新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.2球的切、接问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.2球的切、接问题（含答案解析），共18页。学案主要包含了正方体与球，长方体与球，正四面体的外接球，正棱锥与球，直棱柱的外接球，圆柱的外接球，圆锥的外接球等内容，欢迎下载使用。

一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R＝体对角线长a2+b2+c2(a，b，c分别为长方体的长、宽、高).
三、正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝63a，R＝64a，r＝612a，R∶r＝3∶1.
四、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥＝13S表·r＝13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
五、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2＝ℎ22+r2(直棱柱的外接球半径为R，高为h，底面外接圆半径为r).
六、圆柱的外接球
R＝ℎ22+r2(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
七、圆锥的外接球
R2＝(h－R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
题型一 特殊几何体的切、接问题
例1 (1)(2024·渭南模拟)已知正三棱锥S－ABC，高为22，AB＝2，则其内切球与外接球的半径之比为( )
A.13B.25C.27D.49
(2)(2025·哈尔滨模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝2π3，则球O的表面积为( )
A.16πB.20πC.28πD.32π
思维升华 特殊几何体的内切球、外接球问题，主要是利用球的定义找球心，然后利用解三角形求半径；对于棱锥的内切球的半径，可利用等体积法求.
跟踪训练1 (1)(2024·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为2，母线长为22，则这个圆锥的内切球半径为( )
A.263B.33C.233D.63
(2)(2024·菏泽模拟)已知正三棱台的上、下底面边长分别为23，43，体积为423，则该正三棱台的外接球表面积为( )
A.20πB.803πC.80πD.16053π
题型二 补形法
例2 (1)(2025·宝鸡模拟)已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC＝30°，BC＝2，PA＝23，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为( )
A.28πB.77πC.14πD.287π3
(2)已知三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝7，SC＝AB＝5，则球O的表面积是 .
思维升华 常见的补体
(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，补成长方体，如图①.
(2)有一条侧棱垂直于底面的棱锥，补成直棱柱，如图②.
(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，补成长方体，则每组对棱为长方体的面对角线，如图③.
跟踪训练2 (1)(2024·辽阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，AD＝4，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A.34πB.234πC.34πD.136π
(2)(2024·唐山模拟)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA＝CB＝PA＝2，AC⊥BC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为( )
A.23πB.33πC.43πD.123π
题型三 垂面法
例3 (2024·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，则球O的表面积为( )
A.16π3B.8πC.28π3D.12π
思维升华 找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
跟踪训练3 (2024·武汉模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为23的正方形，侧面APB⊥底面ABCD，△APB为正三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为( )
A.40πB.28πC.287π3D.16π
答案精析
探究核心题型
例1 (1)C [由题意可知，正三棱锥S－ABC的顶点S在底面△ABC内的投影为△ABC的中心P，如图，
设内切球半径为r，外接球球心为O，半径为R，
∴CD＝32×2＝3，
∴CP＝23CD＝233，
DP＝13CD＝33，
∴SD＝SP2+DP2
＝(22)2+332＝533，
∴S△SAB＝12×2×533＝533，S△ABC＝12×2×2×32＝3，
∴S表面积＝3S△SAB+S△ABC＝63，
V三棱锥S－ABC＝13×3×22
＝13×63×r⇒r＝23，
又在Rt△COP中，
OC2＝CP2+OP2，
∴R2＝2332+(22－R)2
⇒R＝726，∴rR＝23726＝27.]
(2)B [如图所示，设底面△ABC的外接圆的圆心为O1，底面△A1B1C1的外接圆的圆心为O2，在△ABC中，
由余弦定理得
BC＝1+1−2×1×1×cs 2π3
＝3，
设底面△ABC的外接圆的半径为r，
由正弦定理得2r＝BCsin∠BAC＝2，即O1A＝1，
又直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心为O，设外接球的半径为R，
在Rt△OO1A中，
可得R＝O1A2+OO12
＝O1A2+O1O222＝12+22＝5，
所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×(5)2＝20π.]
