对称中心，得，
则，；
③，由，
因为可以由函数平移得到，
则，.
由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知，，，，
则，即，
所以或，，
则或，，
又，则，即.
选②③，由上述可知，，，，，
则，，即，，
又，则，即.
（2）由，得，
则，则，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
21．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】先利用函数过已知点求解，再根据零点的最小距离求解，最后代入计算函数值.
【详解】因为 图象过点，
所以 ，所以，
因为，所以，
令 ，所以，
所以，或,
解得，或,
相邻零点的最小距离是，
由题意的任意两个零点，之间距离的最小值为，
所以，所以，所以，
所以.
22．（25-26高三上·上海·期中）已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.
(1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间；
(2)求函数的最小值；
(3)若函数 在内恰有6个零点，求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式；
（2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值；
（3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围.
【详解】（1）由题意，最小正周期，则，
由，可得
又，所以，，所以，
令，,解得：，，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由题意得，
，
所以的最小值为，当，即；
（3），
令，可得，令，得，
由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号，
不妨设，
若，则，无解，在内有四个零点，不符题意；
若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，
此时；
若在有4个零点，故在内应恰有2个零点，
，此时，
综上所述，或．
23．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，且．
(1)求函数的解析式，并写出的最大值；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到的图象，求的单调递减区间．
【答案】(1)，最大值为
(2)
【分析】（1）根据周期可求，由可得，即可求出解析式，得到最大值；
（2）由平移变换公式得到，再根据整体法即可求解单调区间．
【详解】（1），解得，
，，又，
，
则，最大值为；
（2）将函数的图象向左平移个单位，
得到，
令，解得，
故的单调递减区间为．
24．（2026·北京顺义·二模）已知函数，其中.
(1)若，求值；
(2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③
这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值.
条件①：在区间上单调递增；
条件②：；
条件③.
注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在.
【分析】先利用两角和的正弦公式将函数化简为，代入得到关于的三角函数方程，结合的取值范围即可求解.
先根据的单调性、的条件，得到的取值范围与、的等式关系，再结合所选补充条件建立方程，联立求解验证是否能得到唯一的、 值即可.
【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得 .
∵ ，且，
∴ .
（2）由题意 ，
∴ ，即 ，.
又在区间上单调递减，该区间长度为，
正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得.
选择条件①：在区间上单调递增，
同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值，
∴ ，即 ，.
联立，
两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得，
代入 得，
因为，解得.
此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定.
选择条件②： ，
已知 ，由得：
，即 ， ---（1）
又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得.
由条件② 得：
，即 ， ---（2）
（1）-（2）得 ，即， .
结合，仅时符合要求，代入（1）得，解，
因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定.
选择条件③：
由条件③得 ，即 ， ---（3）
联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， .
结合：
时，不符合要求；
时，代入（3）得，因为，所以，
此时，当时，，不满足单调递减的要求；
时，不符合的要求，故条件③不满足要求.
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
25．（2026·云南·三模）（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．是的一条对称轴
D．对任意的，都存在，使得
【答案】ACD
【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.
【详解】对于A，根据题意得，，
因为的图象与的图象关于轴对称，所以，
即，
可得或，
因,则得，又因，所以，故A正确；
对于B，由A得，所以，故B错误；
对于C，由，可得，当时，，故C正确；
对于D，当时，，此时，
而当时，，此时
所以，故D正确.
26．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．D．是奇函数
【答案】AC
【分析】根据周期公式判断A；根据正弦函数的图像判断B；根据函数平移与解析式关系判断C；根据诱导公式判断D．
【详解】由题知，，
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，
因为在上不单调，
所以在上不单调，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以为偶函数，故D错误．
27．（25-26高三上·甘肃定西·期中）函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
⑤函数的最小正周期为.
【答案】①②③
【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断.
【详解】因为
对于①：当时，为函数的最小值，
故图象关于直线对称，即①正确；
对于②：因为，
所以图象C关于点对称；故②正确；
对于③：令，
解得：，
所以的递增区间为，
当时，是的一个递增区间，故③正确；
对于④：的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误.
对于⑤；因，可理解为将函数的图象向上平移1个单位长度，
再保持轴上方部分不变，并将轴下方部分沿着轴向上翻折得到，
故其周期并非的周期的一半，即⑤错误.
28．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________.
【答案】 2 （答案不唯一，满足即可）
【分析】由图可知，即可得；根据图象可知函数的对称轴为，结合图象平行求函数的图象的对称轴方程.
【详解】设函数的最小正周期为，
则，即，
且，则，所以；
由图可知：为函数的对称轴，
结合函数的周期可知函数的对称轴为，
又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以函数的图象的对称轴方程为，
所以的图象的一条对称轴方程为.
29．（2026·山东青岛·二模）（多选）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ）
A．B．直线是曲线的对称轴
C．在区间单调递增D．函数是奇函数
【答案】BCD
【分析】利用图象的平移可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可.
【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确，
的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确；
令，解得：，
当时，，所以在区间单调递增，故C正确；
，
所以函数是奇函数，故D正确.
