2027年高考数学一轮复习第八章　§8.6　双曲线学案含解析

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1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线x2m2-y2n2=1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±yn=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )
2.记F(2，0)为双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的右焦点，则E的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±3x
C.y=±xD.y=±5x
答案 B
解析 由于F(2，0)为双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的右焦点，故a2+3=4，所以a=1，
故渐近线方程为y=±3x.
3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为( )
A.2B.2C.7D.22
答案 D
解析 设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=7a，
于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=22a，
即e=ca=22.
4.与双曲线x24-y28=1有共同渐近线，且经过点(2，4)的双曲线的虚轴长为 .
答案 4
解析 设与双曲线x24-y28=1有共同渐近线的双曲线方程为x24-y28=λ(λ≠0).
∵双曲线x24-y28=λ经过点(2，4)，∴λ=44-168=-1，
∴所求双曲线的方程为y28-x24=1，
双曲线y28-x24=1的虚半轴长为2，∴虚轴长为4.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知双曲线x2a2-y212=1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M为双曲线上一点，|MF2|=5，则|MF1|等于( )
A.1B.1或9C.9D.3
答案 C
解析 由题意得b2=12，2c=8，即c=4，又a2+b2=c2，即a2=16-12=4⇒a=2，
由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4，解得|MF1|=1或|MF1|=9，
又|MF1|+|MF2|>2c=8，所以|MF1|=9.
(2)已知双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M在C上，若|MO|=3，则|MF1|+|MF2|= .
答案 43
解析 设∠F1MF2=θ，|MF1|=m，|MF2|=n，
因为MO=12(MF1+MF2)，
所以|MO|2=14(|MF1|2+2MF1·MF2+|MF2|2)，
所以9=14(m2+2mncs θ+n2)，
即m2+2mncs θ+n2=36，
在△MF1F2中，易知|F1F2|=4，
由余弦定理得42=m2-2mncs θ+n2，
两式联立得m2+n2=26，mncs θ=5，又2(m2+n2)=(m-n)2+(m+n)2，
|m-n|=2，
所以(m+n)2=48，即|MF1|+|MF2|=43.
圆锥曲线的第二定义
(链接教材，人教A版选择性必修第一册P113例6，P127习题3.2T10)平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x=a22的距离之比为12，则椭圆方程为 .
答案 x216+y212=1
解析 依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x=a22，
由椭圆第二定义知ca=12，
∵c=2，故a=4，∴b2=a2-c2=12，
∴椭圆方程为x216+y212=1.
(2)已知双曲线x29-y216=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+35|MF2|的最小值为 .
答案 365
解析 设M到直线x=a2c=95
的距离为d，由双曲线第二定义知，
MF2|d=e=53，∴d=35|MF2|，
∴|MA|+35|MF2|=|MA|+d，
如图，可知(|MA|+d)min=xA-95=9-95=365.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|-|PF2||=2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
跟踪训练1 (1)已知双曲线C：x2-y25=1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|MF|等于( )
A.10B.9C.7D.6
答案 A
解析 如图，设C的左焦点为F'，连接MF'，因为P为MF的中点，
O为坐标原点，所以|MF'|=2|OP|=8，
由双曲线的定义可知，|MF|-|MF'|=2a=2，
所以|MF|=|MF'|+2=8+2=10.
(2)(2026·哈尔滨模拟)已知F是双曲线y24-x25=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A(3，1)，则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.11B.9C.13D.5
答案 B
解析 由y24-x25=1，得a=2，b=5，所以c=a2+b2=3，
所以上焦点F(0，3)，则下焦点为F1(0，-3)，又A(3，1)，
由双曲线的定义得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+32+(1+3)2=9，
由图知，当A，P，F1三点共线(P在线段AF1上)时，|PF|+|PA|取得最小值9.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)过点(2，3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x29-y2=1
C.x22-y29=1D.x29-y25=1
答案 A
解析 椭圆的标准方程为x29+y25=1，
故c=9−5=2，可得焦点坐标为(±2，0).
设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，
故4a2−9b2=1，a2+b2=4，解得a2=1，b2=3，
故双曲线的标准方程为x2-y23=1.
(2)(2026·重庆模拟)已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N：x24-y23=1有共同的渐近线，且点P(2，1)在双曲线M上，则双曲线M的方程为 .
答案 3x28-y22=1
解析 设双曲线M的方程为x24λ-y23λ=1，λ>0，
将点P(2，1)代入得44λ-13λ=1，得λ=23，
所以双曲线M的方程为3x28-y22=1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0)，与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ-y2b2−λ=1(-a20)的一条渐近线的倾斜角为2π3，且C的焦距为42，则双曲线C的方程为( )
A.y26-x22=1B.y22-x26=1
C.y224-x28=1D.y28-x224=1
答案 A
解析 由一条渐近线的倾斜角为2π3，
可知-ab=tan2π3，故ab=3，
又2c=42，c=a2+b2，
解得c=22，a=6，b=2，
故双曲线C的方程为y26-x22=1.
