2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶2　参数半分离与主元变换学案含解析

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题型一 参数半分离
例1 (1)已知函数f(x)=xex-x-ax2.当x≥0时，f(x)≥0，则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞，1]
解析 当x=0时，f(x)≥0恒成立，a可以取任意实数；
当x>0时，由于f(x)≥0恒成立，
所以ex-1-ax≥0，
即ex≥1+ax恒成立，
由于函数y=ex在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，
函数y=1+ax过定点(0，1)，
所以a≤1.
综上，实数a的取值范围是(-∞，1].
(2)(2025·豫西北教研联盟模拟)已知函数f(x)=x+e-x，若存在实数x，使得f(x)=ax成立，则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞，1-e]∪(1，+∞)
解析 因为函数f(x)=x+e-x，若存在实数x，使得f(x)=ax成立，
则存在实数a，使得e-x=(a-1)x能成立，
由于y=e-x过原点的切线方程为y=-ex，
所以a-1≤-e或a-1>0，
所以a≤1-e或a>1.
思维升华 当不能把参数完全分离时，有可能不容易画出图象，或者指数型函数与对数型函数混合在一起，这个时候可以利用参数半分离转化为过定点的一系列旋转直线，或平行直线，与其他函数图象的交点问题.
跟踪训练1 (1)若不等式aln x-x+1≤0恒成立，则实数a的取值集合为 .
答案 {1}
解析 ∵不等式aln x-x+1≤0恒成立，
∴aln x≤x-1恒成立，x>0，
当a≤0时，显然不恒成立；
当a>0时，原不等式等价于ln x≤1a(x-1)恒成立，
由于y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1，其图象如图所示，
∴要使ln x≤1a(x-1)恒成立，
只需1a=1，即a=1，
∴实数a的取值集合为{1}.
(2)已知函数f(x)=x2−2ax+2a,x≤1,ex−ax,x>1,a∈R，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.[0，1]B.[0，2]
C.[1，e]D.[0，e]
答案 D
解析 当x≤1时，由x2-2ax+2a≥0恒成立，二次函数的对称轴为直线x=a，
①当a≥1时，f(x)在(-∞，1]上单调递减，
则f(x)min=f(1)=1>0恒成立，
②当a0，所以函数f(b)在0，32上单调递增，
所以f(b)0，
所以h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(e2)=2-2e2，所以b≤2-2e2，
故b的取值范围为−∞，2−2e2.
课时精练
[分值：34分]
1.(17分)已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R，其中e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在定义域内有唯一零点，求a的取值范围；(7分)
(2)若f(x)≤x2ex对x∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围.(10分)
解 (1)f'(x)=ex-a.
①当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在R上单调递增.
又f(-1)=1e-1+a0，
由函数零点存在定理可知，函数f(x)在R上有唯一零点，故a≤0符合题意.
②当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln a.
当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)0时，因为y=e2x在(0，+∞)上单调递增，y=-ax在(0，+∞)上单调递增，
所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f'(a)>0，当b满足00，h'(x)=2e-2e2x，
所以h(x)在0，12上单调递增，在12，+∞上单调递减，
h(x)max=h12=0，
所以g(a)max≤0，得证.
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