2027年高考数学一轮复习第八章　§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第八章　§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析，共18页。

1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ0，
设直线y=x-1与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=6，
故y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=x1+x2-2=4，
所以线段AB的中点坐标是(3，2).
4.若直线y=kx与双曲线x29-y24=1相交，则k的取值范围是( )
A.0，23B.−23，0
C.−23，23D.−∞，−23∪23，+∞
答案 C
解析 方法一 联立直线和双曲线的方程并消去y得(4-9k2)x2-36=0，
由直线与双曲线相交，可得4-9k2≠0且Δ=02-4(4-9k2)·(-36)>0，
解得-230)上的两点，点O为坐标原点，且P是MN的中点，则kMN·kOP=-b2a2.
2.若曲线为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，其余条件不变，则kMN·kOP=b2a2.
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)直线kx+y+2k-1=0(k∈R)与椭圆x28+y22=1的交点个数为( )
A.1B.2
C.1或2D.0
答案 C
解析 由直线kx+y+2k-1=0(k∈R)，得y-1+k(x+2)=0，即直线过定点(-2，1).
又因为(−2)28+122=1，所以此定点在椭圆上，
即直线与椭圆的交点个数为1或2.
(2)已知直线l：x=ty+2和双曲线C：y2-x2=8，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是( )
A.−62，62B.−62，0
C.0，62D.−62，−1
答案 D
解析 联立x=ty+2，y2−x2=8，
消去x得(1-t2)y2-4ty-12=0，
由题意得Δ=(−4t)2−4(1−t2)·(−12)>0，−−4t1−t2>0，−121−t2>0，
解得-620)的离心率e=22，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为82.
(1)求C的方程；
(2)若直线l：2x-y+1=0交椭圆C于M，N两点，求|MN|.
解 (1)设C的半焦距为c(c>0).
由题意得12×2a×2b=82，e=ca=22，a2=b2+c2，解得a=22，b=2，c=2，
∴C的方程为x28+y24=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立x28+y24=1，2x−y+1=0，
消去y化简得9x2+8x-6=0，
Δ=82-4×9×(-6)=280>0，
∴x1+x2=-89，x1x2=-23.
∴|MN|=1+22|x1-x2|
=5×(x1+x2)2−4x1x2
=5×−892−4×−23=10149.
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y=kx+b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)=0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2+bx+c=0(a≠0)或ay2+by+c=0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2·−ba2−4ca=1+k2·Δa.
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2−4y1y2
=1+1k2·−ba2−4ca=1+1k2·Δa.
典例 已知双曲线C：2x2-y2=2，直线l：x-y+1=0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于( )
A.423B.334C.43D.42
答案 D
解析 联立双曲线与直线的方程，
得x2-2x-3=0，Δ=16，又k=1，a=1，
由弦长的万能公式知，|MN|=1+k2·Δa=42.
思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
跟踪训练2 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为3，且过点62，1.
(1)求E的方程；
(2)直线l过(3，0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程.
解 (1)因为双曲线E过点62，1，离心率为3，
所以32a2−1b2=1，e=ca=3，a2+b2=c2，解得a2=1，b2=2，
所以双曲线E的方程为x2-y22=1.
(2)由(1)知双曲线的实轴长为2，当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x-3)，
联立y=k(x−3)，2x2−y2=2，
得(2-k2)x2+23k2x-3k2-2=0，
故2-k2≠0，Δ=16(k2+1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=−23k22−k2，x1x2=−3k2−22−k2，
所以|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=4(1+k2)|2−k2|=4，
解得k=±22，
故直线l的方程为y=±22(x-3)，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时|AB|=4，符合题意.
综上所述，直线l的方程为y=22x-62或y=-22x+62或x=3.
题型三 中点弦问题
例3 (1)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13)直线l与双曲线x24-y2=1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为( )
A.y=x-3B.y=-x-3
C.y=x+5D.y=-x+5
答案 A
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(4，1)，所以x1+x2=8，y1+y2=2，
所以x124−y12=1，x224−y22=1，两式相减可得x124-x224=y12-y22，
即(x1+x2)(x1−x2)4=(y1+y2)(y1-y2)，
所以y1+y2x1+x2·y1−y2x1−x2=14，
即y1−y2x1−x2=1，
所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y-1=x-4，即y=x-3.
