新高考数学一轮复习基础版讲义第7章第2节　与球有关的切、接问题（2份，原卷版+解析版）

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考点一 外接球
角度1 补形法——存在侧棱与底面垂直
例1 (2024·湖州调研)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A.eq \r(6)πB.6πC.24πD.8eq \r(6)π
答案 A
解析 设PA＝PB＝PC＝2x，E，F分别为PA，AB的中点，
∴EF∥PB，EF＝eq \f(1,2)PB＝x，AE＝eq \f(1,2)PA＝x.
连接CF，∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴CF＝eq \r(3)，
又∠CEF＝90°，∴CE＝eq \r(3－x2).
在△AEC中，由余弦定理得
cs ∠EAC＝eq \f(x2＋4－（3－x2）,2×2x)＝eq \f(2x2＋1,4x).
过点P作PD⊥AC于点D.
∵PA＝PC，∴D为AC的中点，
∴cs ∠EAC＝eq \f(AD,PA)＝eq \f(1,2x)，
∴eq \f(2x2＋1,4x)＝eq \f(1,2x)，解得x＝eq \f(\r(2),2)(负值舍去)，
∴PA＝PB＝PC＝eq \r(2)，
又AB＝BC＝AC＝2，
∴PA，PB，PC两两垂直，
即三棱锥P－ABC是以PA，PB，PC为棱的正方体的一部分，
∴球O的直径2R＝eq \r(2＋2＋2)＝eq \r(6)，
解得R＝eq \f(\r(6),2)，
则球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \f(6\r(6),8)＝eq \r(6)π，故选A.
角度2 补形法——对棱相等
例2 (2024·济南质检)若正四面体的表面积为8eq \r(3)，则其外接球的体积为________.
答案 4eq \r(3)π
解析 设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为4×eq \f(\r(3),4)a2＝8eq \r(3)，解得a＝2eq \r(2).
法一 将正四面体放入正方体内，则正四面体的棱为正方体的面对角线，故正方体的棱长x满足eq \r(2)x＝a，解得x＝2.
易知正四面体的外接球即正方体的外接球，
设外接球的半径为R，
则R满足2R＝eq \r(3)x，故R＝eq \r(3)，
∴外接球的体积为eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.
法二 易求得正四面体的高
h＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(4,\r(3))，
设正四面体的外接球半径为R，
则R＝eq \f(3,4)h＝eq \r(3)，
∴外接球的体积为eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.
法三 易求得正四面体的高
h＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(4,\r(3))，
设正四面体的外接球半径为R，
则R2＝(h－R)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))eq \s\up12(2)，解得R＝eq \r(3)，
∴外接球的体积为eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.
角度3 借助三角形外心确定球心位置
例3 若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的体积为________，表面积为________．
答案 eq \f(18\r(7),49) eq \f(36＋6\r(3),7)
解析 如图，记正三棱柱为三棱柱ABC－DEF，O为外接球的球心，G为底面△DEF的重心，连接OG，则OG⊥底面DEF，连接DG，OD.
设正三棱柱的底面边长为a，则由题意知，DG2＋OG2＝DO2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)＝1，得a＝eq \f(2\r(21),7)，
故正三棱柱的体积为eq \f(1,2)a2×eq \f(\r(3),2)×a＝eq \f(18\r(7),49)，
表面积为3a2＋2×eq \f(1,2)a2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(36,7)＋eq \f(6\r(3),7)＝eq \f(36＋6\r(3),7).
感悟提升 1.补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；
(2)直三棱锥补成三棱柱求解.
2.正方体与球的切、接问题的常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
3.若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
训练1 (1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),2)，eq \f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________.
答案 eq \r(6)π
解析 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.
设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，
由题意得ab＝eq \r(6)，ac＝eq \r(3)，bc＝eq \r(2)，
解得a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，c＝1，
所以球的直径为eq \r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2＋1)＝eq \r(6)，
它的半径为eq \f(\r(6),2)，球的体积为eq \f(4π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(3)＝eq \r(6)π.
(2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3eq \r(2)，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________.
答案 34π
解析 根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，
设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，
则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.
所以该三棱锥的外接球的半径
R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq \f(\r(32＋32＋42),2)＝eq \f(\r(34),2)，
所以该三棱锥的外接球的表面积
S＝4πR2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(34),2)))eq \s\up12(2)＝34π.
(3)如图，在四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝eq \r(2)，∠BAD＝∠CBD＝eq \f(π,2)，平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为________．
答案 8π
解析 如图所示，取BD，CD中点M，N，连接AM，MN，AN，BN.
