2027年高考数学一轮复习第七章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系学案含解析

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1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线:在同一平面内,有且只 有一个公共点;平行直线:在同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：0，π2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
(2)若直线在平面外，则直线与平面没有公共点.( × )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( × )
(4)两两相交的三条直线共面.( × )
2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是( )
A.A∉m，m⊂αB.A∉m，m∈α
C.A⊄m，m⊂αD.A⊄m，m∈α
答案 A
解析 由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α.
3.(人教A版必修第二册P131练习T1(2))设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b( )
A.平行
B.相交
C.是异面直线
D.可能相交，也可能是异面直线
答案 D
解析 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，当A'B所在的直线为a，BC'所在的直线为b时，a与b相交；
当A'B所在的直线为a，B'C所在的直线为b时，a与b异面，故D正确.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为 .
答案 60°
解析 因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
所以MN∥BC1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，
所以∠A1C1B=60°，
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
证明 (1)如图所示，
连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R，
所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF0)，如图所示，将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-PB1C1D1，
则四棱锥P-ABCD的外接球半径等于长方体的外接球半径，
因为AD=m，AB=PA=2，即R=22+22+m22=2，所以m=22(负值舍去).
又BC∥AD，所以AE与BC所成的角即为∠EAD或其补角，
连接AC，因为△PAC，△PDC为直角三角形，E为PC的中点，且PC=2R=4，
所以AE=ED=12PC=2，AD=22，
所以cs∠EAD=AE2+AD2−ED22AE·AD=4+8−42×2×22=22.
可知AE与BC所成的角为π4，所以AE与BC所成角的正弦值为22.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在如图所示的正方体中，O为BD的中点，A1C∩平面C1BD=M，下列说法正确的是( )
A.A，C，C1，A1四点共面
B.C1，M，O三点共线
C.M∈平面BB1D1D
D.A1C与BD异面
答案 ABD
解析 由正方体性质可知，AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，A正确；
∵A1C∩平面C1BD=M，∴M∈平面C1BD，M∈A1C，又A1C⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，
∵O为BD的中点，BD⊂平面C1BD，四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，
又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，
平面C1BD与平面ACC1A1相交，则C1，M，O在交线上，即三点共线，B正确；
平面BB1D1D∩平面C1BD=BD，M∈平面C1BD，
但M∉BD，所以M∉平面BB1D1D，C错误；
A1C∩平面ABCD=C，BD⊂平面ABCD，C∉BD，
所以A1C与BD为异面直线，D正确.
8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有( )
A.多面体ABF-DCE是三棱柱
B.直线BF与PC互为异面直线
C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EF
D.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3
答案 BCD
解析 对于A，多面体ABF-DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF-DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；
对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；
对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确；
对于D，连接AC，CF，令四棱锥P-ABCD的体积为V，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得V三棱锥P-BCF=V三棱锥B-PCF=12V三棱锥B-PCA=12V三棱锥P-ABC=14V，V三棱锥P-CEF=V三棱锥C-PEF=14V三棱锥C-PDA=14V三棱锥P-ADC=18V，因此四棱锥P-BCEF的体积V四棱锥P-BCEF=V三棱锥P-BCF+V三棱锥P-CEF=38V，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.空间有5个点，其中有4个点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定 个平面.
答案 7
解析 ∵空间中有5个点，其中有4个点在同一平面内，但没有任何3点共线，
∴同一平面的4个点一定能两两连线，最多可连6条线，
∵由三点确定一个平面知，任意一条线加上第五个点都会形成一个平面，
因此有6个平面，再加上共面的4个点确定的1个平面总共是7个平面.
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15，则该长方体的高CC1= .
答案 46
解析 连接AC与BD交于O点，则O为AC中点，
取CC1的中点E，连接BE，OE，则AC1∥OE，
∴∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或其补角)，
设CE=x(x>0)，AB=8，AD=6，则BE=x2+36，OB=OC=5，OE=25+x2，
在△OBE中，由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB×OE×cs∠EOB，
若cs∠EOB=15，则36+x2=25+25+x2-225+x2，解得x=26(负值舍去)，
若cs∠EOB=-15，
则36+x2=25+25+x2+225+x2，方程无解，
所以CC1=2x=46.
四、解答题(共27分)
11.(13分)如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH=13AD，DG=13CD.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；(6分)
(2)EH，FG必相交且交点在直线BD上.(7分)
证明 (1)连接EF，HG，
由E，F分别为AB，BC的中点，得EF∥AC，
由DH=13AD，DG=13CD，
得HG∥AC，∴EF∥HG，∴E，F，G，H四点共面.
(2)由DH=13AD，
DG=13CD，
易知HG=13AC，
又E，F分别为AB，BC的中点，
即EF=12AC，∴HG≠EF，
结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，
∴直线EH，FG不平行，
设它们的交点为P，则P∈EH，
又EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，
即EH，FG必相交且交点在直线BD上.
12.(14分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(8分)
(2)求三棱锥A1-D1EF的体积.(6分)
解 (1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，
因此四边形A1D1FH是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F=A1H，
因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，
所以A1E=A1H=22+12=5，
EH=12+12=2，
由余弦定理可知，cs∠EA1H
=A1E2+A1H2−EH22A1E·A1H=5+5−22×5×5=45，
所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为45.
(2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，
A1D1⊂平面A1D1E，
所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，
即V三棱锥A1−D1EF=V三棱锥F−A1D1E=V三棱锥H−A1D1E=V三棱锥D1−A1EH=13S△A1EH·A1D1
=13×22−12×2×1×2−12×1×1×2=1，
所以三棱锥A1-D1EF的体积为1.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( )
A.AB1B.A1C
C.A1AD.AD1
答案 BCD
解析 对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；
对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；
对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；
对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，
所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.
14.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案 D
解析 取BC中点O1，AD中点O2，BD中点F，
则O1为△BCD外心，O2为△ABD外心，
O1F∥CD，O2F∥AB，
因为AB=CD=2，则O1F=O2F=1，
翻折后，过O1作直线垂直于平面BCD，过O2作直线垂直于平面ABD，两直线的交点O即为四面体ABCD的外接球球心，设外接球的半径为r，
由题意可得4πr2=24π，可得r=6，
即OA=OC=6，且O1C=O2A=5，
则由勾股定理可得OO1=OO2=1，
由O1F=O2F=1得四边形OO1FO2为菱形，
由OO2⊥平面ABD，O2F⊂平面ABD，
可得OO2⊥O2F，
所以四边形OO1FO2为正方形，∠O1FO2=90°，
由O1F∥CD，O2F∥AB可得异面直线AB与CD所成的角为∠O1FO2=90°.
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图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与
平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解