30．（2026·吉林白山·模拟预测）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）.
A．的最小正周期为B．在上单调递减
C．图像关于直线对称D．图像关于点对称
【答案】A
【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D.
【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的，
可得.
选项A，的，最小正周期，A正确；
选项B，当时，，在单调递增，
在单调递减，故在不是单调递减，B错误；
选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入：
，因此不是对称轴，C错误；
选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入：
，因此不是对称中心，D错误.
考点六 三角函数实际的应用
31．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）：
根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长.
【详解】如图所示，作出符合题意的图象，
由函数图象可知，周期，
所以，函数解析式为，
把代入得 ，
而，
所以，函数解析式为；
由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，
安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，
那么港口水深要不低于米才安全，
则令，得 ，
，
当时，货船停靠的时长为；
当时，，
可得货船停靠的时长为；
当时，不存在符合实际意义的解；
所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为.
32．（25-26高三上·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟．
(1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式；
(2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)米.
【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解.
（2）由（1）及求出值.
（3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意，设，
由，得，由，，得，而，
则，由转一周需要24分钟，得，解得，
所以.
（2）由，得，当时，，
解得或，即或，
所以或.
（3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔，
则甲、乙两人距离地面的高度分别为，
因此，
当时，，则当，即时，，
所以H的最大值为米.
33．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟.
(1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）；
(2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值；
(3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？
【答案】(1)，定义域为；
(2)或或；
(3).
【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可.
（2）令，结合正弦函数的性质计算可得.
（3）由（1）的结论，解不等式即可.
【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为（， ），
依题意，，，，函数的最小正周期，
则，当时，点距地面米，即，
则，而，解得，
所以所求函数式为，定义域为．
（2）由，得，整理得，
由，得，则或或，
解得或或，
所以或或时，1号座舱与地面的距离为17米.
（3）由，得，整理得，
由，得，则，解得，
所以在前24分钟内，“美景期”的时间为.
34．（23-24高三上·内蒙古兴安·期中）如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为
(1)试将表示成关于的函数；
(2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意设，根据题意得到、，由周期求出，再由时求出，即可得解；
（2）令，根据余弦函数的性质解得，从而求出一个周期内观看时长，即可得解.
【详解】（1）因为摩天轮距离地面高度是周期变化，且与三角函数有关，
不妨设开始转动后距离地面的高度，
由题可知，，，
所以，，
因为，解得，此时，
因为时，代入有,
解得，
故
.
（2）令，即，
即，
解得，
所以一个周期内可观看无人机表演的时间有，
因为摩天轮转动一圈，无人机表演共持续，
，即摩天轮再次期间恰好转圈，所以，
即乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值为.
35．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处.
(1)求A，，，b；
(2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？
【答案】(1)；
(2)4s
【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值；
（2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间.
【详解】（1）根据意义可知，即，解得；
因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以；
由点P的起始位置在最低点处，即可知时，，
即，可得，又，所以.
（2）由（1）可知；
令，可得，即，
因此可得
由题意可得，所以，
因此或，
解得，所以；
即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米.
36．（25-26高三上·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为.
(1)求函数的关系式；
(2)画出函数的大致图象.
【答案】(1)
(2)作图见解析
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设点的坐标为，可得，设，可得，由周期可得，进而求解即可；
（2）根据函数表达式画出图象即可.
【详解】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系.
过点作轴的垂线段，垂足为，连接.
设点的坐标为，则.
设，则，所以.
又，即，所以，
则.
（2）函数的大致图象如图所示.
1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】由的最小正周期，，
得，
即，
因此它的图像可由的图像向左平移个单位长度得到．
2．（25-26高三上·江西抚州·期中）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移变换，采用逆变换法求出的解析式，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】根据逆变换法，将的图象向左平移个单位，得到，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.
.
3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】A
【详解】先将向左平移个单位，可得，
再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得的图象，故A正确.
4．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【详解】由图可得解析式，然后由周期性可得答案.
【点睛】由图可得最小正周期为，则，又，则.
又由图可得，则，取，得，
从而，.
结合最小正周期为4，，则.
5．（25-26高三上·贵州安顺·期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可．
【详解】如图，
由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和，
又，所以，
因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ，
所以 ，即，故，
由图象可得，所以，则，
又 ，所以 ，则，
又，所以．
6．（25-26高三上·北京·期中）若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解.
【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称，
所以，所以，所以.
7．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，再结合已知得出，由方程有三个不等的实根，得出方程有两解，结合的图像即可求解．
【详解】，
因为在曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为，
所以，所以，
，则或，
画出函数在之间的图象，
观察图象可得方程在内有且只有一个根，
又方程有三个不等的实根，所以方程有两解，
由在的图象可得，．
8．（25-26高三上·广西钦州·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．
D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数
【答案】ACD
【详解】选项A：由图象可知，的最小正周期为，
所以，解得；
选项B、C：由图象可知，，即，
解得，即，
因为，所以，即，
所以；
选项D：设，
，所以是偶函数.
