2027年高考数学一轮复习第八章　§8.7　离心率的范围问题学案含解析

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题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2=a2-b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是( )
A.33，22B.22，1
C.33，1D.13，12
答案 A
解析 由基本不等式及椭圆定义可知
|PF1|·|PF2|≤PF1|+PF2|22=a2，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴2c≤a≤3c，∴33≤e≤22.
(2)(2026·柳州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，关于原点对称的两点P，Q均在C上，|QF2|+|PF2|=6a，且△PF1F2是钝角三角形，则C的离心率的取值范围为 .
答案 (1，3)∪(5，3)
解析 如图，不妨设P在第一象限，
因为关于原点对称的两点P，Q均在C上，所以四边形PF1QF2为平行四边形，
所以|QF2|=|PF1|，又因为|QF2|+|PF2|=6a，所以|PF1|+|PF2|=6a，
又|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F2F1|=2c，
因为△PF1F2是钝角三角形，所以∠F1PF2或∠F1F2P为钝角.
若∠F1PF2是钝角，由余弦定理可得cs∠F1PF2=PF1|2+PF2|2−|F2F1|22PF1|·|PF2|