2027年高考数学一轮复习第八章　§8.8　抛物线学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第八章　§8.8　抛物线学案含解析，共6页。

1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.( × )
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( × )
(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( √ )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)，也可以写成y=ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.( √ )
2.(多选)关于抛物线y2=-2x，下列说法正确的是( )
A.开口向左B.焦点坐标为(-1，0)
C.准线为x=1D.对称轴为x轴
答案 AD
解析 对于抛物线y2=-2x，开口向左，焦点坐标为−12，0，准线方程为x=12，对称轴为x轴，故AD正确.
3.抛物线y=14x2的准线方程为( )
A.x=-116B.y=-116
C.x=-1D.y=-1
答案 D
解析 ∵抛物线的方程为y=14x2，则x2=4y，可得p2=22=1，∴抛物线的准线方程为y=-1.
4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点M(x0，2)在C上，且|MF|=2|OF|，则p等于( )
A.8B.4C.2D.1
答案 C
解析 由抛物线的定义，可知|MF|=x0+p2，
又2|OF|=2×p2=p，|MF|=2|OF|，
所以x0+p2=p，得x0=p2.
由点Mp2，2在C上，得22=2p×p2，结合p>0，解得p=2.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2=p24，y1y2=-p2；
(2)1|FA|+1|FB|=2p；
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 对lBF：y=-2x+2，令y=0，则x=1，
所以F(1，0)，p=2，所以抛物线C：y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1，当x=-1时，y=4，
故B(-1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x得xA=4.
所以|AF|=|AB|=xA+p2=4+1=5.
(2)已知P为抛物线x2=4y上的任意一点，F为抛物线的焦点，点M(2，3)，则|PM|+|PF|的最小值为( )
A.3B.13C.4D.32
答案 C
解析 由题意知抛物线的焦点为F(0，1)，准线l的方程为y=-1.
如图，过点P作抛物线的准线l的垂线段，垂足为Q，过点M作MN⊥l，垂足为N.
由抛物线的定义得|PF|=|PQ|，
所以|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|≥|MN|，当M，P，N三点共线时取等号，
故|PM|+|PF|的最小值为|MN|=3+1=4.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1 (1)若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为3，则点P的坐标为( )
A.(22，2)B.(-22，2)
C.(±22，2)D.(±2，1)
答案 C
解析 由题意可得，点P到准线的距离为3，
抛物线x2=4y的准线方程为y=-1，
所以点P的纵坐标为2，
代入得x2=4×2，解得x=±22，
所以点P的坐标为(22，2)或(-22，2).
(2)已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心，则|MF|+|MC|的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
答案 B
解析 抛物线x2=4y的准线为l：y=-1，因为C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心，所以C(-1，2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|，所以当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|+|MC|有最小值，最小值为|CE|=2-(-1)=3，故|MF|+|MC|的最小值为3.
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)点M(5，3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是( )
A.x2=12y
B.x2=112y或x2=-136y
C.x2=-136y
D.x2=12y或x2=-36y
答案 D
解析 将y=ax2转化为x2=1ay，
当a>0时，抛物线开口向上，准线方程为y=-14a，
点M(5，3)到准线的距离为3+14a=6，解得a=112，
所以抛物线的方程为x2=12y；
当a0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|=2|BC|=4，则抛物线的标准方程为 .
答案 y2=4x
解析 由题意知C为BF的中点，
因为|AF|=|AB|，所以AC与BF垂直，
因为|AF|=2|BC|=4，所以∠CAF=30°，
所以∠BAF=60°，
方法一 则△ABF为等边三角形，设AB交y轴于点D，如图，
在Rt△BCD中，易得|BD|=1，即p2=1，p=2，
故抛物线的标准方程为y2=4x.
方法二 Ap2+2，23，
代入E：y2=2px(p>0)可得12=2pp2+2，
化简得p2+4p-12=0，
由于p>0，所以p=2(p=-6舍去).
故抛物线的标准方程为y2=4x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=3交C于M，N两点，C的准线交x轴于点P，若PM⊥PN，则C的方程为( )
A.y2=4xB.y2=6x
C.y2=8xD.y2=12x
答案 D
解析 根据题意，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，
由对称性，不妨设M(3，6p)，N(3，-6p)，准线方程为x=-p2.
所以点P−p2，0.
因为PM⊥PN，
所以kPM·kPN=6p3+p2·−6p3+p2=-1，
化简得6p=3+p22，即p2-12p+36=0，
解得p=6.