(2)(2026·西安模拟)已知点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则动点M的轨迹方程为 .
答案 x225-9y2100=1，x≠±5
解析 设点M(x，y)，则直线AM，BM的斜率分别为yx+5，yx−5(x≠±5)，
因为它们的斜率之积是49，则yx+5×yx−5=49，x≠±5，化简得x225-9y2100=1，x≠±5，
则动点M的轨迹方程为x225-9y2100=1，x≠±5.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线之间的夹角为π3，一个焦点为(-2，0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为( )
A.12B.32C.32D.3
答案 B
解析 对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y=±bax，
双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点(a，0)和渐近线y=bax，即bx-ay=0，则双曲线的顶点到渐近线的距离为|ab−a×0|a2+b2=abc.
由题意得渐近线y=bax的倾斜角为π6或π3，
所以ba=tanπ6=33或ba=tanπ3=3，
又c=2，c2=a2+b2=4，联立解得a=3，b=1或a=1，b=3，
故所求距离为abc=32.
思维升华 (1)渐近线方程的求法：令x2a2-y2b2=0，即得两渐近线方程xa±yb=0或y=±bax.
(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±ba，满足关系式e2=1+k2.
命题点2 离心率
例4 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上第一象限内一点，若直线y=-bax垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，则双曲线的离心率为( )
A.5B.3C.52D.102
答案 A
解析 F1(-c，0)，一条渐近线方程为y=-bax，即bx+ay=0，
点F1到渐近线的距离为d=bcb2+a2=b，
又直线y=-bax垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，所以b=2a，
故离心率为e=ca=a2+b2a2=1+ba2=5.
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2=a2+b2和e=ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
命题点3 与双曲线有关的范围(最值)
例5 (多选)(2025·白银模拟)已知双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的渐近线与圆C：x2+(y-2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，C为圆C的圆心，动点P在E的左支上，则( )
A.a=1
B.△CF1F2为等腰直角三角形
C.△CF2P周长的最小值为42
D.|CP|的最小值为2
答案 ABD
解析 双曲线E：x2a2-y23=1(a>0)的渐近线方程为y=±3ax，即3x±ay=0，
由圆C：x2+(y-2)2=1，圆心为C(0，2)，半径r=1，
因为渐近线与圆C相切，所以|2a3+a2=1，解得a=1，故A正确；
而b2=3，则c2=a2+b2=4，即c=2，
所以F1(-2，0)，F2(2，0)，
则|CF1|=|CF2|=22，|F1F2|=4，
故|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2，即CF1⊥CF2，
所以△CF1F2为等腰直角三角形，故B正确；
△CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=22+|PC|+2a+|PF1|=22+2+|PC|+|PF1|
≥22+2+|CF1|=42+2，
当且仅当P，C，F1三点共线且P在C，F1之间时等号成立，
则△CF2P的周长的最小值为42+2，故C不正确；
设P(x0，y0)，x0≤-1，y0∈R，则x02-y023=1，
即x02=1+y023，
所以|CP|=x02+(y0−2)2
=1+y023+y02−4y0+4=43y0−322+2，
则当y0=32时，|CP|取得最小值2，故D正确.
思维升华 与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
跟踪训练3 (1)(多选)(2026·驻马店模拟)已知双曲线C：y24-x221=1，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的焦点坐标为(±5，0)
B.双曲线C的实轴长为4
C.双曲线C的离心率为52
D.双曲线C的渐近线方程为y=±212x
答案 BC
解析 双曲线C：y24-x221=1的焦点在y轴上，且a2=4，b2=21，则a=2，b=21，
所以c2=a2+b2=25，则c=5，
所以双曲线C的焦点坐标为(0，±5)，A错误；
因为a=2，所以双曲线C的实轴长2a=4，B正确；
双曲线C的离心率为e=ca=52，C正确；
双曲线C的渐近线方程为y=±abx=±22121x，D错误.