(2)(2025·嘉兴模拟)过点M(6，4)的直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为 .
答案 16
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y12=8x1，y22=8x2，
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)，
∴kAB=y1−y2x1−x2=8y1+y2，
∵AB的中点是M(6，4)，∴kAB=82×4=1.
∴直线AB方程为y-4=x-6，即x-y-2=0，
由y2=8x，x−y−2=0，得x2-12x+4=0，
Δ=(-12)2-4×1×4=128>0，
则x1+x2=12，x1x2=4，
∴|AB|=1+12·(x1+x2)2−4x1x2
=1+12×122−4×4=16.
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
跟踪训练3 (1)若椭圆x28+y24=1的弦被点(1，1)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A.x-2y+1=0B.x+2y-3=0
C.2x-y-1=0D.2x+y-3=0
答案 B
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x128+y124=1，x228+y224=1，两式相减可得(x1+x2)(x1−x2)8=-(y1+y2)(y1−y2)4，
所以kAB=y1−y2x1−x2=-48·x1+x2y1+y2=-12×22=-12，
所以弦所在的直线方程为y-1=-12(x-1)，
即x+2y-3=0.
(2)(2026·聊城模拟)已知双曲线C：x212-y24=1的右焦点为F，M，N是双曲线C右支上的两点，若G(0，2)，且F为△MNG的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 .
答案 (6，-1) 2x+y-11=0
解析 由题知，F(4，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又G(0，2)，
因为F为△MNG的重心，
所以x1+x2+03=4，y1+y2+23=0，
即x1+x2=12，y1+y2=-2，
所以MN的中点坐标为(6，-1)；
因为M，N是双曲线C右支上的两点，
所以x1212−y124=1，x2212−y224=1，
两式相减并化简得y1−y2x1−x2=412×x1+x2y1+y2=-2，
所以直线MN的方程为y+1=-2(x-6)，
即2x+y-11=0.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则直线与双曲线相切或直线与渐近线平行，故充分性不满足；
若直线与双曲线相切，则直线与双曲线有且仅有一个公共点，故必要性满足.
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件.
2.已知直线y=x+3与椭圆x25+y2m=1有公共点，则m的取值范围是( )
A.(0，4]B.(-∞，0)∪[4，+∞)
C.[4，+∞)D.[4，5)∪(5，+∞)
答案 D
解析 方法一 联立y=x+3，x25+y2m=1， 消去y可得(m+5)x2+30x+45-5m=0，
则Δ=302-4(m+5)(45-5m)=20m(m-4)≥0，
又m>0且m≠5，故m≥4且m≠5，
故m的取值范围是[4，5)∪(5，+∞).
方法二 根据椭圆方程的特点，可得m>0且m≠5，可排除B，C；
当m>9时，点(0，3)在椭圆内部，所以直线y=x+3与椭圆x25+y2m=1必有公共点，排除A，故选D.
3.已知直线2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.5B.5C.35D.45
答案 B
解析 将2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x联立得x2-3x+1=0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=3，
显然抛物线焦点坐标为(1，0)，
令x=1，即2+y-2=0，
得y=0，则直线过焦点，
则|AB|=x1+x2+p=3+2=5.
4.(2026·湛江模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线l：x-y-3=0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p等于( )
A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12=2px1，y22=2px2，
两式相减并整理得y1−y2x1−x2=2py1+y2=1，
因为线段AB中点的横坐标为7，
所以线段AB中点的纵坐标为4，则y1+y2=8，
从而可得p=4.
