2027年高考数学一轮复习第七章　§7.5　空间直线、平面的垂直学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第七章　§7.5　空间直线、平面的垂直学案含解析，共18页。

1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：0，π2.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( × )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
2.(2025·重庆模拟)已知α，β为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是( )
A.若m∥n，n⊂α，则m∥α
B.若m∥α，n⊥α，则m⊥n
C.若m∥β，α⊥β，则m⊥α
D.若α⊥β，n⊂α，则n⊥β
答案 B
解析 A选项，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误；
B选项，若m∥α，则在α内存在直线l，使得m∥l，
又n⊥α，l⊂α，故n⊥l，则m⊥n，所以B选项正确；
C选项，若m∥β，α⊥β，则可能m⊂α或m∥α或m与α相交，所以C选项错误；
D选项，若α⊥β，n⊂α，则可能n⊂β或n∥β或n与β相交，所以D选项错误.
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是( )
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形
答案 ABD
解析 因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
则AC⊥PC，即∠PCA=90°，
而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，
所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误.
4.(2026·北京模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为π4，则棱AA1的长为 ；二面角B-DD1-C的大小为 .
答案 2 π4
解析 由题意，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
四边形ABCD是边长为1的正方形，且D1B与平面ABCD所成的角为π4，
所以D1D⊥平面ABCD，
因为DB⊂平面ABCD，
所以D1D⊥DB，
故D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD=π4，
所以△D1DB为等腰直角三角形，D1D=DB=2，
所以AA1=2.
又因为DC⊥DD1，且平面BDD1∩平面DD1C=DD1，
所以二面角B-DD1-C的平面角为∠CDB=π4.
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T15)已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.
证明 作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，如图，
PE⊥AB，PF⊥AC，∠PAE=∠PAF，PA=PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF.
PO⊥α，AB⊂α⇒AB⊥PO，AB⊥PE，PO⋂PE=P⇒AB⊥平面PEO,OE⊂平面PEO⇒AB⊥OE.
同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF，从而∠EAO=∠FAO.
故点P在平面α内的射影O在∠BAC的平分线上.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，
可得AC=PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC，
又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，
因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为BC⊂平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.
因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.
因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，
在Rt△ABC与Rt△A1BC中，
因为A1B=AB，BC=BC，
所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，
所以A1C=AC.
设A1C=AC=x，则A1C1=x，
所以O为CC1的中点，OC1=12AA1=1，
又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=AA12，
即x2+x2=22，解得x=2，
所以A1O=A1C12−OC12=(2)2−12=1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
跟踪训练2 如图①所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=6，∠CAD=30°.如图②所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD.
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求点C到平面ABD的距离.
(1)证明 ∵在图②中，平面ABC⊥平面ACD，且交线为AC，DC⊂平面ACD，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB，
又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，BC，DC⊂平面BCD，
∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD.
(2)解 ∵平面ABD⊥平面BCD，且交线为BD.
如图，过点C作CH⊥BD于点H，则CH⊥平面ABD，
即CH的长为点C到平面ABD的距离.
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=23，
在Rt△ACD中，DC=AC·tan∠CAD=2，
由(1)可知DC⊥BC，
在Rt△BCD中，BD=BC2+DC2=6+22=10，
∴CH=BC·DCBD=2155，
∴点C到平面ABD的距离为2155.
题型三 线面角与二面角
例3 (多选)(2026·石家庄模拟)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，O为AC的中点，点M是棱BC上的中点，则( )
A.平面PAC⊥平面ABC
B.异面直线AB与PM所成角的正弦值为67
C.PC与平面ABC所成的角为π3
D.二面角P-AB-C的余弦值为77
答案 ACD
解析 在三棱锥P-ABC中，由AB=BC=2，BA⊥BC，O为AC的中点，得AC=2OA=2，
由PA=PB=PC=2，得点P在平面ABC上的射影到△ABC三个顶点的距离相等，
即点P在平面ABC上的射影为点O，因此PO⊥平面ABC，
因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，A正确；
对于B，由点M是BC的中点，得OM∥AB，则∠PMO是异面直线AB与PM所成的角，
而PM=22−222=142，PO=3，PO⊥OM，则sin∠PMO=POPM=427，B错误；
对于C，∠PCA是PC与平面ABC所成的角，而△PAC为正三角形，则∠PCA=π3，C正确；
对于D，如图，取AB的中点N，连接ON，PN，则ON∥BC，ON⊥AB，PN⊥AB，
则∠PNO是二面角P-AB-C的平面角，cs∠PNO=ONPN=12BCPM=77，D正确.
三余弦定理cs θ=cs θ1·cs θ2的应用
已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cs θ=cs θ1·cs θ2.
典例 已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成的角为 .
答案 45°
解析 如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角，
所以cs∠PAC=cs∠PAO·cs∠OAC，
所以cs 60°=cs∠PAO·cs 45°，
所以cs∠PAO=22，故∠PAO=45°，
所以PA与平面α所成的角为45°.
思维升华 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
跟踪训练3 (多选)(2025·中山模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4
B.B1C⊥AC1
C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4
D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-33
答案 AB
解析 如图，设B1C与BC1的交点为H，则CH⊥BC1，
而AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1，
得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，则CH⊥平面ABC1D1，
所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A正确；
由A项知B1C⊥平面ABC1D1，又AC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥AC1，故B正确；
连接AC，易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，
因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C错误；
连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，
所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，
易求得DH=62，又CD=1，CH=22，
由余弦定理可得cs∠CHD=DH2+CH2−CD22DH·CH=33，故D错误.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β=a，b⊥a，b⊂β
C.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥β
答案 D
2.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，
当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，
反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，
所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.
3.(2026·鞍山模拟)若圆锥的侧面积与过轴的轴截面的面积的比值为2π，则圆锥母线与底面所成角的大小为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
答案 A
解析 设圆锥底面的半径为r，母线长为l，高为h，则由题意得12×2πr×l12×2r×ℎ=2π，解得l=2h，
设圆锥母线与底面所成的角为θ0