9．（25-26高三下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．的图象上存在互相垂直的切线
【答案】BC
【详解】依题意，，解得，A选项错误；
又，解得，B选项正确；
由A，B可知，，且，所以的图象关于点对称，C选项正确；
易知，因此切线斜率取值范围为，
即不存在两条直线斜率乘积为，所以D选项错误.
10．（2026·山西·二模）（多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．与直线有三个公共点
C．取得最小值时，
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；求出函数解析式，根据正弦函数的性质判断B和C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D.
【详解】由图象得：，解得，故A正确；
由，，得，又，将点代入中得：
，即，，解得，.
又，，
函数.
与只有一个公共点，
与只有一个公共点，
与只有一个公共点，
与只有一个公共点，故B错误；
令，即，，
解得，，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度，得，
，图象不关于轴对称，故D错误.
11．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象与的图象重合
D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，由关于直线对称得计算即可；对于B，根据余弦函数单调性判断即可；对于C，根据平移变换得出解析式与解析式比较即可；对于D，由图象关于y轴对称得计算即可.
【详解】对于A，函数与函数的图象关于直线对称，
则，所以，
所以，又因为，所以，A正确；
对于B，由A可知，当时，，
故在上单调递减，B错误；
对于C ，，
与的图象不重合，C错误；
对于D，，
若的图象关于y轴对称，则满足,
所以，由可知，的最小值为，故D正确.
12．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）（多选）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为，
D．方程在上有且只有三个相异实根
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数和的解析式，再利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，
然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，
因为的最小正周期为，所以，解得，即，
又为偶函数，所以，解得，
又，所以，
所以，.
对于A，，所以的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，即，
所以，解得，，
所以的解集为，，故C正确；
对于D，由，得，即，
所以，即，
所以，解得，
因为，所以，所以方程在上有且仅有3个相异实根，故D正确.
13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________．
【答案】
【分析】由图可得解析式，再利用三角函数性质计算即可得解.
【详解】由图可得，，则，故，
，解得，
由，故，则，
由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，
则，解得.
14．（25-26高三上·浙江·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和的图象相邻的两个交点距离为，则的最小值为_________．
【答案】
【详解】令函数和的相邻两个交点分别为，不妨令在的上方，
，它们的最小正周期都为，且，
由，得，而，则，，
因此，所以的最小值为．
15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图像依次确定，，的值，从而得出函数解析式；
（2）根据三角函数恒等变换，将函数化简，结合正弦函数的图像和性质，即可求出函数在上的值域.
【详解】（1）由图可得，，，
，，则，
又，则，
解得，，
，，；
（2）由题意得，
．
，，则当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，的取值范围为.
16．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值．
(3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，；，
(3)
【分析】（1）先根据最值得出，再根据周期得出，最后代入点结合求值得出解析式；
（2）应用换元法结合正弦函数最值求解；
（3）先根据平移得出解析式，再结合正弦函数图象及方程的解列式计算求解.
【详解】（1）由图知，，函数的最小正周期满足，
则，所以，
又因为图象过点，所以，可得；
而，则，
于是．
（2）因为，所以，
则当时，即当时，，
当时，即当时，；
（3）的图象向右平移个单位长度得到，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到.
由，可得，
因为在上有两个解，所以与在上有两个交点，
作出函数的图象.
由图知,，解得，
即a的取值范围为．
17．（25-26高三上·上海·阶段检测）摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米.
(1)求关于的表达式；
(2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值；
(3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，，结合题意与三角函数性质计算即可得解；
（2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得；
（3）利用三角恒等变换公式计算即可得.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，
设，，
由题得，解得，
又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以，所以，.
又当时，小朱位于点，以为终边的角为，所以，
所以，，
即，.
（2）设小毛距离地面的高度为，则，，
令，可得，即，
所以，或，（舍去），
即，，又，当时，.
（3）令，则，，
所以，
当，，即，时，.
又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，
所以，即的取值范围是.
18．（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定．
①在处取得最大值；
②是偶函数；
③相邻两个零点之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围．
【答案】(1)选①③，；
选②③，；
(2)选①③，；
选②③，．
【分析】先对解析式利用降幂公式，两角和与差公式，进行化简，利用所给条件求出参数的值，得到的解析式，利用图象的变换得到的解析式，利用整体代换的思想，根据正弦函数的图象零点分布情况，计算参数t的取值范围．
【详解】（1）
；
选①②
因为在处取得最大值，故；
又因为为偶函数，则关于对称，
则，
式与式相加即可得，
因为，则，解得；
则，解得，因为，
故，故的值不唯一，故不选①②.
选①③
因为在处取得最大值，故；
因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得；
代入可得：，解得，
因为，故，；
故的解析式为；
选②③
因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得；
又因为为偶函数，则关于对称，
则，即，
因为，故，；
故的解析式为；
（2）选①③，
由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得，
当时，；
因为在区间上恰有3个零点，
故，解得；
故t的取值范围为；
选②③
由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得，
当时，；
因为在区间上恰有3个零点，
故，解得；
故t的取值范围为．振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
时间时
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深米
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
0