(2)已知双曲线C：x24-y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，则4k1+k2的最小值为( )
A.3B.4C.1D.2
答案 D
解析 ∵双曲线C：x24-y2=1的左、右顶点分别为A，B，∴A(-2，0)，B(2，0)，
设P(x0，y0)(x0>2，y0>0)，
则直线AP的斜率k1=y0x0+2，
直线BP的斜率k2=y0x0−2，∴k1·k2=y02x02−4，
又点P在C上，∴x024-y02=1，即y02=x024-1，
∴k1·k2=y02x02−4=x024−1x02−4=14，
又x0>2，y0>0，∴k1>0，k2>0，
∴4k1+k2≥24k1·k2=2，当且仅当4k1=k2，
即k1=14，k2=1时，等号成立，
∴4k1+k2的最小值为2.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·温州模拟)已知双曲线C：4x2-y2=16，则双曲线C的实轴长为( )
A.2B.4C.8D.16
答案 B
解析 双曲线C的标准方程为x24-y216=1，所以a=2，
所以双曲线C的实轴长为2a=4.
2.若双曲线C：x2a2-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的渐近线的方程为( )
A.y=±2xB.y=±3x
C.y=±12xD.y=±14x
答案 C
解析 双曲线C：x2a2-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，
则4=2a，得a=2，所以双曲线C：x24-y2=1的渐近线的方程为y=±12x.
3.已知双曲线C经过点(0，3)，离心率为233，则双曲线C的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x23-y2=1
C.y2-x23=1D.y23-x2=1
答案 D
解析 方法一 因为双曲线C经过点(0，3)，
所以双曲线C的焦点在y轴上，
且a=3，又因为离心率为233，
即e=ca=c3=233，解得c=2，
所以b=c2−a2=1，
所以双曲线C的标准方程为y23-x2=1.
方法二 将点(0，3)代入四个选项中，只有D符合.
4.已知A(7，3)，双曲线C：x24-y25=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PA|-|PF|的最大值是( )
A.-1B.2C.3D.1
答案 D
解析 如图，设双曲线的右焦点为F'(3，0)，连接PF'，AF'，则|PF|-|PF'|=2a=4，
因为|AF'|=(7−3)2+32=5，
而|AF'|≥|PA|-|PF'|，所以|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|-4≤|AF'|-4=5-4=1，
当P，F'，A三点共线且F'在P，A之间时等号成立，故|PA|-|PF|的最大值是1.
5.(2026·昭通模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为15的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为( )
A.43B.2C.2D.5
答案 C
解析 如图，根据双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，
由于|AB|=|AF1|，|AB|=|AF2|+|BF2|，则|AF2|+|BF2|=|AF1|，
所以|BF2|=2a，|BF1|=4a.设∠F1F2B=θ，由题可得tan θ=15，则cs θ=14，
在△BF1F2中，由余弦定理，可得cs θ=4c2+4a2−16a22×2c×2a=14，整理得2c2-ac-6a2=0，
即2e2-e-6=0，因为e>1，则可得e=2.
6.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2).封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：x216+y210=1和双曲线C2：x24-y22=1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过双曲线的右焦点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0与P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为( )
A.4B.8C.12D.16
答案 B
解析 椭圆中，a1=4，b1=10，c=6；双曲线中，a2=2，b2=2，c=6，则双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有|P1F1|-|P1F2|=4，|P3F1|-|P3F2|=4，
所以|P1F1|-4=|P1F2|，|P3F1|-4=|P3F2|，
根据椭圆的定义有|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|=8，|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|=8，
所以路程为|P0F2|+|P1F2|+|P1P2|+|P2F2|+|P3F2|+|P3P0|
=|P0F2|+|P1F1|-4+|P1P2|+|P2F2|+|P3F1|-4+|P3P0|
=(|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|)+(|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|)-8
=8+8-8=8.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2026·桂林模拟)已知F1，F2是双曲线C：x2m+7+y2m−5=1的两个焦点，P是C上的一点，则( )
A.当m=-3时，双曲线C的实轴长为4
B.当|PF1|-|PF2|=4时，m=-3
C.无论m取何值，双曲线C的焦距都为23
D.当m=1时，双曲线C的渐近线方程为y=±12x
答案 AB
解析 由双曲线C的方程为x2m+7+y2m−5=1，
得(m+7)(m-5)m-5，故m+7>0，
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0).
A选项，由m=-3，得双曲线C的方程为x24-y28=1，即a2=4，a=2，
则双曲线C的实轴长为2a=4，A正确；
B选项，由|PF1|-|PF2|=4=2a，即a=2，a2=4，则m+7=4，解得m=-3，B正确；
C选项，a2=m+7，b2=5-m，则c2=a2+b2=12，
所以c=23，所以双曲线C的焦距为43，C错误；
D选项，由m=1，得双曲线C的方程为x28-y24=1，即a2=8，a=22，b2=4，b=2，则双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±22x，D错误.
