2027年高考数学一轮复习第七章　§7.2　球的切、接问题学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第七章　§7.2　球的切、接问题学案含解析，共11页。学案主要包含了正方体与球，长方体与球，正棱锥与球，直棱柱的外接球，圆柱的外接球，圆锥的外接球等内容，欢迎下载使用。

一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高).
三、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
四、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=ℎ22+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r).
五、圆柱的外接球
R=ℎ22+r2(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
六、圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
题型一 外接球
命题点1 定义法
例1 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC将△ACD折起，使点D到达点P(P∉平面ABC)的位置，连接BP，形成四面体PABC.则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为( )
A.125π12B.125π9
C.125π6D.125π3
答案 C
解析 如图，在原矩形ABCD中，因为AB=4，BC=3，
所以DB=AC=5，设DB与AC交于点O，
则O是Rt△ABC和Rt△DAC的外心，
所以OA=OB=OC=OP=52，
所以O为四面体PABC的外接球的球心，且外接球半径R=52，
则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为V=43πR3=43×π×523=125π6.
命题点2 补形法
例2 (1)(2026·宝鸡模拟)已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=23，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )
A.28πB.77πC.14πD.287π3
答案 D
解析 将三棱锥P-ABC补形成直三棱柱，如图，其中O'为△ABC外接圆的圆心，O为所得三棱柱外接球的球心，也即三棱锥P-ABC外接球的球心，
则OO'⊥平面ABC，OO'=3，
则2·O'A=BCsin∠BAC=2sin30°=4，
所以O'A=2，
则外接球的半径R=OA=OO'2+O'A2=7，
所以三棱锥P-ABC的外接球的体积
V=43πR3=287π3.
(2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的表面积是 .
答案 8π
解析 将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则a2+b2=5，a2+c2=7，b2+c2=4，
则a2+b2+c2=8，
因为球O的直径即为长方体的体对角线，
则球O的半径为a2+b2+c22=2，
所以球O的表面积是4π×(2)2=8π.
命题点3 垂面法
例3 (2025·哈尔滨模拟)在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为26的正方形，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A.5πB.10πC.28πD.56π
答案 D
解析 如图所示，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点E，连接O1E，SE，
由题意知，O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，O1E⊂平面ABCD，
所以O1E⊥平面SAD，
同理可得SE⊥平面ABCD，
设等边△SAD的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，2条直线交于点O，
则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，
所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心，
设外接球的半径为R，
在等边△SAD中，由正弦定理得26sinπ3=2SO2，
解得SO2=22，
又因为OO2=12AB=6，
所以R=OS=SO22+OO22=(22)2+(6)2=14，
所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为4πR2=4π×(14)2=56π.
思维升华 空间几何体外接球问题常见解法
(1)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上.特殊几何体(正棱锥、直棱柱、正棱台等)的外接球的球心，常用定义法.
(2)补形法：满足下列条件的可以补成长方体
①(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.
②三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.
③(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.
(3)垂面法：找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
跟踪训练1 (1)(2025·黔南模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=AA1=2，AB=4，则该正四棱台的外接球的半径为( )
A.5B.10C.25D.10
答案 B
解析 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，取AC，A1C1的中点分别为F，M，连接MF(图略)，设正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的球心为O，半径为R，则点O在直线MF上，
由A1B1=AA1=2，AB=4，
所以A1M=12×22+22=2，AF=12×42+42=22，MF=22−(22−2)2=2，
若球心O在棱台内部，
所以R2=OF2+AF2=(MF-OF)2+A1M2，
即OF2+(22)2=(2-OF)2+(2)2，
解得OF=-2，不符合题意，
所以球心O在棱台外部，
所以R2=OF2+AF2=(OF+MF)2+A1M2，
即OF2+(22)2=(OF+2)2+(2)2，解得OF=2，
所以R2=(2)2+(22)2=10，故R=10，
故该正四棱台的外接球的半径为10.
(2)(2025·鹤壁模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的体积为 .
答案 55π6
解析 如图，设E是BC的中点，连接AE，DE，△BCD的外心为O1，△ABC的外心为O2，O是三棱锥外接球的球心，
由于△ABC和△BCD都是边长为3的等边三角形，
所以AE⊥BC，DE⊥BC，
AE=DE=(3)2−322=32，
且O1，O2分别在DE，AE靠近点E的三等分点处，
则EO1=EO2=13DE=12，O1D=23DE=1，
根据二面角A-BC-D的大小为90°及球的性质可知，
OO1⊥平面BCD，OO2⊥平面ABC，∠AED=90°，
所以OO1⊥DE，OO2⊥AE，AE⊥DE，
由于EO1=EO2，
所以四边形OO1EO2是正方形，OO1=EO1=12，
设三棱锥外接球的半径为R，
则R=OD=OO12+O1D2=122+12=52，
所以外接球的体积为43πR3=4π3×523=55π6.
题型二 内切球与棱切球
命题点1 内切球
例4 圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的内切球的表面积为( )
A.πB.2πC.4πD.8π
答案 D
解析 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高h=32−(2−1)2=22，
则该圆台的内切球的半径r=ℎ2=2，
故内切球表面积S=4πr2=8π.
命题点2 棱切球
例5 一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为( )
A.43πB.4πC.42πD.3π
答案 B
解析 如图所示，
因为正四棱锥底边边长为2，高为2，
所以OB=2，SB=2，
O到SB的距离为d=SO×OBSB=1，
同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1，
所以O为球的球心，所以球的半径为1，
所以球的表面积为4π.
思维升华 多面体内切球的球心与半径的确定
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.
跟踪训练2 (1)(2026·绵阳模拟)四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，则该四棱锥的内切球的半径为( )
A.56B.36C.33D.32
答案 C
解析 因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，设底面中心为O，则四棱锥的内切球球心在PO上，且PO=(5)2−222=3，
设内切球的半径为r，在△PBC中，PB=PC=5，BC=2，则cs∠BPC=5+5−42×5×5=35，
sin∠BPC=1−cs2∠BPC=45，
所以S△PBC=12×5×5×45=2，
所以四棱锥的表面积为S=4×2+22=12，
由V四棱锥P-ABCD=13S四边形ABCD·PO=13Sr，
即13×22×3=13×12×r，所以r=33，
故该四棱锥的内切球的半径为33.
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为23，高为4，若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，则球O1的表面积为 ；若在该正三棱柱里面放一个球O2，则球O2的最大体积为 .
答案 16π 4π3
解析 若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，
即O1到三条侧棱的距离相等，
则球O1的半径即为底面△ABC的外接圆半径R，
又2R=23sin60°=4，∴R=2，
∴球O1的表面积为4πR2=16π.
设底面△ABC的内切圆半径为r，
∴r=23×32×13=1，
∴与该正三棱柱三个侧面相切的球的半径r'=1