所以抛物线C的方程为y2=12x.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2=-2px(p>0)，C2：y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|=2|PQ|=8，则p等于( )
A.4B.6C.8D.12
答案 D
解析 方法一 如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|=2|PQ|=8，
∴|OM|=2，则xP=-2，
又点P在抛物线C1：
y2=-2px(p>0)上，
∴yP2=4p，
则|PM|=2p，
在Rt△PMF1中，|MF1|=p2-2，
∵|PM|2+MF1|2=PF1|2，
∴(2p)2+p2−22=82，
∴p=12(p=-20舍去).
方法二 设P(x0，y0)，则x00，
则y1+y2=8m，y1y2=-16，
1|FA|+1|FB|=1x1+2+1x2+2
=1y128+2+1y228+2=8y12+16+8y22+16
=8y12+8×16+8y22+8×16y12y22+16y12+16y22+162
=8(y1+y2)2−16y1y2+162(y1y2)2+16(y1+y2)2−32y1y2+162
=8×(8m)2+162+162162+16×(8m)2+32×16+162
=12，故C错误，D正确.
方法二 因为p=4，所以y1y2=-p2=-16，
1|FA|+1|FB|=2p=12，故C错误，D正确.
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(2026·眉山模拟)设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，已知|AF|=2|BF|，则|AB|等于( )
A.92B.4C.72D.3
答案 A
解析 方法一 由y2=4x可知F(1，0)，设lAB：x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y2=4x，x=my+1，则有y2-4my-4=0，Δ=16(m2+1)>0，
故y1y2=-4，x1x2=y124·y224=(y1y2)216=1，
又|AF|=x1+p2=x1+1，|BF|=x2+p2=x2+1，
由|AF|=2|BF|，则x1+1=2(x2+1)，
即有x1=2x2+1，
则x1x2=(2x2+1)·x2=2x22+x2=1，
即2x22+x2-1=(2x2-1)(x2+1)=0，
则x2=12或x2=-1，
又x2>0，故x2=12，则x1=1x2=2，
则|AB|=x1+x2+2=2+12+2=92.
方法二 因为|AF|=2|BF|，
所以1|AF|+1|BF|=12|BF|+1|BF|=32|BF|=2p=1，
所以|BF|=32，|AF|=3，
故|AB|=|AF|+|BF|=3+32=92.
(2)(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p=2B.|AB|≥4
C.OA·OB=-4D.k1k2=-4
答案 ABD
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22=2p，解得p=2，故A正确；
所以抛物线方程为y2=4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x=my+1，联立y2=4x，x=my+1，
消去x整理得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4，
则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)
=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1，
所以|AB|=x1+x2+2=4m2+4≥4，故B正确；
因为OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)，
所以OA·OB=x1x2+y1y2=-3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2=y1x1·y2x2=-4，故D正确.
阿基米德三角形
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
2.阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a38p.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为y1y22p，y1+y22.
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
典例 (多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案 ABC
解析 对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过点A的切线方程为y1y=p(x+x1)，①
过点B的切线方程为y2y=p(x+x2)，②
又y12=2px1，③y22=2px2，④
联立①②③④，解得两切线交点Qy1y22p，y1+y22，
又Mx1+x22，y1+y22，
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，
又直线AB经过焦点Fp2，0，
∴0=pp2+x0，∴x0=-p2，C正确；
对于D，若底边AB过焦点，
则Q点的轨迹方程是x=-p2，
易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|=x1+x22+p2=y12+y224p+p2≥2|y1y2|4p+p2=p，由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB=12|QM||y1-y2|
≥|QM|·|y1y2|≥p2，
当且仅当y1=-y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.抛物线y=x2的焦点到准线的距离为( )
A.12B.1C.3D.14
答案 A
解析 ∵y=x2，∴抛物线的标准方程为x2=y，
∴2p=1，∴p=12，
∴抛物线y=x2的焦点到准线的距离为p=12.
2.若抛物线y2=2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线的方程为( )
A.y2=xB.y2=2x
C.y2=4xD.y2=8x
答案 D
解析 抛物线y2=2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为p2，
∴p2=2，解得p=4，
故抛物线的方程为y2=8x.
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为l上一动点，且在x轴上方，A为C上一动点，且AP∥x轴，若|AF|=4，则点P的纵坐标为( )
A.23B.2C.3D.3
答案 A
解析 抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l：x=-1，P为l上一动点，且在x轴上方，
故设点P(-1，m)(m>0)，
因为AP∥x轴，所以|AP|=|AF|，且Am24，m，又|AF|=4=m24+1，所以m24=3，
又m>0，所以m=23，
故点P的纵坐标为23.