在等腰直角△ABD中，AB＝eq \r(2)，∠BAD＝eq \f(π,2)，
∴AM⊥BD，AM＝BM＝DM＝1，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝eq \f(π,2)，
∴MN⊥BD，MN＝1，BC＝2，CN＝ND＝BN＝eq \r(2)，
又平面ABD⊥平面CBD，
∴AM⊥MN，
∴AN＝eq \r(2)，
即N为四面体ABCD外接球的球心，R＝eq \r(2)，
则四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝8π.
考点二 内切球
例4 一个四面体的四个顶点是四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为_________．
答案 eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(2)π,3)
解析 设这四个球心分别为A，B，C，D，由球的几何性质可知，四个半径为eq \r(3)且两两外切的球的球心A，B，C，D可构成边长为2eq \r(3)的正四面体ABCD，设顶点A在底面BCD的射影为P，如图所示，则P为等边三角形BCD的中心，
由正弦定理可得BP＝eq \f(2\r(3),2sin \f(π,3))＝2，
∴AP＝eq \r(AB2－BP2)＝2eq \r(2)，S△BCD＝eq \f(1,2)×(2eq \r(3))2×sin eq \f(π,3)＝3eq \r(3)，VA－BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，
设正四面体ABCD的内切球球心为O，该内切球的半径为r，则VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝4VO－BCD＝4×eq \f(1,3)S△BCD×r＝eq \f(1,3)S△BCD·AP，
∴r＝eq \f(1,4)AP＝eq \f(\r(2),2)，
∴正四面体ABCD的内切球的体积为V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(\r(2),3)π.
感悟提升 简单多面体内切球问题
(1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；
(2)利用等体积法直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)．
(3)常见几何体内切球半径的求法：
①棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2).
②棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4).
训练2 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( )
A.eq \f(32π,3)，4B.eq \f(9π,2)，3
C.6π，4D.eq \f(32π,3)，3
答案 D
解析 依题意知，当健身手球与直三棱锥的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.
易知AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝10，
设健身手球的最大半径为R，
则eq \f(1,2)×(6＋8＋10)×R＝eq \f(1,2)×6×8，解得R＝2.
则健身手球的最大直径为4.
因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球.
于是一个健身手球的最大体积
V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
【A级 基础巩固】
1.正方体的外接球与内切球的表面积比值为( )
A.eq \r(3)B.3eq \r(3)C.3D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，
则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，
即2R＝eq \r(3)，所以R＝eq \f(\r(3),2)，
正方体内切球的直径为正方体的棱长，
即2r＝1，即r＝eq \f(1,2)，所以eq \f(R,r)＝eq \r(3)，
所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为eq \f(4πR2,4πr2)＝eq \f(R2,r2)＝3.
2.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
答案 C
解析 过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，
且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，
由题意得⊙O1的半径为r＝1，
∴△ABC的边长为2eq \r(3)，
∴圆锥的底面半径为eq \r(3)，高为3，
∴V＝eq \f(1,3)×π×3×3＝3π.
3.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为eq \f(4π,3)的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A.6eq \r(3)B.12eq \r(3)C.18eq \r(3)D.24eq \r(3)
答案 C
解析 根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2eq \r(3)，
所以这个三棱柱的表面积等于3×2eq \r(3)×2＋2×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×3＝18eq \r(3).
4.已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为( )
A.eq \f(\r(6),8)πB.eq \f(\r(6),4)πC.eq \f(\r(3),8)πD.eq \f(\r(3),4)π
答案 A
解析 如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，
所以正方体的体对角线
AC1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)，
所以正方体外接球的半径R＝eq \f(AC1,2)＝eq \f(\r(6),4)，
所以正方体外接球的体积为
eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)))eq \s\up12(3)＝eq \f(\r(6),8)π，
因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以正四面体的外接球的体积为eq \f(\r(6),8)π.
5.(2024·青岛调研)一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48eq \r(3)，则球的表面积为( )
A.16πB.4πC.8πD.32π
答案 A
解析 由题意，设正三棱柱的底面边长为a，则其内切球的半径r＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),6)a，
所以正三棱柱的高h＝2r＝eq \f(\r(3),3)a.
棱柱的体积V＝eq \f(\r(3),4)a2·h＝eq \f(\r(3),4)a2·eq \f(\r(3),3)a＝eq \f(a3,4)＝48eq \r(3)，得a＝4eq \r(3)，
所以球的表面积S＝4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a))eq \s\up12(2)＝eq \f(π,3)a2＝16π.故选A.
6.(2024·福建联合测评)已知在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，AB＝6，∠APB＝2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为( )
A.49πB.36πC.32πD.28π
答案 A
解析 设正三棱锥P－ABC的侧棱长为x.