5.(2025·西安模拟)已知双曲线C：x23-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则m等于( )
A.23B.23或6
C.-6D.-6或-23
答案 C
解析 易得a=3，b=1，c=2，故|F1F2|=4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线y=x+m与x轴的交点为M(-m，0)，由题意得△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则12×|F1M|×|y1-y2|=12×|F2M|×|y1-y2|×2，
化简得|F1M|=2|F2M|，结合|F1F2|=4，
故|F1M|=4+|F2M|，解得|F2M|=4，即M(6，0)，故-m=6，解得m=-6.
6.已知椭圆E：x24+y23=1，若椭圆E上存在关于直线y=2x+m对称的两点A，B，则实数m的取值范围是( )
A.(-1，1)B.[-1，1]
C.−12，12D.−12，12
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，直线AB的方程为y=-12x+n.
由y=−12x+n，x24+y23=1，
得x2-nx+n2-3=0，故Δ=3(4-n2)>0，x1+x2=n，
即n20，
则x1+x2=6，x1x2=152，
所以|AB|=1+12·(x1+x2)2−4x1x2=1+1×62−4×152=23.
12.(14分)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e=12.
(1)求椭圆E的方程；(4分)
(2)动直线l：y=m(x-3)恒过定点A，过点P(1，2)作抛物线C的切线与椭圆E交于M，N两点，求△AMN的面积.(10分)
解 (1)由抛物线C的方程，得焦点F(1，0)，所以在椭圆E中，c=1，
因为椭圆E的离心率e=ca=12，
所以a=2，所以b2=a2-c2=3，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)由直线l的方程y=m(x-3)，得直线l恒过定点A(3，0)，
由题意，得点P在抛物线C上，
设切线MN的方程为y=k(x-1)+2，k≠0，
由y2=4x，y=k(x−1)+2，
消去x，整理得ky2-4y+8-4k=0，
因为直线MN与抛物线C相切，
所以Δ=16-4k(8-4k)=0，
即k2-2k+1=0，解得k=1，
所以直线MN的方程为x-y+1=0，
由x24+y23=1，x−y+1=0，
消去y，整理得7x2+8x-8=0，
Δ=82-4×7×(-8)=288>0，
所以xM+xN=-87，xMxN=-87，
因为点A到直线MN的距离d=|3−0+1|12+(−1)2=22，
|MN|=1+k2|xM-xN|=1+k2(xM+xN)2−4xMxN=1+12×−872−4×−87=247，
所以△AMN的面积S=12|MN|d=12×247×22=2427.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过F的直线l交x轴负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，|AF|0)，因此B(m，2)，由m2=4×2，得m=22，直线l的斜率为1m=24，故B正确；
直线l的方程为y=24x+1，
联立y=24x+1，x2=4y，得x2-2x-4=0，
解得x=-2或x=22，
因此可求得A−2，12，B(22，2)，可得|AB|=(−2−22)2+12−22=92，故C错误；
由y=14x2，得y'=12x，所以直线BN的斜率为y'|x=22=2，
方程为y=2x-2，因此N(2，0)，
所以△MBN的面积为12×|MN|×2=32，故D正确.
14.设P(x，y)为曲线C：x|x|4-y|y|=1上的任意一点，则|x-2y+2|的最大值为( )
A.2+2B.2
C.2+22D.2+5
答案 C
解析 当x≥0，y≥0时，曲线C为x24-y2=1；
当x≤0，y≥0时，曲线C为-x24-y2=1，不成立；
当x≤0，y≤0时，曲线C为-x24+y2=1；
当x≥0，y≤0时，曲线C为x24+y2=1.
则曲线C：x24−y2=1，x≥0，y≥0，x24+y2=1，x≥0，y≤0，y2−x24=1，x≤0，y≤0，
曲线C的大致图象如图中实线部分所示，
其中F1(5，0)，F2(3，0)，F3(0，-5)，直线x-2y=0是曲线C的渐近线，
|x-2y+2|=5·x−2y+2|12+(−2)2=5d，d=x−2y+2|12+(−2)2表示曲线上的点到直线x-2y+2=0的距离，
设与直线x-2y+2=0平行的直线为x-2y+a=0，直线x-2y+a=0与曲线C有公共点，
则a