4.设抛物线C：x2=8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为( )
A.8B.10C.12D.16
答案 C
解析 由△FAB的周长为|AB|+|BF|+|AF|，过点B作BD垂直于抛物线的准线l：y=-2于点D，
所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|，而F(0，2)，A(4，5)，
则|AF|=(4−0)2+(5−2)2=5，
所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5，要使周长最小，
即|AB|+|BD|最小，当且仅当A，B，D三点共线时，|AB|+|BD|取最小值为5-(-2)=7，
所以△FAB的周长的最小值为7+5=12.
5.(2026·上海模拟)探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是抛物线的一部分)正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后的反射光线与对称轴平行.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2=4x，一条光线经过点M(10，y1)，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点N(8，y2)射出，则光线从点M到点N经过的总路程是( )
A.19B.20C.21D.22
答案 B
解析 设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为A，B，显然直线AB过焦点F，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，
由抛物线的方程C：y2=4x可知准线方程为x=-1，
再由抛物线的定义可得|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，
因此光线从点M到点N经过的总路程为|MA|+|AB|+|BN|=|MA|+|AA1|+|BB1|+|BN|=|MA1|+|NB1|=10+1+8+1=20.
6.(2026·衡水模拟)已知P(1，2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点P不在直线l上，且直线PA与PB的倾斜角互补，则直线l的斜率为( )
A.-2B.-12C.-1D.-23
答案 C
解析 因为P(1，2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，所以4=2p，得p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知直线l、直线PA、直线PB的斜率存在，
则kPA=y1−2x1−1=y1−2y124−1=4y1+2，
同理可得kPB=4y2+2，
由题意知4y2+2=-4y1+2，可得y1+y2=-4，
所以kl=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2=-1，
所以直线l的斜率为-1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2026·长沙模拟)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则( )
A.抛物线C的准线方程为x=-4
B.若|AF|=8，则x1=6
C.|AF||BF|的最大值为16
D.∠AOB为钝角
答案 BD
解析 对于A，抛物线C：y2=8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x=-2，A错误；
对于B，由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，而|AF|=8，则x1=6，B正确；
显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x=ty+2，由x=ty+2，y2=8x，消去x得y2-8ty-16=0，Δ=64(t2+1)>0，
则y1+y2=8t，y1y2=-16，x1+x2=t(y1+y2)+4=8t2+4，x1x2=y128·y228=(y1y2)264=4.
对于C，|AF||BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=16t2+16≥16，
当且仅当t=0时取等号，C错误；
对于D，OA·OB=x1x2+y1y2=4-16=-120)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
解析 A项，直线y=-3(x-1)过点(1，0)，
所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，
所以p2=1，p=2，故A正确；B项，抛物线C的方程为y2=4x，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由y=−3(x−1)，y2=4x，消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0，
解得x1=3，x2=13，
所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=163，故B错误；
C项，如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，
因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)
=12|MN|，
即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C正确；
D项，直线y=-3(x-1)，
由上述分析可知y1=-3×(3-1)=-23，
y2=-3×13−1=233，
所以|OM|=32+(−23)2=21，
|ON|=132+2332=133，
且|MN|=163，
所以△OMN不是等腰三角形，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·北京)抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= .
答案 6
解析 因为抛物线的顶点到焦距的距离为p2，故p2=3，即p=6.
10.(2026·西安模拟)已知抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点N(x，3)与焦点F的距离为4，P为C上一动点，Q为圆M：(x-3)2+(y+3)2=4上一动点，则点P到直线l：y=-p2的距离与|PQ|之和的最小值为 .
答案 3
解析 圆M：(x-3)2+(y+3)2=4的圆心为M(3，-3)，半径r=2.
如图，由抛物线的定义可得|NF|=yN+p2=4，又yN=3，解得p=2，
可知抛物线C的方程为x2=4y，焦点坐标为F(0，1)，准线为直线l：y=-1，
则点P到直线l的距离d=|PF|，
可得d+|PQ|=|PF|+|PQ|，
当且仅当M，Q，P，F四点共线且P，Q在F，M之间时，|PF|+|PQ|取得最小值，
所以(|PF|+|PQ|)min=|FM|-r
=(3−0)2+(−3−1)2-2=3.
四、解答题(共27分)
11.(13分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为y=4；(4分)
(2)顶点在原点，且过点(-3，2)；(4分)
(3)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5.(5分)
解 (1)由题意顶点在原点，准线方程为y=4，
可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且p2=4，p=8，
故抛物线的标准方程为x2=-16y.