8.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点P(b，23a)，F为C的右焦点，O为坐标原点，则( )
A.直线OP的斜率为43
B.双曲线C的离心率为5
C.双曲线C的两条渐近线的夹角小于π3
D.若点A(a，5a-a)，Q是双曲线C左支上一点，则|AQ|+|FQ|的最小值为23a+2a
答案 BCD
解析 ∵双曲线过点P(b，23a)，
∴b2a2-12a2b2=1，解得b=2a，
又O(0，0)，∴kOP=23a−0b−0=3，故A错误；
∵离心率e=ca=a2+b2a2=a2+4a2a2=5，故B正确；
∵双曲线的渐近线方程为y=±bax，代入b=2a，则y=±2x，
设渐近线y=2x的倾斜角为α，
则00)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2+b2=c2=5，
点P(-2，2)代入双曲线方程，可得2a2-4b2=1，
联立2a2−4b2=1，a2+b2=5，解得a2=1，b2=4，
所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.
12.(14分)双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其离心率e=53，且双曲线过点92，−25.
(1)求双曲线C的方程；(6分)
(2)若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积.(8分)
解 (1)由题意知814a2−20b2=1，ca=53，c2=a2+b2，
解得a=3，b=4，c=5，
故双曲线C的方程为x29-y216=1.
(2)由题意及(1)得||PF1|-|PF2||=6，|F1F2|=10，
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即102=62+|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=64，
所以S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|sin 60°=12×64×32=163，
所以△PF1F2的面积为163.
[每小题6分，共12分]
13.(多选)(2026·大庆模拟)某数学兴趣小组的同学经研究发现，函数y=-1x的图象是双曲线.设其焦点分别为F1，F2，若P为其图象上任意一点，则( )
A.y=x不是它的一条对称轴
B.它的离心率为2
C.若点P到点(-2，2)的距离为12+22，则点P到点(2，-2)的距离为12或12+42
D.类比以上结论可猜测y=x+1x的图象是双曲线
答案 BD
解析 对于A，由反比例函数的性质可知y=±x是函数y=-1x的对称轴，故A错误；
对于B，根据反比例函数的图象知两条坐标轴是其渐近线，两渐近线互相垂直，由双曲线定义知其为等轴双曲线，即a=b，e=1+ba2=2，故B正确；
对于C，易知y=-x与y=-1x的交点为(-1，1)，(1，-1)，
即该双曲线的两个顶点为(-1，1)，(1，-1)，所以a=2，
所以两焦点坐标为F1(-2，2)和F2(2，-2)，c=2，
根据双曲线的定义知，若|PF1|=12+22，
则|PF2|=|PF1|+2a=12+42或|PF2|=|PF1|-2a=12，而120，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=5π6，则( )
A.∠A1MA2=π6
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为13
D.当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
答案 ACD
解析 不妨设渐近线为y=bax，点M在第一象限，点N在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2=π-5π6=π6，
故A正确；
对于B，方法一 因为M在以F1F2为直径的圆上，故|MO|=c，
设M(x0，y0)(x0>0)，则x02+y02=c2，y0x0=ba，故x0=a，y0=b，故M(a，b)，又A2(a，0)，所以MA2⊥A1A2，
由A项得∠A1MA2=π6，
故|MA2|=|MA1|×32，
即|MA1|=233|MA2|，故B错误；
方法二 因为tan ∠MOA2=ba，双曲线中，c2=a2+b2，
则cs∠MOA2=ac，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，则|OM|=c，
若过点M作x轴的垂线，垂足为H，则|OH|=c·ac=a=|OA2|，则点H与A2重合，则MA2⊥x轴，又∠A1MA2=π6，所以|MA1|=MA2|csπ6=233|MA2|，故B错误；
方法三 因为tan∠MOA2=ba，所以cs∠MOA2=ac，在△OMA2中，利用余弦定理知，MA2|2=|OM|2+OA2|2-2|OM||OA2|cs ∠MOA2，
即MA2|2=c2+a2-2ac·ac=b2，则|MA2|=b，
则△OMA2为直角三角形，所以MA2⊥A1A2，又∠A1MA2=π6，则|MA1|=233|MA2|，故B错误；
对于C，方法一 因为MO=12(MA1+MA2)，故4MO2=MA12+2MA1·MA2+MA22，
由B可知|MA2|=b，|MA1|=233b，
故4c2=b2+43b2+2×b×233b×32=133b2=133(c2-a2)，即c2=13a2，
故离心率e=13，故C正确；
方法二 在Rt△MA2A1中，∠MA1A2=π3，所以tan∠MA1A2=MA2||A1A2|=b2a=3，则ba=23，则e=ca=1+b2a2=1+(23)2=13，故C正确；
对于D，当a=2时，由C项可知e=13，故c=26，
故b=26，故四边形NA1MA2的面积为2S△MA1A2=2×12×26×22=83，故D正确.
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标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c
范围
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca∈(1，+∞)
a，b，c的关系
c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0)