八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.2 线段的垂直平分线获奖ppt课件

这是一份八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.2 线段的垂直平分线获奖ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了探究发现，线段垂直平分线的性质，你能验证这一结论吗，验证结论，几何表达，有PAPB，核心必知，星题基础练，逆命题，线段垂直平分线的判定等内容，欢迎下载使用。
用量角器与有刻度的直尺作图，用量角器测量角度，用直尺测量长度.
尺规作图是指只使用圆规和无刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.圆规用于截取线段的长度，无刻度的直尺用于连线.之前我们已经学过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
思考：上节课我们学习了点关于直线成轴对称的知识，那从图形的角度看，线段是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴会是什么样的线呢？
答：如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称.这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = BC，PC = PC，∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.
如果 l⊥AB，AC = BC，
那么对 l 上任意一点 P，
1．[知识初练]如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2 cm，则ED的长为__________．
2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝___________.
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋CD＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
3. 【思维生长】如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点G，BC＝6，AB＝7，则△BCG的周长是(　　)A．12 B．13 C．14 D．15向“逆向思维”生长：如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若△FAC的周长为16，△ABC的周长为22，则AE的长为________．
4．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则(　　)A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD.(2) ∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝FE.又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝FB＝BC＋FC.∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，PC = PC，
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
5. 【思维可视化】如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形的骨架，其中AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°.如何证明：直线AC是线段BD的垂直平分线？【思维过程】(1)问题转化：要证明直线AC是线段BD的垂直平分线→需证明点A、C都在线段BD的垂直平分线上→即，证明AB＝________，CB＝________．
(2)条件分析：题目除了已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°外，还有哪些隐藏条件呢？(3)请写出证明过程：
6．[扬州模拟]如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC.若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是________．
【思路引导】△PBC的周长能转化为已知线段的和的形式吗？点P在什么位置时，转化后的线段和能取到最小值？
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为12.(1)求BC的长；
解：∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周长为12，∴AD＋DE＋AE＝12，∴BD＋DE＋CE＝12，∴BC＝12.
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为12.(2)若∠ABC＝20°，∠ACB＝40°，则∠DAE的度数为________；
(3)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：连接OA，OB，OC，如图.∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴OB＝OA，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在边BC的垂直平分线上.
8.【几何直观】[滁州期末]在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在直线AC上，AF垂直平分线段DE交直线BE于点F，连接DF，CD.(1)如图①，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段AC上．求证：△ABE≌△ACD；
(2)如图②，当点D在线段BA的延长线上，点E在线段AC的延长线上时．①请写出CD，DF，BF之间的数量关系并证明；
解：DF＝CD＋BF.证明：∵AF垂直平分DE，∴FD＝FE，同（1）可证明△ABE≌△ACD，∴BE＝CD.∵EF＝BE＋BF，∴DF＝BE＋BF＝CD＋BF.
②若S△ADF＝2S△ABE，CD＝ ，则BF的长为________．
线段的垂直平分的性质和判定
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.