(2)由题意顶点在原点，且过点(-3，2)，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，
则设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p'x(p'>0)，
分别将(-3，2)代入，有9=4p，4=6p'，
得p=94，p'=23，
故抛物线的标准方程为x2=92y或y2=-43x.
(3)由题意抛物线焦点在x轴上，且点A(3，m)在抛物线上，
故抛物线焦点在x轴正半轴上，
又因为抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5，
则设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，焦点坐标为p2，0，准线方程为x=-p2，
根据抛物线的定义得，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
故3-−p2=5，解得p=4，
故抛物线标准方程为y2=8x.
12.(14分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(5分)
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y=x+4和y轴的距离之和的最小值.(9分)
解 (1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r=(x−4)2+y2，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42+x2=(x-4)2+y2，化简得y2=8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y=x+4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y=x+4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|=|PF|-2，
所以|PP1|+|PP2|=|PP1|+|PF|-2，
由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F到直线y=x+4的距离，
所以(|PP1|+|PF|)min=|FF1|=61+1=32，
所以|PP1|+|PP2|的最小值为32-2.
即点P到直线y=x+4和y轴的距离之和的最小值为32-2.
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·咸阳模拟)已知M为抛物线G：y2=4x上的动点，P，Q为圆C：(x-2)2+y2=1上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则MP·MQ的最小值为( )
A.22-3B.32C.214D.3
答案 B
解析 如图，设M(x0，y0)，∠CMP=θ，|CM|=m，
则y02=4x0，又C(2，0)，
所以|CM|=m
=(x0−2)2+y02
=x02−4x0+4+4x0=x02+4≥2，
又MP，MQ均与圆C相切，
所以|MP|=|MQ|，CP⊥MP，CQ⊥MQ，
则∠PMQ=2θ，|MP|=|MQ|=m2−1，sin θ=1m，
所以MP·MQ=|MP|·|MQ|cs∠PMQ=(m2-1)cs 2θ
=(m2-1)(1-2sin2θ)=(m2-1)1−2m2=-3+m2+2m2，m≥2，
又y=x+2x在[4，+∞)上单调递增，
所以MP·MQ=-3+m2+2m2≥-3+4+24=32，当且仅当m=2，即x0=0，即M与原点O重合时取等号，
所以MP·MQ的最小值为32.
14.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x=-32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6D.|AE|·|BE|≥18
答案 ACD
解析 方法一 易知l为抛物线的准线，点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知A选项正确；
设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，
则∠DAE=∠EAF=θ2，
因为|AF|=|AD|=|AF|·cs θ+p，
所以|AF|=p1−csθ，同理|BF|=p1+csθ，
所以|AE|=|AF|cs θ2=p(1−csθ)cs θ2，
则|AB|=|AF|+|BF|=p1−csθ+p1+csθ=2psin2θ≠|AE|，选项B错误；
|AB|=2psin2θ≥2p=6，选项C正确；
由∠DAE=∠EAF=θ2，则AE为抛物线C的切线，同理BE也为抛物线C的切线，
由阿基米德三角形可知AE⊥BE，
|AE||BE|=|AB|·|EF|=2psin2θ·psinθ=18sin3θ≥18，选项D正确.
方法二 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F32，0，
则|AD|为抛物线上的点A到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，
则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，
所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|0，则x1+x2=3+6k2，x1x2=94，
所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2×(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2×3+6k22−9=61+1k2>6，
综上，|AB|≥6，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，
∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，
则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
当直线AB的斜率不存在时，
|AB|=6，|AF|=|BF|=12|AB|=3，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；
当直线AB的斜率存在时，|AB|=61+1k2，
|AF|·|BF|=x1+32x2+32
=x1x2+32(x1+x2)+94
=94+323+6k2+94=91+1k2，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2
=91+1k2×361+1k22，
则|AE|·|BE|=31+1k212×61+1k2
=181+1k232>18，
综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确.
方法三 对于A，抛物线C：
y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F32，0，
因为点A在抛物线C上，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，如图，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，
则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，
所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，
又x1=my1+32，x2=my2+32，
所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0时取等号，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，
∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，
即|AE|2=|AF|·|AB|，同理|BE|2=|BF|·|AB|，
又|AF|·|BF|=x1+32x2+32=(my1+3)·(my2+3)
=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9
=9(m2+1)，|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2
=9(m2+1)×36(m2+1)2，
则|AE|·|BE|=3(m2+1)12×6(m2+1)
=18(m2+1)32≥18，当且仅当m=0时取等号，故D正确.
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标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
p2，0
−p2，0
0，p2
0，−p2
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e=1