2027年高考数学一轮复习第六章　§6.6　数列求和(二)学案含解析

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裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧
①1n(n+1)=1n-1n+1.
②1n(n+k)=1k1n−1n+k.
③1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1.
④1n+n+1=n+1-n.
⑤1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)−1(n+1)(n+2).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当n≥2时，1n2−1=1n−1-1n+1.( × )
(2)1n(n+1)(n+2)(n+3)=131n(n+1)(n+2)−1(n+1)(n+2)(n+3).( √ )
(3)已知等差数列{an}的公差为d，则1anan+1=1d1an−1an+1.( × )
(4)(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+1212n−1−12n+1.( √ )
2.化简式子11×3+13×5+15×7+…+12 025×2 027，得( )
A.2 0222 027B.2 0262 027
C.1 0112 027D.1 0132 027
答案 D
解析 11×3+13×5+15×7+…+12 025×2 027
=12×1−13+12×13−15+12×15−17+…+12×12 025−12 027
=12×1−12 027=1 0132 027.
3.(2026·苏州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，an=1n+n+1，若Sn=8，则n等于( )
A.77B.78C.79D.80
答案 D
解析 依题意，an=1n+n+1=n+1-n，
所以Sn=2-1+3-2+…+n+1-n=n+1-1，
由Sn=n+1-1=8，解得n=80.
4.已知数列{an}满足an=2n-1，则数列2nanan+1的前5项和为( )
A.131B.163C.3031D.6263
答案 D
解析 因为an=2n-1，所以an+1=2n+1-1.
所以2nanan+1=2n(2n−1)(2n+1−1)
=(2n+1−1)−(2n−1)(2n−1)(2n+1−1)=12n−1-12n+1−1.
所以2nanan+1的前5项和为121−1−122−1+122−1−123−1+…+125−1−126−1
=121−1-126−1=1-163=6263.
题型一 裂项相消法求和
命题点1 等差型
例1 (2025·铜陵模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1，a7的等比中项.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+2，记{bn}的前n项和为Tn，证明：18≤Tn0，所以Tn