跟踪训练1 (1)D [设圆锥的高为h，
因为圆锥的底面半径r＝2，
母线长l＝22，
则h＝(22)2−(2)2＝6，
易知圆锥的轴截面为等边三角形，
设圆锥的内切球半径为R，则(6−R)2＝R2+(2)2，
解得R＝63.]
(2)C [设给定的正三棱台为正三棱台ABC－A1B1C1，即A1B1＝23，AB＝43，
设正△A1B1C1，
正△ABC的中心分别为O1，O2，
而S△A1B1C1＝34×(23)2＝33，
S△ABC＝34×(43)2＝123，
则正三棱台的体积V＝13×(33+33×123+123)·O1O2＝423，解得O1O2＝6，
△A1B1C1的外接圆半径r1＝23×32×23＝2，
△ABC的外接圆半径r＝4，
显然正三棱台的外接球球心O在直线O1O2上，
设外接球半径为R，OO1＝x，
则OO2＝|6－x|，
因此R2＝x2+22＝(6－x)2+42，
解得x＝4，R2＝20，
所以该正三棱台的外接球表面积
S＝4πR2＝80π.]
例2 (1)D [将三棱锥P－ABC补形成直三棱柱，如图，其中O'为△ABC外接圆的圆心，O为所得三棱柱外接球的球心，也即三棱锥P－ABC外接球的球心，
则OO'⊥平面ABC，OO'＝3，
则2·O'A＝BCsin∠BAC＝2sin30°＝4，
所以O'A＝2，
则外接球的半径R＝OA＝
OO'2+O'A2＝7，
所以三棱锥P－ABC的外接球的体积V＝43πR3＝287π3.]
(2)8π
解析 将三棱锥S－ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则
a2+b2＝5,a2+c2＝7,b2+c2＝4,
则a2+b2+c2＝8，
因为球O的直径即为长方体的体对角线，
则球O的半径为
a2+b2+c22＝2，
所以球O的表面积是4π×(2)2＝8π.
跟踪训练2 (1)C [将四棱锥P－ABCD补形成分别以AD，AB，AP为长、宽、高的长方体(图略)，则该四棱锥的外接球即补形后长方体的外接球，外接球的半径为长方体体对角线的一半，
即12×32+32+42＝342，
所以外接球表面积为34π.]
(2)C [依题意，将三棱锥P－ABC补形成正方体，如图，
则该正方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球，
因为CA＝CB＝PA＝2，则该正方体的体对角线的长为23，所以外接球的直径2R＝23，R＝3，
则外接球的体积V＝43πR3＝43π.]
例3 C [如图，取BC的中点E，BD的中点F，所以F为△BCD的外心，
连接AE，EF，设△ABC的外心为G，
因为AB＝BC＝AC＝2，
即△ABC为等边三角形，
所以点G在AE上，连接OG，OF，
则OG⊥平面ABC，
OF⊥平面BCD，
因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，
因为△ABC为等边三角形，
E为BC的中点，
所以AE⊥BC，
因为平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC，
AE⊂平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF，
又EF⊂平面BCD，所以AE⊥EF，
同理EF⊥平面ABC，
所以EF∥OG，
故四边形OGEF是矩形.
由BC⊥CD，可得
BD＝BC2+CD2＝22，
故DF＝2，又OF＝EG＝13AE
＝13ABsin 60°＝33，
设球O的半径为R，
则R2＝OD2＝OF2+FD2＝73，
所以球O的表面积
S＝4πR2＝28π3.]
跟踪训练3 B [如图，取△APB的外接圆圆心为O1，底面ABCD的外接圆圆心为O2，作OO1⊥平面APB，OO2⊥平面ABCD，则O为外接球的球心，
依题意AB＝23，∠APB＝60°，
设△APB外接圆的半径为r，四棱锥P－ABCD的外接球的半径为R，
则2r＝ABsin∠APB＝2332＝4，即r＝2，
又侧面APB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
侧面APB∩底面ABCD＝AB，AB⊥AD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面APB，
易知OO1∥AD且OO1＝AD2，
所以R＝r2+AD22
＝22+(3)2＝7，
所以四棱锥P－ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝28π.]