易知OA＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×6＝2eq \r(3)，
则cs ∠PAO＝eq \f(OA,PA)＝eq \f(2\r(3),x)，
cs ∠APB＝eq \f(x2＋x2－36,2x2)＝eq \f(x2－18,x2).
因为∠APB＝2∠PAO，
所以cs ∠APB＝cs 2∠PAO，
所以eq \f(x2－18,x2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),x)))eq \s\up12(2)－1，
解得x＝eq \r(21)(负值舍去)，
所以OP＝eq \r(PA2－OA2)＝3.
设外接球球心为M，半径为R，
则MP＝MA＝R，MO＝|3－R|.
因为MA2＝MO2＋OA2，
所以R2＝(3－R)2＋(2eq \r(3))2，解得R＝eq \f(7,2)，
所以外接球表面积S＝4πR2＝49π.故选A.
7.(2024·金华质检)在Rt△ABC中，CA＝CB＝eq \r(2)，以AB为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为( )
A.eq \f(\r(2)π,3)B.eq \f(8\r(2)π,3)C.2πD.eq \f(2π,3)
答案 A
解析 如图所示，旋转体的轴截面为边长为eq \r(2)的正方形，
设O为内切球的球心.
内切球半径r＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(2),2)，
所以该几何体的内切球的体积为
eq \f(4,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(\r(2)π,3)，故选A.
8.(2024·南阳调研)已知等腰直角三角形ABC的三个顶点在球O的表面上，且AC＝eq \r(2)AB＝8eq \r(2)，连接CO并延长交球O的表面于点D，连接DA，DB.若球O的体积为288π，则直线AC，BD所成角的正切值为( )
A.eq \f(2\r(34),17)B.eq \f(\r(34),4)C.eq \f(\r(6),2)D.eq \f(\r(6),3)
答案 C
解析 由题意可知，BC＝AB＝8，且CD为球的直径，
所以BD⊥BC，AC⊥AD.
因为球O的体积为eq \f(4,3)πR3＝288π(R为球O的半径)，
所以R＝6，所以CD＝12，
由勾股定理可得BD＝eq \r(CD2－BC2)＝4eq \r(5).
设直线AC，BD所成角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·（\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）|,|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(|0－8\r(2)×8×cs 45°|,8\r(2)×4\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(15),5)，
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(\r(6),2)，故选C.
9.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.
答案 20π
解析 根据题意得，BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示，
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，
即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，
此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，
所以该球的表面积
S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.
答案 eq \f(3,2) eq \f(3,2)
解析 由题意，知圆柱底面半径为r，球的半径为R，
则R＝r，圆柱的高h＝2R，则V球＝eq \f(4,3)πR3，
V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
∴eq \f(V柱,V球)＝eq \f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
又∵S球＝4πR2，
S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.
∴eq \f(S柱,S球)＝eq \f(6πR2,4πR2)＝eq \f(3,2).
11.(2024·宝鸡质检)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是正方形ABCD，A1B1C1D1的中心.若以O1为球心，O1A1为半径的球与平面ABCD相切，且O是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为________.
答案 eq \f(2＋3\r(2),8π)
解析 连接OA1(图略)，
设A1B1＝a，AB＝b，OO1＝h，
因为以O1为球心，O1A1为半径的球与平面ABCD相切，
所以h＝eq \f(\r(2),2)a.
因为O是该四棱台外接球的球心，
所以OA1＝eq \r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)b，
即b＝eq \r(2)a，
所以四棱台的体积
V1＝eq \f(1,3)h·(a2＋b2＋ab)＝eq \f(2＋3\r(2),6)a3，
其外接球的体积V2＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)b))eq \s\up12(3)＝eq \f(4,3)πa3，
则eq \f(V1,V2)＝eq \f(2＋3\r(2),8π).
12.在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2eq \r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，则该三棱锥外接球的体积为________.
答案 9eq \r(2)π
解析 如图所示，在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝(2eq \r(3))2＋42－2×2eq \r(3)×4·cs 30°＝4.
所以AB2＋BC2＝16＝AC2，
即△ABC为直角三角形.
故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.
取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.
由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.
该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.
设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径.
在Rt△PO1A中，PO1＝eq \r(（2\r(3)）2－22)＝2eq \r(2).
在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq \\al(2,1)＋AOeq \\al(2,1)，
即R2＝(2eq \r(2)－R)2＋4，则R＝eq \f(3\r(2),2).
所以外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)))eq \s\up12(3)＝9eq \r(2)π.
【B级 能力提升】
13.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点O组成的圆锥体积最大，
设圆锥的高为h(0