2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶3　分类讨论学案含解析

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题型一 变号函数为一次、二次函数
例1 (2026·南通模拟)已知函数f(x)=1+x1−x·e-x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈(0，1)，恒有f(x)>eax，求实数a的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，
所以f'(x)=1+x1−x'·e-x+1+x1−x·(e-x)'=2(1−x)2·e-x+1+x1−x·(-e-x)=x2+1(1−x)2·e-x>0，
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，(1，+∞)，无单调递减区间.
(2)因为∀x∈(0，1)，恒有f(x)=1+x1−x·e-x>eax，
即1+x1−x>e(a+1)x，
所以ln1+x1−x>(a+1)x，
即(a+1)x-ln(1+x)+ln(1-x)0，
g(x)在0，a−1a+1上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，不满足题意.
综上，实数a的取值范围是(-∞，1].
思维升华 变号函数为二次函数时，变号函数为0的方程一般有两个不同实数根x1，x2(无根情况下二次函数恒正或恒负)，理论上要分x1>x2，x10，求实数a的取值范围.
解 (1)∵f(x)=lnxa-ax，
∴f'(x)=1x-a=−ax+1x.
∵直线y=-1与曲线y=f(x)相切，
设切点坐标为(t，f(t))，则f'(t)=0,f(t)=−1,
即−at+1t=0,lnta−at=−1,解得a=±1.
(2)当a>0时，由xa>0得x>0，
∴f(x)的定义域为(0，+∞).
由f'(x)=−ax+1x得，当x∈0，1a时，f'(x)>0，
当x∈1a，+∞时，f'(x)0，
∴f(x)max=ln1a2-1>0，
结合a>0，解得00，得x0恒成立，
所以m(x)在(-∞，0)上单调递增，
又a∈Z，且m(-1)=0+1=1>0，
m(-2)=ln12+120，f(x)单调递增，
当x∈(1，e2)时，f'(x)0，f(x)单调递增，
当x∈(ea-2，ea)时，f'(x)0，t-10，
所以f'(x)=cs3x+cs2x−2cs3x0，
即p(x)=g'(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以g'(x)>g'(0)=0，
故g(x)=f(x)-x在(0，+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，
则f(x)>x>0在(0，+∞)上恒成立.
方法二 f'(x)=ex-sin x>0恒成立，
即f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0.
综上，函数f(x)只有一个零点为x=0，得证.
(3)解 由题意，当x∈(0，+∞)时，
ex+cs x-2>ax-sin x恒成立，
所以当x∈(0，+∞)时，h(x)=ex+cs x+sin x-2-ax>0恒成立，
而h'(x)=ex-sin x+cs x-a，
令φ(x)=h'(x)，x>0，
则φ'(x)=ex-cs x-sin x，
对于m(x)=ex-x-1，x>0，
则m'(x)=ex-1>0，
所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，
则m(x)>m(0)=0，可得ex>x+1，
对于n(x)=x-sin x，x>0，
则n'(x)=1-cs x≥0，
所以n(x)在(0，+∞)上单调递增，
则n(x)>n(0)=0，可得x>sin x，
综上，ex>x+1>sin x+cs x，
则φ'(x)>0，
即φ(x)=h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以h'(x)>h'(0)=2-a，
当a≤2时，h'(x)>0，
即h(x)在(0，+∞)上单调递增，
此时h(x)>h(0)=0，满足题意；
当a>2时，h'(0)=2-af 1e=12e2+1，f(1)=12，
所以f(x)的最大值为e22-1，最小值为12.
(2)f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=(x−a)(x+1)x，a>0，
当00，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(a)=-a22-aln a+a，
又因为f(x)≥-e22恒成立，
所以-a22-aln a+a≥-e22，
令h(a)=-a22-aln a+a，a>0，
则h'(a)=-a-ln a，显然h'(a)在(0，+∞)上单调递减，且h'12=-12+ln 2>0，h'(1)=-10；
当a>a0时，h'(a)0>-e22，符合题意；
当a∈(1，+∞)时，h(a)单调递减，且h(e)=-e22，因此a∈(1，e].
综上，a的取值范围为(0，e].
2.(17分)已知函数f(x)=x2-2x-aln x，g(x)=ax.
(1)讨论函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性；(7分)
(2)若不等式sinx2+csx≤g(x)对任意x≥0恒成立，求a的取值范围.(10分)
解 (1)F(x)=x2-2x-aln x+ax，定义域为(0，+∞)，
F'(x)=2x2+(a−2)x−ax=(2x+a)(x−1)x.
①当-a2≤0，即a≥0时，
令F'(x)0，则01，即a